초당고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025 학년)
경기 용인시 초당고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 2025 학년 기준 총 21문항입니다. 문항이 실제로 배치된 단원은 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용(1) 네 곳입니다. 가장 큰 특징은 미분계수와 도함수 단원 하나에 8문항이 몰렸다는 점, 그리고 극대·극소와 증가·감소를 다루는 도함수의 활용(2)는 한 문항도 없다는 점입니다.
핵심 요약
- 21문항 — 1~20번 선택형, 21번은 답을 직접 쓰는 형태
- 난이도: 하 3 / 중 11 / 중상 6 / 상 1
- 배치 단원: 03 미분계수와 도함수 8 · 01 함수의 극한 5 · 02 함수의 연속 4 · 04 도함수의 활용(1) 4
- 최다 반복 유형: 접선의 방정식(접점의 좌표가 주어진 경우) 3회(9·18·19번)
- 유일한 상 문항: 20번 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 — 4번과 같은 유형
초당고 고2 2학기 중간 수학Ⅱ는 어떤 시험인가
초당고등학교는 경기 용인시에 있는 고등학교입니다. 2025 학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 21문항이고, 정답 기록을 보면 1~20번은 오지선다, 21번은 직선의 방정식을 직접 쓰는 형태입니다.
배치 순서는 단원 순서를 따르지 않습니다. 1번이 함수의 극한, 2번이 미분법의 공식, 3번이 다시 좌극한·우극한입니다. 극한·연속과 미분이 번호 전체에 섞여 있으니 시험지를 받으면 먼저 전체를 훑어 쉬운 문항부터 확보하는 편이 낫습니다.
단원별로 보면 극한·연속 파트 9문항, 미분 파트 12문항입니다. 미분 쪽이 더 무겁고, 그중에서도 미분계수와 도함수가 8문항으로 가장 큽니다.
2025 학년 난이도 분포 — 중 11문항이 절반 이상
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 3 | 14% | 1·2·3 |
| 중 | 11 | 52% | 4·5·6·7·8·9·10·11·15·16·21 |
| 중상 | 6 | 29% | 12·13·14·17·18·19 |
| 상 | 1 | 5% | 20 |
하 난이도는 1~3번 세 문항뿐입니다. 4번부터 바로 중 난이도가 시작되고, 12번부터는 중상이 연달아 나옵니다. 상은 20번 한 문항이라 킬러 한 개를 제외하면 나머지 20문항을 얼마나 지키느냐가 점수를 가릅니다.
12~14번과 17~19번에 중상 여섯 문항이 두 덩어리로 나뉘어 있습니다. 15·16번(중)이 중간 쉼표 역할을 하므로, 12~14번에서 막히면 표시해 두고 15·16번을 먼저 푸는 순서도 고려해 볼 만합니다.
출제 단원 — 미분계수와 도함수 8문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 03 미분계수와 도함수 | 8 | 2·4·6·7·10·17·19·20 |
| 01 함수의 극한 | 5 | 1·3·8·11·13 |
| 02 함수의 연속 | 4 | 5·14·15·16 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 4 | 9·12·18·21 |
미분계수와 도함수 8문항(38%) 이 시험의 중심입니다. 게다가 상 문항 20번과 중상 17·19번이 모두 이 단원입니다.
도함수의 활용은 접선과 평균값 정리까지(도함수의 활용 1) 만 나왔습니다. 극대·극소, 함수의 증가·감소, 최대·최소 문항은 이번 시험지에 없습니다.
시그니처 유형 — 접선의 방정식 3회
접선의 방정식(접점의 좌표가 주어진 경우) 이 9·18·19번 세 문항에 쓰였습니다. 9번은 중, 18·19번은 중상입니다. 접점의 x좌표를 두고 f′(a)로 기울기를 구한 뒤 y−f(a)=f′(a)(x−a)로 세우는 절차가 몸에 붙어 있어야 세 문항이 모두 풀립니다.
여기에 접선의 기울기를 이용한 미정계수의 결정이 9·19번에서 두 번 겹칩니다. 접선 조건에서 미지수를 찾아내는 연습이 필요합니다.
그 밖에 두 번씩 나온 유형은 다음과 같습니다.
- 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 · 미분가능성과 연속성 — 4·20번
- 함수가 연속일 조건 — 5·16번
- 다항함수의 결정 — 8·17번
- 미분계수를 이용한 극한값의 계산; lim_{x→a}(f(x)−f(a))/(x−a) — 10·17번
가장 눈여겨볼 조합은 4번과 20번입니다. 두 문항은 핵심 유형이 똑같은데, 4번은 중, 20번은 상입니다. 4번에서 쓴 "연속 조건 + 미분계수 일치" 두 식을 20번에서 더 복잡한 조건 위에 다시 세워야 합니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 함수의 극한 (1·3·8·11·13번) — 5문항
1번 하 ∞/∞ 꼴의 극한, 3번 하 좌극한과 우극한(그래프가 주어진 경우), 8번 중 다항함수의 결정 · 미정계수의 결정, 11번 중 함수의 극한의 대소 관계, 13번 중상 함수의 극한의 활용(도형의 길이와 넓이) · 0/0 꼴 무리식.
1·3번은 반드시 확보할 구간입니다. 3번은 그래프에서 좌극한과 우극한을 읽는 문항이니, 열린 점과 닫힌 점을 헷갈리지 않는지만 확인하면 됩니다.
13번이 이 파트의 고비입니다. 도형에서 길이나 넓이를 변수로 나타낸 뒤 극한을 구하는 유형인데, 식을 세우고 나면 무리식 0/0 꼴이 나와 유리화까지 해야 합니다.
2. 함수의 연속 (5·14·15·16번) — 4문항
5번 중 함수가 연속일 조건 · 연속함수의 성질, 14번 중상 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성과 두 함수의 곱의 연속 · (x−a)f(x) 꼴의 함수의 연속, 15번 중 사잇값 정리(실근이 존재하는 구간), 16번 중 함수가 연속일 조건 (응용).
14번은 교점의 개수를 함수값으로 정의한 뒤 다른 함수와 곱해 연속이 되게 만드는 문항입니다. 교점 개수 함수가 어디서 끊기는지 먼저 찾고, 곱하는 함수가 그 지점에서 0이 되도록 만드는 흐름입니다.
15번 사잇값 정리는 f(a)와 f(b)의 부호가 다르면 그 사이에 실근이 있다는 한 줄로 해결됩니다.
3. 미분계수와 도함수 (2·4·6·7·10·17·19·20번) — 8문항
2번 하 미분법의 공식, 4번 중 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성, 6번 중 미분계수를 이용한 극한값 lim_{h→0}(f(a+h)−f(a))/h · 평균변화율, 7번 중 항등식이 주어질 때 도함수 구하기, 10번 중 미분계수를 이용한 극한값 lim_{x→a} · 곱의 미분법, 17번 중상 미분계수를 이용한 미정계수의 결정 · 다항함수의 결정, 19번 중상 접선의 기울기를 이용한 미정계수의 결정, 20번 상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성.
미분계수 정의로 극한값을 계산하는 유형이 6·10·17번 세 문항에 걸쳐 있습니다. h→0 꼴과 x→a 꼴을 모두 f′(a) 형태로 바꾸는 연습을 따로 해 두세요.
7번 항등식 문제는 주어진 식의 양변에 적당한 값을 대입하거나 양변을 미분해서 도함수를 구하는 유형입니다.
4. 도함수의 활용 (1) (9·12·18·21번) — 4문항
9번 중 접선의 방정식(접점의 좌표) · 접선 기울기로 미정계수 결정, 12번 중상 평균값 정리(정의를 이용하는 경우), 18번 중상 접선과 좌표축으로 둘러싸인 도형의 넓이, 21번 중 접선의 기울기의 최댓값 또는 최솟값 · 기울기가 주어진 접선의 방정식.
12번 평균값 정리는 "정의를 이용하는 경우"로 분류된 문항입니다. 구간의 평균변화율과 f′(c)를 같게 놓는 식을 바로 세울 수 있어야 합니다.
21번은 답을 직접 쓰는 문항입니다. 접선의 기울기 f′(x)의 최댓값·최솟값을 먼저 구하고, 그 기울기를 갖는 접선의 방정식을 써야 합니다. 답을 식으로 쓰는 문항이라 부호 하나가 곧 감점입니다.
주의 문항 — 중상 6문항과 상 1문항
12번 중상 (평균값 정리) — 정의를 그대로 식으로 옮기는 문항입니다.
13번 중상 (극한의 활용; 도형) — 도형에서 식을 세우는 단계가 가장 오래 걸립니다.
14번 중상 (교점의 개수로 정의된 함수의 연속) — 불연속점을 먼저 찾는 것이 출발점입니다.
17번 중상 (미분계수로 미정계수 결정) — 다항함수 결정과 미분계수 극한이 한 문항에 겹쳤습니다.
18번 중상 (접선과 좌표축이 만드는 넓이) — 접선의 x절편과 y절편을 구해 삼각형 넓이로 연결합니다.
19번 중상 (접선 기울기로 미정계수 결정) — 9번과 같은 재료를 더 복잡하게 쓴 문항입니다.
20번 상 (구간별 정의 함수의 미분가능성) — 이 시험의 유일한 상입니다. 4번과 같은 유형이므로 4번을 확실히 이해했다면 20번에서 절반은 이미 풀린 셈입니다.
초당고 고2 2학기 중간 수학Ⅱ 대비 학습 순서
- ∞/∞ 꼴 극한과 좌극한·우극한 읽기 — 1·3번 확보.
- 미분법의 공식 — 2번 확보. 계산 속도의 기초입니다.
- 다항함수의 결정과 미정계수의 결정 — 8·17번 대비.
- 함수의 극한의 대소 관계 — 11번 대비.
- ★ 극한의 활용(도형의 길이와 넓이) — 13번 대비. 무리식 유리화까지 연습.
- 함수가 연속일 조건 — 5·16번 대비.
- 사잇값 정리 — 15번 대비.
- 교점 개수로 정의된 함수와 곱의 연속 — 14번 대비.
- ★ 미분계수 정의를 이용한 극한값 계산 — 6·10·17번 공통 재료.
- 항등식에서 도함수 구하기 — 7번 대비.
- ★ 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 — 4·20번 대비. 연속 조건과 미분계수 일치 조건 두 식.
- ★ 접선의 방정식과 접선 기울기로 미정계수 결정 — 9·18·19번 대비. 이 시험의 시그니처.
- 평균값 정리 — 12번 대비.
- 접선 기울기의 최대·최소 — 21번 대비. 답을 식으로 쓰는 연습까지.
자주 나오는 질문
초당고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025 학년 기준 21문항입니다. 1~20번은 선택형, 21번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 미분계수와 도함수 8문항이 가장 많습니다. 이어서 함수의 극한 5문항, 함수의 연속 4문항, 도함수의 활용(1) 4문항입니다.
극대·극소나 증가·감소도 나왔나요?
이번 시험지에는 도함수의 활용(2) 단원 문항이 없습니다. 도함수의 활용은 접선과 평균값 정리를 다루는 (1) 단원만 4문항 나왔습니다.
킬러 문항은 몇 번인가요?
상 난이도는 20번 한 문항입니다. 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성을 묻는 문항으로, 같은 유형의 4번(중)과 연결됩니다.
과년도 초당고 기출도 볼 수 있나요?
내신판은 확보된 원문만 제공합니다. 찾는 시험지가 없으면 내신판에서 요청할 수 있습니다.
초당고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ 기출 받아보기
2025 학년 초당고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 원문은 내신판에서 바로 확인할 수 있습니다. 원문과 함께 같은 유형·다른 숫자의 변형 문제도 제공됩니다.
📚 초당고 전체 기출이 궁금하다면?
가입만 해도 무료 20 크레딧 지급, 바로 다운로드 가능합니다.
(경기 용인시 지역 학원 강사·학원장이시라면 인근 고등학교 기출을 한 번에 확보해 수업 준비 시간을 줄일 수 있습니다.)