과천중앙고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025 기출, 경기 과천시)

과천중앙고 2학년 2학기 중간 수2는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 경기 과천시 과천중앙고등학교의 이번 시험은 중상 10문항, 상 5문항으로 중상 이상이 15문항입니다. 전체의 3분의 2가 넘습니다. 하 난이도는 1~4번 네 문항뿐이고, 7번부터 19번까지 선택형 13문항이 한 문항도 빠짐없이 중상 이상입니다.

핵심 요약

• 22문항 — 1~19번 선택형, 20~22번 서답형(3문항)
• 난이도: 하 4 / 중 3 / 중상 10 / 상 5
• 배치 단원: 함수의 극한 7 / 미분계수와 도함수 7 / 함수의 연속 5 / 도함수의 활용 (1) 3
• 시그니처: 극한 조건으로 다항함수 결정 3회(8·9·15번), 미분가능성 2회(14·17번)
• 가장 까다로운 구간: 16~19번 선택형 네 문항 연속 상

과천중앙고 수학Ⅱ 2학기 중간은 어떤 시험인가

2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 22문항입니다. 정답 기록상 1~19번이 선택형, 20~22번이 서답형입니다.

배치 단원은 함수의 극한·연속 12문항, 미분계수와 도함수 7문항, 도함수의 활용 (1) 3문항입니다. 범위 이름은 도함수의 활용까지지만, 실제로는 접선과 평균값 정리를 다루는 도함수의 활용 (1)까지만 나왔습니다. 증가·감소, 극대·극소, 방정식의 실근 같은 도함수의 활용 (2)·(3) 배치 문항은 없습니다.

범위가 좁은 대신 깊게 묻는 시험입니다. 극한·연속·미분가능성이라는 개념 자체를 조건으로 활용하는 문항이 대부분입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 이상 15문항

하 1~4번, 중 5·6번이 끝나면 곧바로 7~15번 아홉 문항 연속 중상, 16~19번 네 문항 연속 상입니다. 선택형 19문항 중 13문항이 중상 이상입니다.

서답형도 20번만 중이고 21번 중상, 22번 상입니다. 이 시험에서 확실히 가져갈 수 있는 구간은 1~6번과 20번 정도라, 중상 문항에서 얼마나 정확히 푸느냐가 점수를 결정합니다.

출제 단원 — 극한과 미분계수 각 7문항

함수의 연속 5문항이 눈에 띕니다. 6번 중을 빼면 12번 중상, 16·18·22번 상으로, 상 다섯 문항 중 세 개가 연속 단원입니다. 미분계수와 도함수 7문항도 17·19번 상, 13·14번 중상으로 뒤쪽이 무겁습니다.

시그니처 — 다항함수 결정과 미분가능성

① 극한 조건으로 다항함수 결정 (8·9·15번, 모두 중상)

• 8번 다항함수의 결정 · 미정계수의 결정 (응용) · ∞/∞ 꼴
• 9번 ∞/∞ 꼴 · 다항함수의 결정 · 미분계수를 이용한 극한값; x→a 꼴
• 15번 다항함수의 결정 · ∞/∞ 꼴

세 문항 모두 ∞/∞ 꼴 극한이 함께 들어 있습니다. x→∞일 때 극한값이 존재하면 분모·분자의 차수와 최고차항 계수가 결정된다는 것이 출발점입니다. 9번은 여기에 x→a 조건이 붙어 미분계수까지 연결됩니다.

② 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 (14번 중상, 17번 상)

경계점에서 연속이어야 하고, 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 미분가능합니다. 14번은 이 두 조건으로 미정계수를 구하고, 17번은 미분가능성과 연속성의 관계를 더 깊게 묻습니다.

그리고 미분계수를 이용한 극한값 계산(x→a 꼴)이 9·13·16·19·21번 다섯 문항에 유형으로 들어 있습니다. f'(a)의 정의식 모양을 만들어내는 변형을 빠르게 할 수 있어야 합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 함수의 극한 (1·4·7·8·9·11·15번) — 7문항

1번 하 함수의 극한값 구하기, 4번 하 좌극한과 우극한; 그래프가 주어진 경우 · 함수의 극한값의 존재, 7번 중상 함수의 극한값의 존재 · 함수의 연속 · 연속함수의 성질, 8·9번 중상, 11번 중상 함수의 극한의 활용; 도형의 길이와 넓이 · ∞/∞ 꼴, 15번 중상.

7번은 극한값의 존재에 연속함수의 성질이 결합된 문항입니다. 두 연속함수의 합·차·곱은 연속이라는 성질과 좌극한·우극한 비교를 함께 써야 합니다.

11번 도형 극한은 길이나 넓이를 식으로 세운 뒤 ∞/∞ 꼴 극한으로 처리합니다.

2. 미분계수와 도함수 (2·5·13·14·17·19·20번) — 7문항

2번 하 미분법의 공식, 5번 중 미분계수를 이용한 극한값의 계산; h→0 꼴 · 접선의 기울기, 13번 중상 미분계수를 이용한 극한값; x→a 꼴 · 미분계수를 이용한 미정계수의 결정 · 치환을 이용한 극한값의 계산, 14번 중상, 17번 상, 19번 상 미분계수를 이용한 극한값; x→a 꼴 · 접선의 기울기, 20번 중 (서답형) 항등식이 주어질 때 미분계수 구하기 · 항등식이 주어질 때 도함수 구하기 · 도함수의 정의를 이용하여 도함수 구하기.

20번 서답형은 소문항 (1)(2)로 나뉩니다. 항등식이 주어졌을 때 특정 값을 대입해 필요한 함숫값부터 구하고, 도함수의 정의에 넣어 f'(x)를 구하는 흐름이 표준입니다. 이 시험의 서답형 중 유일한 중 난이도라 반드시 챙겨야 합니다.

13번 치환은 극한식의 변수를 바꿔 미분계수의 정의 꼴로 맞추는 기술입니다.

3. 함수의 연속 (6·12·16·18·22번) — 5문항

6번 중 함수가 연속일 조건 · 미정계수의 결정 · 0/0 꼴 유리식, 12번 중상 함수가 연속일 조건 (응용), 16번 상 사잇값 정리; 실근의 개수 · 사잇값 정리; 실근이 존재하는 구간 · 미분계수를 이용한 극한값; x→a 꼴, 18번 상 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성과 두 함수의 곱의 연속 · 두 그래프의 교점의 개수, 22번 상 (서답형) 함수가 연속일 조건 · 미정계수의 결정 · 함수의 최대·최소.

18번은 "두 그래프의 교점의 개수"로 새 함수를 정의하고 그 함수의 연속성을 따지는 유형입니다. 교점 개수 함수는 값이 갑자기 바뀌는 지점에서 불연속이 되므로, 곱한 함수가 그 지점에서 0이 되도록 맞추는 것이 전형적인 풀이 방향입니다.

22번 서답형은 정답 기록상 미지수 다섯 개를 모두 구해야 하는 문항입니다. 연속 조건에서 식을 여러 개 세우고 최대·최소 조건까지 써야 해서, 식 세우는 순서를 정리해 두지 않으면 중간에 꼬이기 쉽습니다.

4. 도함수의 활용 (1) (3·10·21번) — 3문항

3번 하 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우, 10번 중상 접선이 곡선과 다시 만나는 점 · 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우, 21번 중상 (서답형) 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우 · 곱의 미분법; y=f(x)g(x) 꼴 · 미분계수를 이용한 극한값; x→a 꼴.

10번은 접선을 구한 뒤 곡선과 연립해 다시 만나는 점을 찾습니다. 곡선과 접선을 연립한 방정식에서 접점의 x좌표는 중근이 된다는 점을 이용하면 인수분해가 빨라집니다.

주의 문항 — 상 5문항

16~19번이 연속 상이라, 선택형 마지막 네 문항에 시간이 크게 걸립니다. 앞 15문항을 얼마나 빨리 정확하게 끝내느냐가 관건입니다.

과천중앙고 수학Ⅱ 2학기 중간 대비 학습 순서

1. 극한값, 좌극한·우극한, 미분법의 공식, 평균값 정리 — 1~4번 대비. 확보 구간입니다.
2. h→0 꼴 미분계수와 접선의 기울기 — 5번.
3. 함수가 연속일 조건과 미정계수 — 6번, 12번 중상.
4. ★ 항등식에서 미분계수·도함수 구하기 — 20번 서답형. 반드시 확보.
5. 극한값의 존재와 연속함수의 성질 — 7번 중상.
6. ★ ∞/∞ 꼴로 다항함수 결정 — 8·9·15번 중상.
7. 도형 극한 — 11번 중상.
8. ★ x→a 꼴 미분계수 극한과 치환 — 9·13·16·19·21번.
9. 접선이 곡선과 다시 만나는 점 — 10번 중상.
10. ★ 구간별 정의 함수의 미분가능성 — 14번 중상, 17번 상.
11. 사잇값 정리로 실근의 개수 판단 — 16번 상.
12. 교점 개수로 정의된 함수의 연속성 — 18번 상.
13. 접선과 곱의 미분법 — 21번 서답형.
14. 연속 조건 + 최대·최소로 미지수 여러 개 결정 — 22번 서답형.

자주 나오는 질문

과천중앙고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 1~19번은 선택형, 20~22번 3문항은 서답형입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도가 16·17·18·19·22번 다섯 문항입니다. 그중 세 문항(16·18·22번)이 함수의 연속 단원입니다. 중상도 10문항이라 전체적으로 어려운 시험입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 함수의 극한과 미분계수와 도함수가 각 7문항입니다. 함수의 연속 5문항, 도함수의 활용 (1) 3문항입니다.

서답형은 어떤 문항이 나오나요?

20번(항등식에서 미분계수·도함수 구하기, 중), 21번(접선의 방정식과 곱의 미분법, 중상), 22번(연속 조건과 최대·최소로 미지수 결정, 상)입니다.

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