대구남산고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025 기출)

대구남산고 2학년 2학기 중간 수2는 2025학년 기준 총 25문항입니다. 대구 수성구에 있는 대구남산고등학교의 이번 시험은 함수의 극한과 연속 12문항, 미분 13문항으로 거의 반반이고, 하 난이도가 11문항으로 가장 많습니다. 쉬운 문항이 많은 대신 서답형이 9문항이라 풀이를 끝까지 써내는 힘이 점수를 가릅니다.

핵심 요약

• 25문항 — 1~16번 선택형, 17~25번 서답형(9문항)
• 난이도: 하 11 / 중 8 / 중상 5 / 상 1
• 배치 단원: 미분계수와 도함수 8 / 함수의 연속 7 / 함수의 극한 5 / 도함수의 활용 (2) 3 / 도함수의 활용 (1) 1 / 도함수의 활용 (3) 1
• 시그니처: 함수의 연속 7문항, 그중 상(21번)·중상(24·25번)이 전부 서답형
• 가장 까다로운 구간: 21·24·25번 — 연속 조건과 사잇값 정리를 서술로 풀어내는 문항

부산 남산고등학교, 창원남산고등학교처럼 이름이 비슷한 학교가 있어 헷갈리기 쉽습니다. 이 글은 대구 수성구 대구남산고등학교 시험지 기준입니다.

대구남산고 수학Ⅱ 2학기 중간은 어떤 시험인가

2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 25문항입니다. 정답 기록을 보면 1~16번이 선택형, 17~25번이 서답형입니다. 서답형이 9문항으로 전체의 3분의 1이 넘습니다.

범위는 함수의 극한부터 도함수의 활용까지입니다. 다만 실제 배치 단원을 세어 보면 무게중심은 앞쪽에 있습니다. 함수의 극한·함수의 연속·미분계수와 도함수 세 단원이 20문항이고, 도함수의 활용은 (1)·(2)·(3)을 합쳐도 5문항입니다. 극대·극소나 그래프 개형보다 극한 계산, 연속 조건, 미분계수의 정의를 얼마나 정확하게 다루는지를 묻는 시험입니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 11문항, 상 1문항

하 난이도가 11문항(44%) 입니다. 기본 개념만 정확하면 절반 가까이는 확보할 수 있는 구조입니다.

주목할 점은 1~13번 선택형에 중상 이상이 한 문항도 없다는 것입니다. 첫 중상은 14번에서 나옵니다. 그리고 중상·상 6문항 가운데 절반(21·24·25번)이 서답형입니다. 선택형에서 시간을 아껴 서답형 뒤쪽에 충분히 남겨두는 것이 이 시험의 운영 포인트입니다.

출제 단원 — 미분계수와 도함수 8, 함수의 연속 7

미분계수와 도함수(8문항) 가 가장 많고, 함수의 연속(7문항) 이 바로 뒤를 잇습니다. 두 단원만 합쳐도 15문항, 전체의 60%입니다.

반면 도함수의 활용 쪽은 접선 1문항(6번), 최대·최소와 극값 조건 3문항(13·14·17번), 교점의 개수 1문항(3번)으로 얇습니다. 범위 끝까지 공부하되, 시간 배분은 앞 세 단원에 두는 편이 맞습니다.

시그니처 — 함수의 연속 7문항, 어려운 문항은 전부 여기

이 시험의 난도를 만드는 곳은 함수의 연속 단원입니다.

• 21번 상 (서답형) 함수가 연속일 조건 (응용) · 다항함수의 결정
• 24번 중상 (서답형) 사잇값 정리; 실근의 개수 · 미정계수의 결정
• 25번 중상 (서답형) 함수가 연속일 조건 (응용) · 함수가 연속일 조건

"함수가 연속일 조건 (응용)"이 21·25번 두 번 나왔고, 사잇값 정리도 4번(실근이 존재하는 구간)과 24번(실근의 개수) 두 번 쓰였습니다. 연속 단원의 기본(4·7·12·19번)은 하·중 난이도로 가볍게 묻고, 마지막 서답형 세 문항에서 응용으로 몰아치는 구조입니다.

19번 서답형은 특정 점에서 함수가 연속인지 판정하는 문항입니다. 정답 기록이 숫자가 아니라 극한값과 함숫값을 비교해 불연속이라고 결론 내리는 형태입니다. 연속의 세 조건(함숫값 존재, 극한값 존재, 둘이 같음)을 순서대로 확인하는 서술이 그대로 점수가 됩니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 미분계수와 도함수 (1·2·9·10·15·16·20·22번) — 8문항

1번 하 미분법의 공식, 2번 하 평균변화율, 9번 중 미분가능성과 연속성 · 함수의 그래프와 연속, 10번 하 미분계수를 이용한 극한값의 계산(h→0 꼴), 15번 중상 미분계수를 이용한 극한값의 계산(x→a 꼴), 16번 중상 미분가능성과 연속성 · 함수의 극대·극소, 20번 중 (서답형) 항등식이 주어질 때 도함수 구하기, 22번 중 (서답형) 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성.

미분가능성과 연속성이 9·16번 두 번 나왔습니다. 미분가능하면 연속이지만, 연속이라고 미분가능한 것은 아니라는 관계를 그래프로 판단하는 문제입니다.

10번과 15번은 같은 뿌리입니다. 10번은 f(a+h)-f(a)를 h로 나눈 꼴, 15번은 f(x)-f(a)를 x-a로 나눈 꼴입니다. 식을 미분계수의 정의 모양으로 맞춰 주는 변형이 핵심이고, 15번이 중상인 이유는 이 변형이 한 번 더 꼬여 있기 때문입니다.

2. 함수의 연속 (4·7·12·19·21·24·25번) — 7문항

4번 하 사잇값 정리; 실근이 존재하는 구간, 7번 하 연속함수의 성질, 12번 중 (x-a)f(x) 꼴의 함수의 연속, 19번 하 (서답형) 함수의 연속, 21번 상 (서답형), 24번 중상 (서답형), 25번 중상 (서답형).

12번의 (x-a)f(x) 꼴은 연속 단원의 대표 유형입니다. 곱해진 (x-a) 때문에 x=a에서 분모가 0이 되는 상황을 인수분해로 풀어내는 문제입니다.

3. 함수의 극한 (5·8·11·18·23번) — 5문항

5번 하 함수의 극한의 대소 관계 · ∞/∞ 꼴의 극한, 8번 하 함수의 극한에 대한 성질, 11번 중 0/0 꼴의 극한; 유리식 · ∞-∞ 꼴의 극한, 18번 하 (서답형) 0/0 꼴의 극한; 무리식, 23번 중 (서답형) 다항함수의 결정 · 미정계수의 결정.

23번은 극한 조건으로 다항함수를 결정하는 서답형입니다. 정답이 f(x) 식 전체로 기록되어 있어, 최고차항과 계수를 하나씩 확정해 가는 과정을 빠짐없이 써야 합니다. 같은 "다항함수의 결정"이 21번 상 문항에도 들어가 있으니 이 유형은 반드시 손에 익혀야 합니다.

4. 도함수의 활용 (3·6·13·14·17번) — 5문항

3번 중 두 그래프의 교점의 개수 · 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 6번 하 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우, 13번 중 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 14번 중상 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 갖지 않을 조건, 17번 하 (서답형) 실수 전체의 집합에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건.

14번의 사차함수 극값 조건이 이 파트에서 가장 까다롭습니다. 도함수가 삼차함수가 되므로, 극값이 하나만 생기려면 도함수의 부호 변화가 한 번만 일어나야 한다는 점을 따져야 합니다. 17번은 삼차함수가 증가하려면 도함수가 항상 0 이상이라는 조건을 판별식으로 옮기는 기본 유형입니다.

주의 문항 — 중상·상 6문항

21번이 유일한 상 문항입니다. 연속 조건으로 다항함수를 확정한 뒤 값을 구하는 복합형이라, 앞 단계에서 식을 하나라도 잘못 세우면 끝까지 틀립니다.

대구남산고 수학Ⅱ 2학기 중간 대비 학습 순서

1. 극한 계산 기본기 — 0/0 꼴(유리식·무리식), ∞/∞ 꼴, ∞-∞ 꼴. 5·11·18번 대비.
2. 함수의 극한의 대소 관계와 성질 — 5·8번 대비. 확보 구간입니다.
3. ★ 극한 조건으로 다항함수 결정하기 — 23번, 그리고 21번 상 문항의 재료.
4. 연속의 정의와 판정 서술 — 19번 서답형 대비. 세 조건을 순서대로 쓰기.
5. (x-a)f(x) 꼴의 연속 — 12번 대비.
6. ★ 함수가 연속일 조건 (응용) — 21·25번. 이 시험의 최고 난도 구간.
7. 사잇값 정리 — 4·24번. 실근이 존재하는 구간과 실근의 개수를 모두 연습.
8. 미분계수의 정의와 극한값 계산 — 10·15번. 식을 정의 모양으로 맞추는 변형.
9. 미분가능성과 연속성 — 9·16번. 그래프로 판단하는 연습.
10. 구간별로 정의된 함수의 미분가능성 — 22번 서답형.
11. 항등식에서 도함수 구하기 — 20번 서답형.
12. 삼차·사차함수의 증가·감소와 극값 조건 — 14·17번.
13. 접선의 방정식과 최대·최소 — 6·13번.
14. 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 3번. 범위 끝 단원이라 한 번은 정리해 두세요.

자주 나오는 질문

대구남산고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 25문항입니다. 1~16번은 선택형, 17~25번 9문항은 서답형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 미분계수와 도함수 8문항, 함수의 연속 7문항입니다. 함수의 극한까지 합치면 앞 세 단원이 20문항입니다.

킬러 문항은 어디에 있나요?

상 난이도는 21번 한 문항으로, 함수가 연속일 조건과 다항함수의 결정을 묶은 서답형입니다. 중상은 14·15·16·24·25번입니다.

도함수의 활용은 얼마나 나오나요?

(1)·(2)·(3)을 합쳐 5문항(3·6·13·14·17번)입니다. 범위에는 들어가지만 비중은 앞 단원보다 작습니다.

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