도농고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025 학년)
도농고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 2025 학년 기준 총 22문항입니다. 함수의 극한부터 도함수의 활용까지, 수학Ⅱ 앞쪽 두 대단원을 함께 평가했습니다. 이 시험에서 가장 눈에 띄는 점은 상 난이도 2문항(14·19번)이 둘 다 평균값 정리라는 것, 그리고 **중상이 9문항으로 전체의 41%**를 차지한다는 것입니다.
핵심 요약
- 22문항 — 1~19번 선택형, 20~22번 서답형
- 난이도: 하 3 / 중 8 / 중상 9 / 상 2
- 배치 단원: 함수의 극한 7 / 미분계수와 도함수 6 / 함수의 연속 3 / 도함수의 활용 (1) 3 / 도함수의 활용 (2) 2 / 도함수의 활용 (3) 1
- 상 난이도 2문항(14·19번)이 모두 평균값 정리
- 반복 유형: 미분계수를 이용한 극한값 계산 3회, ∞/∞ 꼴의 극한 3회, 미정계수의 결정 3회
도농고 고2 2학기 중간 수학Ⅱ는 어떤 시험인가
도농고등학교는 경기 남양주시에 있는 고등학교입니다. 2025 학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 22문항이고, 정답 기록을 보면 1~19번은 오지선다, 20~22번은 답을 직접 쓰는 서답형입니다.
단원 비중은 대단원으로 묶으면 함수의 극한과 연속 10문항, 다항함수의 미분법 12문항입니다. 미분 쪽이 조금 더 무겁지만 거의 반반입니다. 다만 미분 12문항 중 절반인 6문항이 미분계수와 도함수에 있고, 도함수의 활용 세 단원은 합쳐서 6문항입니다. 극값·그래프 활용보다 미분계수의 정의와 계산을 더 많이 물은 시험이라고 보는 편이 정확합니다.
문항 배치는 단원 순서대로가 아닙니다. 6번이 벌써 방정식의 실근의 개수(도함수의 활용 (3)) 이고, 그 뒤로 극한·미분계수·연속이 섞여 나옵니다. 앞번호라고 쉬운 문항만 있는 게 아니니 첫 페이지부터 긴장을 늦추면 안 됩니다.
2025 학년 난이도 분포 — 중상 9문항이 핵심
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 3 | 14% | 1·2·3 |
| 중 | 8 | 36% | 4·5·7·8·9·10·13·20 |
| 중상 | 9 | 41% | 6·11·12·15·16·17·18·21·22 |
| 상 | 2 | 9% | 14·19 |
하 3문항은 1~3번에 몰려 있습니다. 4번부터는 전부 중 이상입니다.
상 난이도는 2문항뿐이지만, 중상이 9문항이라 체감 난도는 낮지 않습니다. 특히 서답형 3문항 중 21·22번이 중상입니다. 풀이 과정까지 써야 하는 문항에서 중상이 두 개 나왔다는 건, 개념을 말로 설명할 수 있는 수준까지 준비해야 한다는 뜻입니다.
출제 단원 — 함수의 극한 7문항이 최다
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 01 함수의 극한 | 7 | 1·3·4·5·16·20·21 |
| 03 미분계수와 도함수 | 6 | 2·7·11·12·15·22 |
| 02 함수의 연속 | 3 | 9·13·17 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 3 | 8·14·19 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 2 | 10·18 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 1 | 6 |
함수의 극한(7)과 미분계수와 도함수(6)가 합쳐서 13문항, 전체의 59%입니다. 이 두 단원이 시험의 몸통입니다.
반대로 도함수의 활용 (2)·(3)은 합쳐서 3문항입니다. 극대·극소나 실근의 개수 문항 수는 적지만, 6번과 18번이 둘 다 중상이라 가볍게 넘길 파트는 아닙니다.
시그니처 — 상 2문항이 모두 평균값 정리
14번과 19번, 이 시험의 상 난이도 두 문항이 모두 평균값 정리입니다.
- 14번 상 — 평균값 정리; 그래프를 이용하는 경우 · 미분계수의 기하적 의미 · 미분계수를 이용한 극한값 계산
- 19번 상 — 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우 · 함수의 증가와 감소 · 롤의 정리
14번은 그래프에서 두 점을 이은 직선의 기울기와 접선의 기울기가 같아지는 점을 읽어내는 방향이고, 19번은 정리의 정의와 조건 자체를 롤의 정리·증가와 감소와 함께 따지는 방향입니다. 같은 정리를 그림과 식 두 방향에서 물은 셈입니다.
평균값 정리는 교과서에서 분량이 짧아 가볍게 넘기기 쉬운 부분입니다. 도농고 이번 시험에서는 이 짧은 부분이 1등급을 가르는 두 문항이 됐습니다.
반복 출제 유형
- 미분계수를 이용한 극한값의 계산; lim_{x→a}(f(x)-f(a))/(x-a) — 12·14·15번 (3회)
- ∞/∞ 꼴의 극한 — 1·5·20번 (3회)
- 미정계수의 결정 — 12·20·21번 (3회)
- 함수의 극한값 구하기 — 3·4번
- 함수가 연속일 조건 — 9·17번
- 0/0 꼴의 극한; 무리식 — 13·16번
- 함수의 극대·극소 — 6·18번
- 다항함수의 결정 — 21·22번
눈여겨볼 것은 미분계수의 정의 꼴 극한입니다. 12·14·15번 세 문항에서 핵심 또는 보조 유형으로 쓰였고, 7번에도 h→0 꼴이 따로 나왔습니다. "극한식을 보면 미분계수로 바꿔 읽는다" 는 감각이 이 시험 전체를 관통합니다.
단원별 빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 함수의 극한 (1·3·4·5·16·20·21번) — 7문항
1번 하 ∞/∞ 꼴의 극한, 3번 하 좌극한과 우극한; 그래프가 주어진 경우, 4번 중 함수의 극한에 대한 성질, 5번 중 함수의 극한의 대소 관계, 16번 중상 함수의 극한의 활용; 도형의 길이와 넓이, 20번 중(서답형) 0/0 꼴의 극한; 유리식 · 미정계수의 결정, 21번 중상(서답형) 다항함수의 결정 · 접선의 기울기 · 미정계수의 결정.
1·3번은 확보 구간입니다. 3번 그래프 문항은 좌극한·우극한을 각각 따로 읽는 습관만 있으면 됩니다.
16번은 도형 활용 극한입니다. 도형의 길이·넓이를 식으로 세운 뒤 극한을 취하는 유형이고, 보조 유형으로 무리식 0/0 꼴이 붙어 있습니다. 식 세우기부터 유리화까지 한 흐름으로 끝내야 합니다.
21번은 서답형 중상입니다. 극한 조건으로 다항함수를 결정하고 접선의 기울기 조건까지 붙습니다. 극한값이 존재하려면 분자도 0으로 가야 한다는 조건에서 출발하는 전형적인 흐름입니다.
2. 미분계수와 도함수 (2·7·11·12·15·22번) — 6문항
2번 하 미분법의 공식 · 평균변화율과 미분계수, 7번 중 미분계수를 이용한 극한값 계산(h→0 꼴) · 미분계수를 이용한 미정계수의 결정, 11번 중상 항등식이 주어질 때 도함수 구하기, 12번 중상 미분계수를 이용한 극한값 계산(x→a 꼴) · 미정계수의 결정, 15번 중상 항등식에서 미분법의 활용, 22번 중상(서답형) 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 · 다항함수의 결정.
중상이 4문항입니다. 이 단원이 사실상 시험의 중심 난도를 담당합니다.
11번과 15번은 둘 다 항등식 문항입니다. 11번은 항등식이 주어졌을 때 도함수·미분계수를 구하는 유형, 15번은 항등식의 양변을 미분해 활용하는 유형입니다. 양변에 적절한 값을 대입하거나 양변을 미분하는 두 가지 도구를 모두 손에 익혀 두세요.
22번 서답형은 구간별로 정의된 함수가 미분가능하도록 만드는 문항입니다. 연속 조건과 미분계수 일치 조건, 두 개를 모두 써야 합니다. 하나만 쓰면 감점입니다.
3. 함수의 연속 (9·13·17번) — 3문항
9번 중 함수의 그래프와 연속; 합성함수, 13번 중 (x-a)f(x) 꼴의 함수의 연속, 17번 중상 함수가 연속일 조건 (응용).
13번의 (x-a)f(x) 꼴은 x=a에서 함숫값을 극한으로 구하는 유형으로, 여기서도 무리식 0/0 꼴이 쓰였습니다. 17번은 연속 조건 응용으로, 여러 조건을 동시에 만족시키는 값을 찾아야 합니다.
4. 도함수의 활용 (1) (8·14·19번) — 3문항
8번 중 접선의 기울기의 최댓값 또는 최솟값 · 접선의 방정식, 14번 상 평균값 정리; 그래프, 19번 상 평균값 정리; 정의 · 롤의 정리.
8번은 접선의 기울기 f'(x)를 하나의 이차함수로 보고 최솟값을 구하는 문항입니다. 14·19번은 위 시그니처에서 다뤘습니다.
5. 도함수의 활용 (2)·(3) (6·10·18번) — 3문항
6번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 · 함수의 극대·극소, 10번 중 도함수의 그래프를 이용한 극대·극소, 18번 중상 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 갖지 않을 조건.
10번은 y=f'(x) 그래프를 보고 f(x)의 극대·극소를 판단하는 문항입니다. f'(x)의 부호가 바뀌는 점만 찾으면 됩니다. 18번 사차함수 조건은 f'(x)=0이 삼차방정식이 되는데, 극값을 갖지 않으려면 f'(x)의 부호가 바뀌는 곳이 없어야 한다는 방향으로 정리합니다.
주의 문항 — 상 2문항 + 서답형 중상 2문항
14번 상 (평균값 정리; 그래프) — 그래프에서 기울기 관계를 읽는 문항입니다.
19번 상 (평균값 정리; 정의·롤의 정리) — 정리의 조건을 정확히 알아야 풀립니다.
21번 중상 서답형 (다항함수의 결정) — 극한 조건에서 식을 세우는 과정을 써야 합니다.
22번 중상 서답형 (미분가능성) — 연속·미분계수 두 조건을 모두 적어야 합니다.
6번 중상 (실근의 개수) — 앞번호에 있어 시간을 뺏기기 쉬운 문항입니다.
도농고 고2 2학기 중간 수학Ⅱ 대비 학습 순서
- ∞/∞, 0/0 꼴의 극한 계산 — 1·5·13·16·20번의 기본기.
- 좌극한·우극한 그래프 읽기 — 3번 확보.
- 극한의 성질과 대소 관계 — 4·5번.
- ★ 극한 조건으로 미정계수·다항함수 결정 — 12·20·21·22번에 걸쳐 쓰임.
- 함수의 연속 조건과 (x-a)f(x) 꼴 — 9·13·17번.
- ★ 미분계수의 정의 꼴 극한 — 7·12·14·15번. 이 시험의 공통 도구.
- 항등식에서 도함수 구하기 — 11·15번.
- 구간별 함수의 미분가능성 — 22번 서답형.
- 접선의 기울기와 그 최솟값 — 8번.
- ★ 평균값 정리와 롤의 정리 — 14·19번 상 문항.
- f'(x) 그래프로 극대·극소 판단 — 10번.
- 사차함수 극값 조건, 실근의 개수 — 6·18번.
자주 나오는 질문
도농고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025 학년 기준 22문항입니다. 1~19번이 선택형, 20~22번이 서답형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 함수의 극한 7문항이 가장 많고, 미분계수와 도함수 6문항이 뒤를 잇습니다. 두 단원이 전체의 59%입니다.
킬러 문항은 어디인가요?
상 난이도는 14·19번 두 문항이고, 둘 다 평균값 정리입니다. 이 밖에 중상이 9문항이라 중간 난도 구간이 두껍습니다.
서답형은 어떤 문제가 나왔나요?
20번은 0/0 꼴 극한과 미정계수(중), 21번은 극한 조건으로 다항함수 결정(중상), 22번은 구간별 함수의 미분가능성(중상) 입니다.
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