덕산고(부천) 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025 학년)
이 글은 경기 부천시 덕산고등학교의 시험지 분석입니다. 충남 예산, 경남 산청에도 같은 이름의 덕산고가 있으니 학교를 확인하고 읽어 주세요.
부천 덕산고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 2025 학년 기준 총 20문항입니다. 이 시험은 한마디로 함수의 극한 시험입니다. 20문항 중 11문항(55%)이 함수의 극한 단원에 배치됐고, 난이도는 상 0문항 · 중상 11문항으로 킬러 없이 중상 구간이 절반 이상을 채웠습니다.
핵심 요약
- 20문항 — 1~18번 선택형, 19·20번 서답형
- 난이도: 하 1 / 중 8 / 중상 11 / 상 0
- 배치 단원: 함수의 극한 11 / 미분계수와 도함수 6 / 함수의 연속 2 / 도함수의 활용 (1) 1
- 극대·극소, 그래프 개형, 실근의 개수(도함수의 활용 (2)·(3)) 배치 문항 0
- 시그니처: 6·7·8번 연속 세 문항이 그래프로 좌극한·우극한 읽기
부천 덕산고 고2 2학기 중간 수학Ⅱ는 어떤 시험인가
덕산고등학교는 경기 부천시에 있는 고등학교입니다. 2025 학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 20문항이고, 정답 기록상 1~18번은 오지선다, 19·20번은 서답형입니다.
시험 범위 이름에는 도함수의 활용까지 들어 있지만, 실제 배치 단원을 세어 보면 도함수의 활용 단원은 9번 한 문항(평균값 정리)뿐입니다. 극대·극소, 함수의 그래프, 방정식의 실근 개수로 배치된 문항은 없습니다. 17번에 접선의 방정식이 보조 유형으로 쓰였지만, 이 문항도 배치 단원은 미분계수와 도함수입니다.
대단원으로 묶으면 함수의 극한과 연속 13문항(65%), 다항함수의 미분법 7문항(35%) 입니다. 극한과 연속을 얼마나 탄탄하게 다졌느냐가 점수를 결정하는 구조입니다.
2025 학년 난이도 분포 — 상 0, 중상 11
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 1 | 5% | 1 |
| 중 | 8 | 40% | 2·3·4·5·6·8·10·19 |
| 중상 | 11 | 55% | 7·9·11·12·13·14·15·16·17·18·20 |
| 상 | 0 | 0% | — |
하 난이도는 1번 하나입니다. 2번부터는 전부 중 이상입니다.
대신 상 난이도가 한 문항도 없습니다. 손도 못 댈 문항은 없지만, 중상 11문항이 11번부터 18번까지 여덟 문항 연속으로 이어집니다. 한두 문항에서 막히면 뒤쪽 시간이 모자라는 구조라, 속도와 정확도가 동시에 필요합니다.
이번에 함께 분석한 경기 수학Ⅱ 7개교(남양주 도농고, 부천 덕산고·범박고·부명고, 안산 송호고·양지고·초지고) 가운데 상 난이도가 0문항인 곳은 덕산고뿐이고, 중상 비중(55%)은 가장 높습니다.
출제 단원 — 함수의 극한 11문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 01 함수의 극한 | 11 | 1·2·6·7·8·10·11·12·14·15·18 |
| 03 미분계수와 도함수 | 6 | 5·13·16·17·19·20 |
| 02 함수의 연속 | 2 | 3·4 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 1 | 9 |
함수의 극한 한 단원이 절반 이상입니다. 그리고 이 11문항 중 중상이 6문항(7·11·12·14·15·18번) 입니다. 극한 계산을 기계적으로 하는 수준을 넘어, 극한의 성질·대소 관계·미정계수·도형 활용까지 폭넓게 물었습니다.
시그니처 — 6·7·8번, 그래프로 극한 읽기 세 연타
6·7·8번 세 문항이 모두 "좌극한과 우극한; 그래프가 주어진 경우" 입니다.
- 6번 중 — 좌극한과 우극한(그래프) · 합성함수의 극한
- 7번 중상 — 좌극한과 우극한(그래프) · 함수의 그래프와 연속; 합성함수 · 합성함수의 극한
- 8번 중 — 좌극한과 우극한(그래프) · 함수의 극한값 구하기
특히 6·7번은 합성함수의 극한이 함께 붙어 있습니다. 그래프에서 f(g(x))의 극한을 구할 때는 안쪽 g(x)가 어느 방향에서 다가가는지(위에서인지 아래에서인지) 를 먼저 정해야 바깥 함수의 좌·우극한을 고를 수 있습니다. 이 한 가지 판단이 세 문항의 성패를 가릅니다.
반복 출제 유형
- 함수의 극한에 대한 성질 — 1·10·11번 (3회)
- 좌극한과 우극한; 그래프가 주어진 경우 — 6·7·8번 (3회)
- 합성함수의 극한 — 6·7번
- ∞/∞ 꼴의 극한 — 2·11번
- 0/0 꼴의 극한; 유리식 — 10·14번
- 함수의 극한값 구하기 — 8·12번
- 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 · 미분가능성과 연속성 — 5·20번
- 곱의 미분법; y=f(x)g(x) 꼴 — 17·20번
단원별 빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 함수의 극한 계산과 성질 (1·2·10·11·12번) — 5문항
1번 하 함수의 극한에 대한 성질, 2번 중 ∞/∞ 꼴 · ∞-∞ 꼴의 극한, 10번 중 함수의 극한에 대한 성질 · 0/0 꼴(유리식) · 치환을 이용한 극한값 계산, 11번 중상 ∞/∞ 꼴 · 함수의 극한에 대한 성질, 12번 중상 함수의 극한의 대소 관계 · 함수의 극한값 구하기.
극한의 성질이 세 문항(1·10·11번) 에 걸쳐 나왔습니다. lim f(x)와 lim g(x)가 각각 존재할 때만 합·차·곱·몫으로 쪼갤 수 있다는 전제 조건을 정확히 알아야 합니다.
10번은 치환이 들어간 문항입니다. x 대신 다른 식이 다가가는 꼴이면 새 문자로 바꿔 익숙한 꼴로 되돌리는 것이 요령입니다.
12번 대소 관계는 양쪽에서 끼워 넣는 두 함수의 극한이 같으면 가운데 함수의 극한도 같다는 원리입니다.
2. 그래프와 합성함수의 극한 (6·7·8번) — 3문항
위 시그니처에서 다뤘습니다. 7번이 중상입니다.
3. 극한 조건과 미정계수, 도형 활용 (14·15·18번) — 3문항, 전부 중상
14번 미정계수의 결정 (응용) · 0/0 꼴(유리식), 15번 다항함수의 결정 · 미정계수의 결정, 18번 함수의 극한의 활용; 도형의 길이와 넓이 · 0/0 꼴(무리식).
14·15번은 "극한값이 존재한다"는 조건에서 계수를 역추적하는 유형입니다. 분모가 0으로 가는데 극한값이 있으면 분자도 0으로 가야 한다는 조건이 출발점입니다. 15번처럼 다항함수 자체를 결정하는 문항은 차수부터 정하고 들어가야 합니다.
18번은 도형 활용 극한으로, 무리식 0/0 꼴 처리가 함께 필요합니다.
4. 함수의 연속 (3·4번) — 2문항, 둘 다 중
3번 사잇값 정리; 실근이 존재하는 구간, 4번 함수가 연속일 조건 · 연속함수의 성질.
3번 사잇값 정리는 f(a)와 f(b)의 부호가 다르면 그 사이에 실근이 있다는 것을 이용합니다. 구간 끝값을 대입해 부호만 비교하면 됩니다.
5. 미분계수와 도함수 (5·13·16·17·19·20번) — 6문항
5번 중 구간별 함수의 미분가능성 · 미분가능성과 연속성, 13번 중상 다항식의 나눗셈에서 미분법의 활용; 나누어떨어지지 않는 경우 · 접선의 기울기, 16번 중상 항등식이 주어질 때 도함수·미분계수 구하기, 17번 중상 곱의 미분법 · 접선의 방정식 · 접선과 좌표축으로 둘러싸인 도형의 넓이, 19번 중(서답형) 미분계수를 이용한 극한값 계산 · 미분법의 공식, 20번 중상(서답형) 구간별 함수의 미분가능성 · 곱의 미분법 · 미분가능성과 연속성.
13번 다항식의 나눗셈은 나머지를 식으로 두고 양변을 미분해 조건을 하나 더 얻는 유형입니다. 나누어떨어지지 않는 경우라 나머지 식을 세우는 단계가 먼저입니다.
5번과 20번이 같은 주제(구간별 함수의 미분가능성) 입니다. 5번은 선택형 중, 20번은 서답형 중상입니다. 연속 조건과 좌·우 미분계수 일치 조건, 두 식을 모두 세워야 합니다.
6. 도함수의 활용 (1) (9번) — 1문항
9번 중상 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우. 도함수의 활용 단원 배치 문항은 이 한 문항입니다.
주의 문항 — 11~18번 중상 여덟 연타
11번 (∞/∞ · 극한의 성질), 12번 (대소 관계), 13번 (다항식의 나눗셈과 미분), 14번 (미정계수 응용), 15번 (다항함수 결정), 16번 (항등식과 도함수), 17번 (곱의 미분법 · 접선과 넓이), 18번 (도형 활용 극한) 이 모두 중상입니다.
7번(합성함수 극한)과 9번(평균값 정리) 도 중상이라 앞쪽에서도 방심하면 안 됩니다. 20번 서답형 중상은 미분가능성 조건 두 개를 모두 써야 합니다.
부천 덕산고 고2 2학기 중간 수학Ⅱ 대비 학습 순서
- ∞/∞, ∞-∞, 0/0 꼴 기본 계산 — 2·10·14·18번의 공통 재료.
- ★ 함수의 극한에 대한 성질 — 1·10·11번. 쪼갤 수 있는 조건까지.
- 극한의 대소 관계 — 12번.
- ★ 그래프로 좌·우극한 읽기와 합성함수의 극한 — 6·7·8번 세 문항.
- ★ 극한 조건으로 미정계수·다항함수 결정 — 14·15번.
- 도형 활용 극한 — 18번.
- 연속 조건과 사잇값 정리 — 3·4번.
- 구간별 함수의 미분가능성 — 5·20번.
- 항등식과 도함수, 다항식의 나눗셈과 미분 — 13·16번.
- 곱의 미분법과 접선 — 17번.
- 평균값 정리 — 9번.
자주 나오는 질문
부천 덕산고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025 학년 기준 20문항입니다. 1~18번 선택형, 19·20번 서답형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
함수의 극한이 11문항(55%) 으로 압도적입니다. 이어서 미분계수와 도함수 6문항, 함수의 연속 2문항, 도함수의 활용 (1) 1문항입니다.
극대·극소나 그래프 개형 문제는 나왔나요?
배치 단원 기준으로는 없습니다. 도함수의 활용 단원 문항은 9번 평균값 정리 한 문항뿐입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 0문항입니다. 대신 중상이 11문항이고, 그중 여덟 문항이 11~18번에 연속으로 배치돼 있습니다.
과년도 덕산고 기출도 볼 수 있나요?
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