용인홍천고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025 학년)
경기 용인시 용인홍천고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 2025 학년 기준 총 20문항입니다. 결론부터 말하면 어려운 시험입니다. 상 난이도가 6문항, 중상이 7문항으로 20문항 중 13문항이 중상 이상이고, 15번부터 20번까지 여섯 문항이 연속으로 상입니다.
핵심 요약
- 20문항 — 1~18번 선택형, 19·20번은 답을 직접 쓰는 형태
- 난이도: 하 4 / 중 3 / 중상 7 / 상 6
- 배치 단원: 03 미분계수와 도함수 6 · 05 도함수의 활용(2) 5 · 02 함수의 연속 4 · 01 함수의 극한 3 · 04 도함수의 활용(1) 1 · 06 도함수의 활용(3) 1
- 최다 반복 유형: 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 5회(9·13·14·17·19번)
- 15~20번 여섯 문항이 모두 상, 서술형 19·20번도 상
용인홍천고 고2 2학기 중간 수학Ⅱ는 어떤 시험인가
용인홍천고등학교는 경기 용인시에 있는 고등학교입니다. 이름에 '홍천'이 들어가지만 강원 홍천군의 학교들과는 무관한 용인 지역 학교입니다.
2025 학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 20문항이고, 정답 기록상 1~18번은 오지선다, 19·20번은 답을 직접 쓰는 서술형입니다. 20번은 함수식과 함숫값을 함께 답하는 형태입니다.
난이도 구조가 매우 뚜렷합니다. 1~4번 하, 5~7번 중, 8~14번 중상, 15~20번 상. 번호가 올라갈수록 정확히 한 단계씩 어려워지는 계단형 배치입니다.
2025 학년 난이도 분포 — 중상 이상 13문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 4 | 20% | 1·2·3·4 |
| 중 | 3 | 15% | 5·6·7 |
| 중상 | 7 | 35% | 8·9·10·11·12·13·14 |
| 상 | 6 | 30% | 15·16·17·18·19·20 |
중 난이도가 5~7번 세 문항뿐입니다. 하 4문항과 중 3문항, 합쳐서 7문항을 지나면 바로 중상 구간으로 들어갑니다.
이 시험에서 등급을 가르는 곳은 8~14번 중상 일곱 문항입니다. 상 여섯 문항을 모두 푸는 학생은 많지 않으니, 중상 구간을 얼마나 지키느냐가 현실적인 승부처입니다. 상 문항은 서술형 19·20번을 포함해 부분점수를 노릴 수 있는 곳부터 손대는 편이 낫습니다.
출제 단원 — 미분 파트 13문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 03 미분계수와 도함수 | 6 | 1·7·9·13·14·19 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 5 | 4·5·8·17·20 |
| 02 함수의 연속 | 4 | 2·10·15·16 |
| 01 함수의 극한 | 3 | 3·6·11 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 1 | 12 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 1 | 18 |
미분 파트(03~06 단원)가 13문항, 극한·연속 파트가 7문항입니다. 함수의 극한은 3문항으로 비중이 작고, 상 문항도 없습니다.
도함수의 활용(2)가 5문항으로 극대·극소와 증가·감소의 비중이 큽니다. 여기에 도함수의 활용(3)의 18번(두 그래프의 교점의 개수)까지 나와 도함수의 활용 전체가 7문항입니다.
시그니처 유형 — 구간별 정의 함수의 미분가능성 5회
이 시험을 한 줄로 요약하면 "구간에 따라 다르게 정의된 함수가 미분가능할 조건" 입니다.
이 유형이 9·13·14·17·19번 다섯 문항에 쓰였습니다. 9·13·14번은 중상, 17·19번은 상입니다. 경계점 x=a에서
- 연속 조건 — 왼쪽 식과 오른쪽 식의 x=a에서의 값이 같다
- 미분계수 조건 — 왼쪽 식과 오른쪽 식의 도함수 값이 x=a에서 같다
이 두 식을 세우는 절차가 다섯 번 반복됩니다. 여기에 문항마다 평균변화율(9번), 다항함수의 결정(13번), (x−a)f(x) 꼴의 연속(14번), 최대·최소와 극대·극소(17번), 극대·극소의 활용(19번) 이 한 겹씩 더해집니다.
그 밖에 반복된 유형은 다음과 같습니다.
- 함수의 극대·극소의 활용 — 18·19·20번
- 다항함수의 결정 — 6·11·13번
- 접선의 방정식(접점의 좌표가 주어진 경우) — 7·18·20번
- 함수의 극대·극소 — 8·17번
- 미정계수의 결정 — 6·11번
- 함수가 연속일 조건 — 2·14번
- (x−a)f(x) 꼴의 함수의 연속 — 14·16번
- 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 15·20번
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 함수의 극한 (3·6·11번) — 3문항
3번 하 ∞/∞ 꼴의 극한, 6번 중 다항함수의 결정 · 미정계수의 결정 · ∞/∞ 꼴, 11번 중상 미정계수의 결정 · 다항함수의 결정.
6번과 11번이 같은 유형 조합입니다. 극한값 조건에서 다항함수의 차수와 계수를 정하는 것이 핵심이고, 6번에서 익힌 흐름을 11번에서 한 단계 더 복잡하게 씁니다.
2. 함수의 연속 (2·10·15·16번) — 4문항
2번 하 함수가 연속일 조건, 10번 중상 함수의 그래프와 연속 · 좌극한과 우극한(그래프), 15번 상 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성과 두 함수의 곱의 연속 · 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 16번 상 함수가 연속일 조건 (응용) · (x−a)f(x) 꼴의 함수의 연속.
15·16번 두 문항이 연속 단원의 상입니다. 15번은 교점의 개수를 함숫값으로 두는 함수이고, 불연속점을 찾으려면 y=f(x)와 y=k의 교점 개수가 바뀌는 k값을 알아야 합니다. 결국 도함수로 그래프 개형을 그리는 힘이 연속 문제에서도 필요합니다.
3. 미분계수와 도함수 (1·7·9·13·14·19번) — 6문항
1번 하 미분법의 공식, 7번 중 미분계수를 이용한 극한값 lim_{x→a} · 접선의 방정식 · 곱의 미분법, 9번 중상 구간별 정의 함수의 미분가능성 · 평균변화율, 13번 중상 구간별 정의 함수의 미분가능성 · 다항함수의 결정, 14번 중상 구간별 정의 함수의 미분가능성 · (x−a)f(x) 꼴의 연속 · 함수가 연속일 조건, 19번 상(서술형) 구간별 정의 함수의 미분가능성 · 함수의 극대·극소의 활용.
1·7번을 빼면 네 문항이 모두 미분가능성입니다. 이 단원 대비는 곧 미분가능성 대비입니다.
4. 도함수의 활용 (4·5·8·12·17·18·20번) — 7문항
4번 하 함수의 증가와 감소, 5번 중 삼차함수가 주어진 구간에서 극값을 가질 조건, 8번 중상 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 · 함수의 극대·극소, 12번 중상 접선이 곡선과 다시 만나는 점 · 접선의 기울기, 17번 상 함수의 최대·최소 · 구간별 정의 함수의 미분가능성 · 함수의 극대·극소, 18번 상 두 그래프의 교점의 개수 · 극대·극소의 활용 · 접선의 방정식, 20번 상(서술형) 극대·극소의 활용 · 접선의 방정식 · 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.
5번 "주어진 구간에서 극값을 가질 조건" 은 f′(x)=0의 근이 그 구간 안에 있고 부호가 바뀌어야 한다는 조건입니다. 이차방정식의 근의 분리와 연결됩니다.
12번은 접선을 구한 뒤 곡선과 연립해 다시 만나는 점을 찾는 문항입니다. 접점이 중근이 된다는 점을 이용하면 인수분해가 빨라집니다.
18·20번은 극대·극소로 그래프 개형을 그린 뒤 접선과 교점의 개수를 따지는 문항입니다. 20번은 서술형이라 풀이 과정을 단계별로 써야 합니다.
주의 문항 — 상 6문항
15번 상 (교점 개수로 정의된 함수의 연속) — 실근의 개수가 바뀌는 지점을 먼저 찾습니다.
16번 상 ((x−a)f(x) 꼴의 연속 응용) — 불연속점에서 곱해지는 인수가 0이 되는지 확인합니다.
17번 상 (최대·최소 + 미분가능성 + 극대·극소) — 세 개념이 한 문항에 들어갔습니다.
18번 상 (두 그래프의 교점의 개수) — 도함수의 활용(3) 단원의 유일한 문항입니다.
19번 상 (서술형, 미분가능성 + 극대·극소) — 이 시험 시그니처 유형의 최고 난도 버전입니다.
20번 상 (서술형, 극대·극소 + 접선 + 실근의 개수) — 함수식을 구하고 함숫값까지 답해야 합니다.
용인홍천고 고2 2학기 중간 수학Ⅱ 대비 학습 순서
- 미분법의 공식, ∞/∞ 꼴 극한, 연속 조건 기본 — 1·2·3번 확보.
- 함수의 증가와 감소 — 4번 확보.
- ★ 다항함수의 결정과 미정계수의 결정 — 6·11·13번 대비.
- 미분계수를 이용한 극한값과 곱의 미분법 — 7번 대비.
- ★★ 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 — 9·13·14·17·19번 대비. 이 시험 최다 반복, 최우선.
- 그래프와 연속, 좌극한·우극한 — 10번 대비.
- (x−a)f(x) 꼴의 연속 — 14·16번 대비.
- 삼차함수가 구간에서 극값을 가질 조건 — 5번 대비.
- 극대·극소를 이용한 미정계수 결정 — 8번 대비.
- 접선이 곡선과 다시 만나는 점 — 12번 대비.
- ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 15·20번 대비. 그래프 개형 그리기.
- 두 그래프의 교점의 개수와 접선 — 18·20번 대비.
자주 나오는 질문
용인홍천고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025 학년 기준 20문항입니다. 1~18번은 선택형, 19·20번은 답을 직접 쓰는 서술형입니다.
얼마나 어려운 시험인가요?
상 6문항, 중상 7문항으로 중상 이상이 13문항(65%)입니다. 15~20번 여섯 문항이 모두 상입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 미분계수와 도함수 6문항, 도함수의 활용(2) 5문항 순입니다. 함수의 극한은 3문항으로 가장 적습니다.
가장 중요한 유형 하나만 꼽는다면?
구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성입니다. 9·13·14·17·19번 다섯 문항에 쓰였고, 그중 두 문항이 상입니다.
강원 홍천의 학교와 같은 곳인가요?
아닙니다. 용인홍천고등학교는 경기 용인시에 있는 학교이고, 이 글은 용인홍천고 시험지만 분석했습니다.
과년도 용인홍천고 기출도 볼 수 있나요?
내신판은 확보된 원문만 제공합니다. 찾는 시험지가 없으면 내신판에서 요청할 수 있습니다.
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