상명고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

상명고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 이 시험이 노원구의 다른 네 학교와 가장 크게 다른 점은 도함수의 활용에서 6문항이 나왔고, 함수의 연속은 2문항에 그쳤다는 것입니다. 범위의 뒤쪽에 무게를 실은 시험입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 1~16번은 선택형, 17~20번은 답을 직접 쓰는 형태 4문항
• 난이도: 하 4 / 중 8 / 중상 6 / 상 2
• 배치 단원: 01 함수의 극한 6 / 03 미분계수와 도함수 6 / 04 도함수의 활용 (1) 4 / 02 함수의 연속 2 / 05 도함수의 활용 (2) 2
• 상 2문항: 14·15번 (선택형 후반 연속)
• 시그니처: 다항함수의 결정이 8·13·19번 세 문항

상명고 고2 2학기 중간은 어떤 시험인가

상명고등학교는 서울 노원구에 있는 고등학교입니다. 종로구의 상명대학교사범대학부속여자고등학교와는 다른 학교이니 혼동하지 마세요. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 20문항입니다.

정답 기록을 보면 1~16번은 ①~⑤ 중에서 고르는 선택형, 17~20번 네 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다. 20문항 중 4문항, 20%가 부분점수 구간입니다. 그리고 20번은 소문항으로 나뉘어 있고, (1)이 평균값 정리의 진술 자체를 쓰게 하는 형태입니다. 계산이 아니라 정리를 정확한 문장으로 쓸 수 있는지를 묻는 자리라, 교과서 정리 진술을 그대로 외워 두면 확보할 수 있습니다.

범위 배분이 독특합니다. 극대·극소를 다루는 도함수의 활용 (2) 단원에서 2문항(5·14번) 이 나왔는데, 노원구 다섯 학교 중 이 단원이 나온 학교는 상명고와 서라벌고뿐이고 문항 수는 상명고가 가장 많습니다. 반대로 함수의 연속은 2문항(6·15번) 으로 다섯 학교 중 가장 적습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 6문항이 가장 두껍다

중상이 6문항으로 노원구 다섯 학교 중 가장 많습니다. 대신 상은 2문항으로 가장 적습니다. 꺾이는 지점 없이 완만하게 어려워지는 시험이라고 보면 됩니다. 손도 못 댈 문항은 적지만, 어정쩡하게 아는 상태로는 중상 여섯 문항을 줄줄이 흘립니다.

1·3·4·5번이 하 난이도로 앞쪽에 모여 있습니다. 2번만 중이니, 처음 다섯 문항 중 네 개가 확보 구간입니다.

상 두 문항이 14·15번 연속이라는 점이 중요합니다. 선택형 끝자락(16번)을 앞두고 두 문항이 연달아 어렵습니다. 그리고 16번도 중상입니다. 즉 14·15·16번 세 문항이 선택형의 마지막 벽이고, 이 벽을 넘으면 바로 서술형입니다.

서술형 네 문항은 17·18번 중, 19·20번 중상입니다. 17·18번을 먼저 확보하고 19·20번에 시간을 쓰는 순서가 맞습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용이 6문항

함수의 극한과 미분계수와 도함수가 각 6문항으로 균형을 이루고, 도함수의 활용이 (1)과 (2)를 합쳐 6문항입니다. 세 덩어리가 6 : 6 : 6 입니다.

함수의 연속이 2문항뿐이라는 점이 이 시험의 가장 큰 특징입니다. 다른 노원구 학교들이 연속에서 4~6문항을 낸 것과 대조적입니다. 다만 그 2문항 중 15번이 상 난이도입니다. 문항 수가 적다고 가볍게 볼 단원이 아닙니다.

3번이 접선의 기울기(도함수의 활용)인데 하 난이도이자 앞쪽 배치라는 점도 눈에 띕니다. 단원 순서대로 배치된 시험이 아니니, 시험지를 받으면 어느 번호가 어느 단원인지 먼저 훑고 들어가세요.

시그니처 유형 — 다항함수의 결정 (8·13·19번)

이 시험을 관통하는 절차는 극한 조건으로 다항함수를 역으로 찾아내는 것입니다.

8번(중) · 13번(중상) · 19번(중상) 세 문항이 이 계열입니다. 난이도가 중에서 중상으로 올라가며 같은 발상을 반복합니다.

다항함수 결정의 표준 절차는 두 단계입니다.

1. x → ∞ 에서의 극한으로 차수와 최고차항의 계수를 정한다.
2. x → a 에서의 극한으로 인수를 정한다. 분모가 0으로 가면 분자도 0으로 가야 하므로 f(a) = 0 이 나옵니다.

13번에는 여기에 미분계수를 이용한 극한값의 계산이, 19번에는 합성함수의 극한이 더 붙습니다. 8번을 정확히 풀 수 있으면 13·19번의 출발점은 같습니다.

여기에 다음 유형들이 겹칩니다.

• ∞/∞ 꼴의 극한 — 1·2·19번 (3회)
• 다항함수의 결정 — 8·13·19번 (3회)
• 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 14·16번 (2회)
• 미정계수의 결정 — 12·17번 (2회)

19번이 ∞/∞ 꼴과 다항함수의 결정이 만나는 지점입니다. 두 계열이 서술형에서 합류하는 구조라, 19번은 이 시험의 종합 문항이라고 볼 수 있습니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 함수의 극한 (1·2·10·13·17·19번) — 6문항

1번 하 ∞/∞ 꼴의 극한, 2번 중 함수의 극한의 대소 관계 · ∞/∞ 꼴, 10번 중상 좌극한과 우극한; 그래프가 주어진 경우 · 함수의 그래프와 연속 · 극한에 대한 성질, 13번 중상 미정계수의 결정 (응용) · 미분계수를 이용한 극한값의 계산 · 다항함수의 결정, 17번 중 ∞−∞ 꼴의 극한 · 미정계수의 결정 (서술형), 19번 중상 다항함수의 결정 · ∞/∞ 꼴 · 합성함수의 극한 (서술형).

1번은 확보 구간입니다. 분자·분모의 최고차항만 보면 됩니다.

2번의 "극한의 대소 관계" 는 조임 정리(샌드위치 정리)입니다. g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) 이고 양쪽 극한이 같으면 가운데도 같다는 내용인데, 보통 부등식이 주어지고 양 끝을 ∞/∞ 꼴로 계산하게 합니다.

10번이 중상인 이유는 그래프에서 좌극한·우극한·함숫값을 읽은 뒤, 그것을 극한의 성질(합·차·곱·몫)로 조합해야 하기 때문입니다. 예를 들어 lim f(x)g(x) 를 좌극한끼리 곱해 구하는 식입니다. 그래프에서 읽는 단계와 조합하는 단계를 분리해서 적는 것이 실수를 줄입니다.

17번은 ∞−∞ 꼴입니다. 유리화해서 0/0 또는 ∞/∞ 꼴로 바꾸는 것이 정석이고, 서술형이지만 중 난이도라 확보 가능합니다.

2. 함수의 연속 (6·15번) — 2문항

6번 중 (x−a)f(x) 꼴의 함수의 연속 · 함수의 연속, 15번 상 함수가 연속일 조건 (응용) · 방정식 f(x) = k 의 실근의 개수.

6번의 (x−a)f(x) 꼴 연속은 자주 나오는 유형입니다. f(x)가 x = a 근처에서 발산하더라도 (x−a)가 그 발산을 상쇄하면 곱은 연속이 될 수 있습니다. 분모가 0이 되는 자리를 분자가 지워 주는지 확인하는 논리입니다.

15번이 이 시험의 최고 난도입니다. 방정식 f(x) = k 의 실근의 개수를 함수로 놓고 그 함수의 연속성을 따지는 형태입니다. 실근의 개수는 곡선 y = f(x) 와 수평선 y = k 의 교점의 개수이고, k가 변하면 이 개수가 극댓값·극솟값에서 뚝뚝 끊깁니다. 즉 연속·극한 단원처럼 보이지만 실제로는 삼차함수의 개형을 그릴 수 있어야 풀리는 문항입니다. 연속이 2문항뿐이라고 이 단원을 가볍게 준비하면 여기서 크게 잃습니다.

3. 미분계수와 도함수 (4·7·8·11·12·18번) — 6문항

4번 하 곱의 미분법; y=f(x)g(x) 꼴 · 미분법의 공식, 7번 중 미분계수를 이용한 극한값의 계산(h→0 꼴), 8번 중 평균변화율과 미분계수 · 다항함수의 결정, 11번 중상 미분가능성과 연속성, 12번 중 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 · 미정계수의 결정, 18번 중 다항식의 나눗셈에서 미분법의 활용; 나누어떨어지는 경우 (서술형).

4번이 하 난이도입니다. (fg)' = f'g + fg' 공식이면 끝납니다.

11번과 12번이 짝입니다. 11번은 미분가능성과 연속성의 관계를, 12번은 구간별로 정의된 함수가 경계점에서 미분가능할 조건을 묻습니다. 핵심은 한 문장입니다. 미분가능하면 연속이지만, 연속이라고 미분가능한 것은 아니다. 11번이 중상인 것은 이 관계의 반례(예를 들어 절댓값 함수)를 알고 있는지 묻기 때문입니다.

18번의 "다항식의 나눗셈에서 미분법의 활용" 이 이 시험에서 가장 특징적인 서술형입니다. f(x)가 (x−a)² 같은 중근 인수로 나누어떨어진다는 조건이 주어지면, f(a) = 0 이자 f'(a) = 0 이라는 두 식이 한 번에 나옵니다. 이 대응만 알면 미지수 두 개를 바로 정할 수 있어, 중 난이도 서술형 중 확보 가능한 자리입니다.

4. 도함수의 활용 (3·5·9·14·16·20번) — 6문항

3번 하 접선의 기울기, 5번 하 함수의 극대·극소, 9번 중 접선과 수직인 직선의 방정식 · 접선과 좌표축으로 둘러싸인 도형의 넓이, 14번 상 도함수의 그래프의 해석 (응용) · 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 16번 중상 접선이 곡선과 다시 만나는 점 · 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 · 접선의 방정식, 20번 중상 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우 · 함수의 최대·최소 (서술형).

3번과 5번이 하 난이도입니다. 접선의 기울기는 f'(a), 극대·극소는 f'(x) = 0 인 점에서 부호가 바뀌는지 보면 됩니다. 확보 구간입니다.

9번의 "접선과 수직인 직선" 은 법선입니다. 접선의 기울기가 m이면 법선의 기울기는 −1/m 입니다. 여기에 좌표축과 만드는 삼각형의 넓이가 붙으니 x절편·y절편까지 구하는 단계로 이어집니다.

14번이 상 난이도입니다. 도함수 y = f'(x) 의 그래프가 주어지고 원래 함수 f(x)의 성질을 역으로 읽어내는 유형입니다. f'의 부호가 양수인 구간에서 f는 증가, f'가 음수에서 양수로 바뀌는 점에서 f는 극소. f'의 그래프를 보며 f의 증감표를 직접 그리는 연습이 필수입니다. 응용이 붙었다는 것은 여기에 미정계수 결정까지 이어진다는 뜻입니다.

16번의 "접선이 곡선과 다시 만나는 점" 은 삼차함수에서 자주 나옵니다. 점 (t, f(t))에서의 접선을 곡선과 연립하면 x = t 가 중근이 되므로, 삼차방정식을 (x − t)²(x − s) = 0 꼴로 쓸 수 있습니다. 근과 계수의 관계로 s를 바로 구하는 것이 시간 단축의 핵심입니다.

20번은 서술형이고 소문항으로 나뉩니다. (1)은 평균값 정리의 진술 자체를 쓰는 형태로 기록돼 있습니다. 교과서 문장, 즉 닫힌구간에서 연속이고 열린구간에서 미분가능하면 (f(b) − f(a))/(b − a) = f'(c) 인 c가 존재한다를 조건까지 빠짐없이 적어야 합니다. "연속"과 "미분가능" 두 조건을 빠뜨리면 감점입니다. 함수의 최대·최소가 선수 유형으로 걸려 있으니, 이어지는 소문항에서는 실제 계산이 요구됩니다.

노원구 다섯 학교 비교 — 2025 고2 2학기 중간 수학Ⅱ

같은 시험 기간, 같은 과목, 같은 범위로 치른 서울 노원구 다섯 학교를 분석표 기준으로 직접 집계해 나란히 놓으면 이렇습니다.

상명고는 상 난이도가 2문항으로 다섯 학교 중 가장 적고, 중상이 6문항으로 두껍습니다. 최상단이 낮은 대신 중간 윗구간이 넓은 시험입니다. 확실한 킬러를 버리는 전략이 아니라, 중상 여섯 문항을 하나씩 잡아 나가는 전략이 필요합니다.

단원별로도 차이가 납니다.

상명고는 함수의 연속이 2문항으로 가장 적고, 도함수의 활용이 6문항으로 가장 많습니다. 다섯 학교 중 범위의 뒤쪽까지 가장 깊이 들어간 시험입니다. 극대·극소와 도함수 그래프 해석을 준비하지 않으면 5·14·16번을 한꺼번에 잃습니다.

상명고 고2 2학기 중간 대비 학습 순서

1. ∞/∞ 꼴 극한 — 1·2·19번 대비. 1번은 확보 구간입니다.
2. 극한의 대소 관계(조임 정리) — 2번 대비.
3. 그래프에서 좌·우극한 읽고 성질로 조합하기 — 10번 대비.
4. ★ 다항함수의 결정 — 8·13·19번을 관통하는 절차입니다.
5. ∞−∞ 꼴 유리화 — 17번 대비. 서술형 확보 자리입니다.
6. (x−a)f(x) 꼴의 연속 — 6번 대비.
7. 곱의 미분법과 미분계수의 정의 — 4·7번 대비. 확보 구간입니다.
8. ★ 미분가능성과 연속성의 관계 — 11·12번 대비. 반례까지 외우세요.
9. 다항식의 나눗셈에서 미분법의 활용 — 18번 대비. 나누어떨어지면 f(a)=0, f'(a)=0.
10. 접선의 기울기와 법선 — 3·9번 대비.
11. ★ 극대·극소와 증감표 — 5·14번 대비. f'의 부호로 f의 개형 그리기.
12. ★ 도함수의 그래프 해석 — 14번 대비. 이 시험의 상 난이도입니다.
13. 접선이 곡선과 다시 만나는 점 — 16번 대비. 중근과 근과 계수의 관계.
14. 평균값 정리의 진술과 활용 — 20번 대비. 조건까지 정확히 외우세요.
15. 방정식 f(x)=k 의 실근의 개수와 연속 — 15번 대비. 개형을 그려 k의 범위를 나누기.

자주 나오는 질문

상명고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 1~16번은 선택형, 17~20번은 답을 직접 쓰는 형태이며 20번은 소문항으로 나뉩니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 함수의 극한과 미분계수와 도함수가 각 6문항입니다. 도함수의 활용도 (1)과 (2)를 합쳐 6문항이고, 함수의 연속은 2문항으로 가장 적습니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 14·15번 두 문항입니다. 14번은 도함수의 그래프 해석, 15번은 방정식 f(x)=k 의 실근의 개수와 연속입니다. 두 문항이 연속으로 붙어 있습니다.

20번 서술형은 어떤 형태인가요?

평균값 정리를 다루는 문항이고 소문항으로 나뉩니다. (1)은 평균값 정리의 진술 자체를 쓰는 형태로 기록돼 있습니다. 닫힌구간에서 연속, 열린구간에서 미분가능이라는 두 조건을 빠뜨리지 말고 적으세요.

상명대부속여고와 같은 학교인가요?

아닙니다. 상명고등학교는 서울 노원구, 상명대학교사범대학부속여자고등학교는 서울 종로구에 있는 다른 학교입니다.

과년도 상명고 기출도 볼 수 있나요?

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