상계고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

상계고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 23문항입니다. 이 시험의 두 가지 얼굴은 미분계수와 도함수 단원에서만 8문항이 나왔다는 점, 그리고 답을 직접 쓰는 문항이 5개로 노원구 다섯 학교 중 가장 많다는 점입니다.

핵심 요약

• 23문항 — 1~18번은 선택형, 19~23번은 답을 직접 쓰는 형태 5문항
• 난이도: 하 5 / 중 9 / 중상 5 / 상 4
• 배치 단원: 03 미분계수와 도함수 8 / 02 함수의 연속 6 / 01 함수의 극한 5 / 04 도함수의 활용 (1) 3 / 06 도함수의 활용 (3) 1
• 중상 5문항이 12~16번 다섯 연속
• 상 4문항: 17·18번(선택형 끝)과 22·23번(서술형 끝)

상계고 고2 2학기 중간은 어떤 시험인가

상계고등학교는 서울 노원구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 23문항입니다.

정답 기록을 보면 1~18번은 ①~⑤ 중에서 고르는 선택형, 19~23번 다섯 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다. 23문항 중 5문항, 약 22%가 부분점수 구간입니다. 노원구 다섯 학교 중 서술·단답이 가장 많습니다.

서술형 다섯 문항의 난이도가 하 1 · 중 2 · 상 2 로 넓게 퍼져 있다는 점이 중요합니다. 19번은 하, 20·21번은 중, 22·23번은 상입니다. 즉 서술형에 들어가자마자 만나는 19번이 가장 쉽습니다. 시간이 부족하면 뒤에서부터가 아니라 앞에서부터 잡는 것이 맞습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 5문항이 12~16번 연속

중상 다섯 문항이 12·13·14·15·16번으로 완전히 연속입니다. 그리고 바로 뒤 17·18번이 상입니다. 결국 12번부터 18번까지 일곱 문항이 중상 이상으로 이어집니다. 이 시험의 난이도 곡선은 12번에서 한 번에 꺾입니다.

1~11번은 하 4문항 + 중 7문항입니다. 앞쪽 열한 문항이 전부 중 이하라는 뜻입니다. 여기를 얼마나 빨리 정리하느냐가 12~18번 체류 시간을 결정합니다. 시험 시작 후 절반의 시간 안에 11번까지 끝내는 것을 목표로 잡으세요.

19번이 하 난이도 서술형이라는 점도 전략적으로 중요합니다. 18번에서 막혔다면 미련 없이 넘기고 19번으로 가서 확실한 점수를 챙기는 판단이 필요합니다.

출제 단원 — 미분계수와 도함수가 8문항

미분계수와 도함수 한 단원에서 8문항, 전체의 35%입니다. 노원구 다섯 학교 중 이 단원 비중이 가장 높습니다.

반대로 함수의 극한은 5문항으로 다섯 학교 중 가장 적습니다. 극한을 많이 물은 시험이 아니라, 미분계수를 많이 물은 시험입니다. 같은 범위라도 학교마다 무게중심이 이렇게 다릅니다.

대단원으로 묶으면 함수의 극한과 연속 11문항(48%), 다항함수의 미분법 12문항(52%) 로 거의 반반입니다.

23번만 06 도함수의 활용 (3) 단원에서 나왔습니다. 나머지 22문항이 극한·연속·미분계수·접선에 머무는 데 비해 23번 하나만 범위 뒤쪽까지 나갔고, 상 난이도이며, 서술형입니다. 마지막 문항 하나에 세 가지 부담이 겹쳐 있습니다.

시그니처 유형 — 미분계수의 정의로 극한값 계산하기 (2·8·9번)

이 시험을 관통하는 절차는 주어진 극한식을 f'(a)의 정의 꼴로 맞춰 읽는 것입니다.

2번(하) · 8번(중) · 9번(중) 세 문항이 이 계열입니다. 세 문항의 난이도가 하에서 중까지 올라가면서, 같은 발상을 조금씩 비틀어 묻습니다.

미분계수의 정의는 두 가지 꼴로 씁니다.

• f'(a) = lim(h→0) (f(a+h) − f(a)) / h
• f'(a) = lim(x→a) (f(x) − f(a)) / (x−a)

9번에는 여기에 치환을 이용한 극한값의 계산이 더 붙습니다. 예를 들어 f(a + 2h) 같은 꼴이 나오면 분모를 2h로 맞추고 앞에 2를 곱해 주는 조정이 필요합니다. 이 조정을 놓치면 답이 배수만큼 어긋납니다. 2·8·9번을 한 세트로 묶어 연습하면 세 문항을 한 번에 확보할 수 있습니다.

또 하나의 짝은 7번과 22번입니다. 둘 다 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성인데, 7번은 중, 22번은 상(서술형)입니다. 같은 유형을 난이도만 올려 두 번 물었습니다. 미분가능하려면 우선 연속, 그다음 좌미분계수 = 우미분계수 라는 두 단계를 7번에서 정확히 밟아 두면 22번의 출발이 수월합니다.

반복 유형을 횟수로 정리하면 이렇습니다.

• 미정계수의 결정 — 6·15·19번 (3회)
• 함수의 그래프와 연속 — 13·14·23번 (3회)
• 미분계수를 이용한 극한값의 계산 — 8·9번 (2회, 2번도 같은 계열)
• 구간별 정의 함수의 미분가능성 — 7·22번 (2회)
• 연속함수의 성질 — 14·17번 (2회)
• 함수가 연속일 조건 (응용) — 16·18번 (2회)
• 0/0 꼴의 극한; 무리식 — 6·20번 (2회)

"함수의 그래프와 연속"이 13·14·23번에 걸쳐 있다는 점을 주목하세요. 그래프를 직접 그려 불연속점을 찾는 사고가 중상(13·14번)과 상(23번)을 모두 관통합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 함수의 극한 (1·3·6·18·20번) — 5문항

1번 하 함수의 극한값 구하기, 3번 중 함수의 극한값의 존재 · ∞/∞ 꼴, 6번 중 미정계수의 결정 · 0/0 꼴의 극한; 무리식, 18번 상 다항함수의 결정 · 함수가 연속일 조건 (응용) · ∞/∞ 꼴, 20번 중 ∞−∞ 꼴의 극한 · 0/0 꼴 무리식 (서술형).

1번은 확보 구간입니다. 대입하거나 인수분해하면 끝납니다.

6번과 20번이 둘 다 무리식입니다. 분자·분모 유리화가 공통 절차이고, 6번은 여기에 미정계수 조건이, 20번은 ∞−∞ 꼴 변형이 얹혀 있습니다. ∞−∞ 꼴은 유리화해서 0/0 또는 ∞/∞ 꼴로 바꾸는 것이 정석입니다.

18번이 이 단원의 유일한 상입니다. 다항함수의 결정에 연속 조건까지 결합됐습니다. x → ∞ 극한으로 차수와 최고차항을 정하고, 연속 조건으로 나머지 계수를 정하는 두 겹 구조입니다. 극한과 연속이 한 문항에서 만나는 종합 문항이라, 각 단원을 따로 공부한 학생은 여기서 막힙니다.

2. 함수의 연속 (11·13·14·16·17·19번) — 6문항

11번 중 사잇값 정리; 실근이 존재하는 구간 · 사잇값 정리, 13번 중상 함수의 그래프와 연속; 합성함수 · 합성함수의 극한 · 함수의 그래프와 연속, 14번 중상 연속함수의 성질 · 함수의 그래프와 연속, 16번 중상 함수가 연속일 조건 (응용) · 최대·최소 정리, 17번 상 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성과 두 함수의 곱의 연속 · 연속함수의 성질 · (x−a)f(x) 꼴의 연속, 19번 하 함수가 연속일 조건 · 미정계수의 결정 (서술형).

19번은 하 난이도 서술형입니다. 연속 조건(좌극한 = 우극한 = 함숫값)으로 미지수 두 개를 정하는 문항이라, 서술형 중 가장 확실한 점수입니다.

13번의 "합성함수의 연속" 이 이 단원의 첫 고비입니다. f(g(x)) 가 어디에서 불연속인지 판정하려면, g(x)의 값이 f의 불연속점을 지나는 순간을 잡아야 합니다. 안쪽 함수의 치역이 바깥 함수의 어느 점을 통과하는지를 그래프로 확인하는 연습이 필요합니다.

14번의 연속함수의 성질은 연속인 두 함수의 합·차·곱은 연속이지만 몫은 분모가 0이 되는 곳에서 불연속이라는 내용입니다. 그래프 해석과 함께 나와 중상이 됐습니다.

17번이 이 시험의 최고 난도 중 하나입니다. 직선 y = t 와 곡선의 교점의 개수를 f(t)로 정의하면 f(t)는 계단처럼 불연속이 됩니다. 여기에 g(t)를 곱한 f(t)g(t)가 연속이려면 f가 튀는 지점에서 g가 그 튐을 0으로 상쇄해야 합니다. 절차는 ① 곡선 개형 그리기 → ② f(t)의 불연속점 찾기 → ③ 각 지점에서 좌극한·우극한·함숫값 일치 조건 세우기, 세 단계입니다.

3. 미분계수와 도함수 (2·4·5·7·8·9·12·22번) — 8문항

2번 하 미분계수를 이용한 극한값의 계산(x→a 꼴) · 미분법의 공식, 4번 하 곱의 미분법, 5번 하 평균변화율, 7번 중 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성, 8번 중 미분계수를 이용한 극한값의 계산, 9번 중 같은 유형 + 치환을 이용한 극한값의 계산, 12번 중상 다항식의 나눗셈에서 미분법의 활용; 나누어떨어지지 않는 경우 · 항등식에서 미분법의 활용, 22번 상 구간별 정의 함수의 미분가능성 · 미분가능성과 연속성 · 곱의 미분법 (서술형).

2·4·5번 세 문항이 하 난이도입니다. 평균변화율 (f(b)−f(a))/(b−a), 곱의 미분법 (fg)' = f'g + fg', 미분계수의 정의. 세 공식이면 끝납니다.

12번의 "다항식의 나눗셈에서 미분법의 활용" 이 이 시험에서 가장 특징적인 문항입니다. f(x)를 (x−a)² 같은 중근 인수로 나눌 때, 나머지를 구하려면 f(a)뿐 아니라 f'(a)도 필요합니다. 항등식 f(x) = (x−a)²Q(x) + R(x) 를 세우고 양변을 미분해 x = a 를 대입하는 것이 표준 절차입니다. 이 발상을 모르면 손을 못 댑니다.

22번은 서술형이자 상입니다. 7번의 상위 버전이고, 곱의 미분법까지 결합됐습니다. 연속 조건과 미분계수 조건을 차례로 적어 나가면 부분점수는 확보할 수 있습니다.

4. 도함수의 활용 (10·15·21·23번) — 4문항

10번 중 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우, 15번 중상 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우 · 곱의 미분법 · 미정계수의 결정, 21번 중 접선의 방정식; 곡선 밖의 한 점이 주어진 경우 · 접선의 기울기 (서술형), 23번 상 두 그래프의 교점의 개수 · 함수의 그래프와 연속 · 삼차방정식의 근의 판별 (서술형).

10번의 평균값 정리는 f(b) − f(a) = f'(c)(b − a) 를 만족하는 c가 (a, b)에 적어도 하나 존재한다는 내용입니다. c를 실제로 구하는 형태로 나왔습니다.

접선은 접점이 주어진 경우(15번)와 곡선 밖의 점이 주어진 경우(21번) 두 가지가 나왔습니다. 후자는 접점을 t로 놓고, 접선이 주어진 점을 지난다는 조건으로 t를 구하는 절차입니다. 21번은 서술형이지만 중 난이도라 확보 가능합니다.

23번이 마지막 문항이자 상 난이도 서술형입니다. 두 그래프의 교점의 개수는 보통 한쪽을 상수 k로 분리해 y = k 와의 교점 수로 바꾸고, 삼차함수의 개형(극댓값·극솟값)을 그려 k의 범위를 나누는 방식으로 풉니다. 삼차방정식의 근의 판별이 함께 걸려 있으니, 극댓값 × 극솟값의 부호로 실근의 개수를 판정하는 논리까지 정리해 두세요.

노원구 다섯 학교 비교 — 2025 고2 2학기 중간 수학Ⅱ

같은 시험 기간, 같은 과목, 같은 범위로 치른 서울 노원구 다섯 학교를 분석표 기준으로 직접 집계해 나란히 놓으면 이렇습니다.

상계고는 답을 직접 쓰는 문항이 5개로 다섯 학교 중 가장 많습니다. 상 난이도도 4문항으로 불암고와 함께 최다입니다. 다만 하 난이도도 5문항이라 위아래 폭이 넓은 시험입니다.

단원별로도 차이가 납니다.

상계고는 미분계수와 도함수가 8문항으로 다섯 학교 중 가장 많고, 함수의 극한은 5문항으로 가장 적습니다. 극한 계산보다 미분계수의 정의와 미분가능성에 무게를 실은 시험입니다.

상계고 고2 2학기 중간 대비 학습 순서

1. 극한값 계산과 극한값의 존재 — 1·3번 대비. 확보 구간입니다.
2. 무리식 유리화와 ∞−∞ 꼴 — 6·20번 대비.
3. 평균변화율과 곱의 미분법 — 4·5번 대비. 확보 구간입니다.
4. ★ 미분계수의 정의 두 꼴과 치환 — 2·8·9번을 한 세트로 묶으세요.
5. ★ 구간별 정의 함수의 미분가능성 — 7·22번 대비. 연속 먼저, 좌우 미분계수 다음.
6. 연속의 정의와 연속일 조건 — 19번 대비. 서술형 확보 자리입니다.
7. 사잇값 정리와 실근이 존재하는 구간 — 11번 대비. 부호표를 만드세요.
8. 합성함수의 연속 — 13번 대비. 안쪽 함수의 치역을 확인하세요.
9. 연속함수의 성질과 최대·최소 정리 — 14·16번 대비. 반례까지 정리.
10. ★ 다항식의 나눗셈에서 미분법의 활용 — 12번 대비. 양변 미분 후 대입.
11. 평균값 정리 — 10번 대비. c를 실제로 구하는 연습.
12. 접선의 방정식 두 갈래 — 15·21번 대비.
13. ★ 교점의 개수로 정의된 함수의 연속 — 17번 대비.
14. 두 그래프의 교점의 개수와 삼차방정식의 근의 판별 — 23번 대비. 상수 분리 후 개형 그리기.

자주 나오는 질문

상계고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 23문항입니다. 1~18번은 선택형, 19~23번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 미분계수와 도함수가 8문항으로 가장 많습니다. 이어서 함수의 연속 6문항, 함수의 극한 5문항, 도함수의 활용 4문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 17·18·22·23번 네 문항입니다. 선택형 끝(17·18번)과 서술형 끝(22·23번)에 각각 두 문항씩 배치돼 있습니다.

서술형 비중은 어느 정도인가요?

23문항 중 5문항(19~23번) 으로, 노원구 다섯 학교 중 가장 많습니다. 난이도는 19번 하, 20·21번 중, 22·23번 상으로 폭이 넓습니다.

시험 중 어느 구간을 조심해야 하나요?

12번부터 18번까지 일곱 문항입니다. 중상 다섯(12~16번)과 상 둘(17·18번)이 연속으로 이어집니다. 1~11번을 빠르게 끝내 이 구간의 시간을 확보하세요.

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