관양고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

관양고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년도 기준 총 20문항입니다. 문항이 실제로 배치된 단원은 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용 (1) 네 곳입니다. 가장 눈에 띄는 점은 20문항 중 8문항이 함수의 극한이라는 것, 그리고 상 난이도 4문항 중 3문항이 극한·연속 파트에 있다는 것입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 1~18번 선택형, 19·20번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 4 / 중 9 / 중상 3 / 상 4
• 배치 단원: 함수의 극한 8 / 미분계수와 도함수 5 / 함수의 연속 4 / 도함수의 활용 (1) 3
• 최다 반복 유형: 다항함수의 결정 3회(10·13·16번)
• 상 4문항: 16번(극한의 대소 관계), 17번(미분가능성), 18번(교점의 개수로 정의된 함수의 연속), 20번(원과 접선의 극한 활용)

관양고 수학Ⅱ 2학기 중간은 어떤 시험인가

관양고등학교는 경기 안양시에 있는 고등학교입니다. 2025학년도 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 20문항이고, 정답 기록을 보면 1~18번은 선택형, 19·20번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

단원 흐름으로 보면 극한 → 연속 → 미분계수 → 접선·평균값 정리까지입니다. 도함수의 활용 가운데 증가·감소, 극대·극소, 그래프 개형을 다루는 뒷부분 단원에서는 한 문항도 배치되지 않았습니다. 접선의 방정식과 평균값 정리까지가 이 시험의 끝입니다.

즉 시험 전체의 무게중심은 극한과 연속입니다. 두 단원을 합치면 12문항, 전체의 60%입니다.

2025 난이도 분포 — 상 4문항, 뒤로 갈수록 가파름

하 4문항이 1~4번에 연달아 배치돼 있습니다. 앞부분은 빠르게 확보하는 구간입니다.

중 9문항이 가장 두껍습니다. 여기서 흘리지 않아야 상 4문항에 시간을 쓸 수 있습니다.

상 4문항은 16·17·18·20번으로 전부 후반부입니다. 중상 3문항(10·13·15번)도 중반 이후에 흩어져 있어 15번부터 끝까지는 난도가 한 번에 올라갑니다.

출제 단원 — 함수의 극한이 8문항

함수의 극한 8문항(40%) 이 압도적입니다. 게다가 상 4문항 중 16·20번 두 문항이 극한 단원입니다. 극한 계산을 기계적으로 하는 수준을 넘어 극한의 대소 관계, 도형에서의 극한 활용까지 준비해야 합니다.

미분계수와 도함수 5문항은 평균변화율부터 미분가능성까지 폭넓게 걸쳐 있습니다. 여기서도 17번 상 문항이 나왔습니다.

도함수의 활용 (1) 3문항은 접선의 방정식 2문항(12·19번)과 평균값 정리 1문항(13번)입니다.

시그니처 유형 — "다항함수의 결정" 3회

다항함수의 결정이 10·13·16번 세 문항에 쓰였습니다. 극한값 조건을 보고 다항함수의 차수와 계수를 거꾸로 결정하는 유형입니다.

• 10번 중상 — 극한 단원에서 다항함수의 결정이 핵심. 미정계수의 결정(응용), 극한값의 존재가 함께 얽힘
• 13번 중상 — 평균값 정리 문항 안에서 다항함수를 결정하는 과정이 들어감
• 16번 상 — 극한의 대소 관계 문제에 다항함수의 결정과 ∞/∞ 꼴 극한이 겹침

∞/∞ 꼴이면 분모·분자 최고차항, 0/0 꼴이면 인수 (x−a) 라는 두 원칙을 이 세 문항이 반복해서 묻습니다.

이 밖에 두 번씩 반복된 유형은 다음과 같습니다.

• ∞×0 꼴의 극한 — 1·7번
• 함수가 연속일 조건 — 3·11번
• 사잇값 정리 — 4·20번
• 미분계수를 이용한 극한값의 계산 — 5·7번
• ∞/∞ 꼴의 극한 — 6·16번
• 함수의 극한값의 존재 — 10·15번

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 함수의 극한 (1·6·7·9·10·15·16·20번) — 8문항

1번 하 ∞×0 꼴의 극한 · ∞−∞ 꼴 · 0/0 꼴(무리식), 6번 중 함수의 극한에 대한 성질, 7번 중 함수의 극한값 구하기 · 미분계수를 이용한 극한, 9번 중 좌극한과 우극한(그래프가 주어진 경우) · 합성함수의 극한, 10번 중상 다항함수의 결정, 15번 중상 함수의 극한값의 존재 · 사잇값 정리(실근의 개수), 16번 상 함수의 극한의 대소 관계, 20번 상 함수의 극한의 활용(원과 접선).

9번은 그래프를 읽는 문항입니다. 좌극한·우극한을 그래프에서 읽고 합성함수의 극한까지 연결합니다. 합성함수는 안쪽 함수가 어느 쪽에서 다가가는지를 먼저 확인해야 틀리지 않습니다.

20번은 도형 위에서 극한을 세우는 문항입니다. 원과 접선으로 만들어지는 길이를 식으로 먼저 표현한 뒤 극한을 취하는 순서입니다. 식 세우기에서 막히면 극한 계산까지 가지 못합니다.

2. 미분계수와 도함수 (2·5·8·14·17번) — 5문항

2번 하 평균변화율과 미분계수, 5번 중 미분계수를 이용한 극한값의 계산 · 치환, 8번 중 다항식의 나눗셈에서 미분법의 활용(나누어떨어지는 경우), 14번 중 항등식이 주어질 때 도함수 구하기, 17번 상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성.

8번 나눗셈 유형은 나눗셈을 항등식으로 세우고 미분하는 문제입니다. (x−a)²으로 나누어떨어지는 꼴이라면 f(a)=0, f′(a)=0 두 조건이 핵심입니다.

17번 상은 구간별로 정의된 함수가 경계에서 미분가능할 조건입니다. 연속 조건과 미분계수 일치 조건 두 개를 모두 세워야 합니다. 하나만 쓰면 미지수가 남습니다.

3. 함수의 연속 (3·4·11·18번) — 4문항

3번 하 함수가 연속일 조건 · 미정계수의 결정, 4번 하 사잇값 정리(실근이 존재하는 구간), 11번 중 함수가 연속일 조건 · 최대·최소 정리, 18번 상 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성과 두 함수의 곱의 연속.

18번이 이 시험에서 가장 낯선 문항입니다. 직선과 곡선의 교점의 개수를 함수값으로 정의하고, 그 함수와 다른 함수의 곱이 연속이 되도록 만드는 구조입니다. 교점의 개수 함수는 불연속점에서 곱해지는 함수가 0이 되어야 연속이 된다는 점이 열쇠입니다.

4. 도함수의 활용 (1) (12·13·19번) — 3문항

12번 중 접선의 방정식(곡선 밖의 한 점이 주어진 경우), 13번 중상 평균값 정리(정의를 이용하는 경우) · 다항함수의 결정, 19번 중 접선의 방정식(접점의 좌표가 주어진 경우) · 곱의 미분법 · 접선과 좌표축으로 둘러싸인 도형의 넓이.

12번은 접점을 (t, f(t))로 두고 곡선 밖의 점을 대입하는 표준 풀이입니다. 19번은 답을 직접 쓰는 문항이라 곱의 미분법 계산 실수가 곧 감점입니다.

주의 문항 — 상 4문항

16번 상 (함수의 극한의 대소 관계) — 부등식으로 끼인 함수의 극한에 다항함수의 결정이 얹혔습니다.

17번 상 (구간별 함수의 미분가능성) — 연속 조건과 미분계수 일치 조건을 모두 써야 합니다.

18번 상 (교점의 개수로 정의된 함수의 연속) — 유형을 처음 보면 문제 해석부터 막히는 문항입니다.

20번 상 (원과 접선의 극한 활용) — 답을 직접 쓰는 마지막 문항입니다. 시간을 남겨 두어야 손을 댈 수 있습니다.

관양고 수학Ⅱ 2학기 중간 대비 학습 순서

1. 0/0, ∞/∞, ∞−∞, ∞×0 꼴 극한 계산 — 1·6·7번의 기본기.
2. 좌극한·우극한과 합성함수의 극한 — 9번 대비. 그래프 읽기 연습.
3. ★ 극한 조건으로 다항함수 결정하기 — 10·13·16번을 관통하는 시그니처.
4. 함수의 극한의 대소 관계 — 16번 대비.
5. 함수가 연속일 조건과 미정계수 — 3·11번 대비.
6. 사잇값 정리와 최대·최소 정리 — 4·11·15번 대비.
7. ★ 교점의 개수로 정의된 함수의 연속 — 18번 대비.
8. 평균변화율과 미분계수, 미분계수를 이용한 극한 — 2·5번 대비.
9. 다항식의 나눗셈과 미분 — 8번 대비.
10. 항등식에서 도함수 구하기 — 14번 대비.
11. ★ 구간별 함수의 미분가능성 — 17번 대비.
12. 접선의 방정식(접점·곡선 밖의 점) — 12·19번 대비.
13. 평균값 정리 — 13번 대비.
14. 도형에서 극한 세우기(원과 접선) — 20번 대비.

자주 나오는 질문

관양고 2학년 2학기 중간 수학은 몇 문항인가요?

2025학년도 기준 20문항입니다. 1~18번은 선택형, 19·20번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 함수의 극한이 8문항으로 가장 많습니다. 이어서 미분계수와 도함수 5문항, 함수의 연속 4문항, 도함수의 활용 (1) 3문항입니다.

증가·감소나 극대·극소도 나왔나요?

2025학년도 이 시험에서는 배치되지 않았습니다. 도함수의 활용은 접선의 방정식과 평균값 정리까지만 출제됐습니다.

킬러 문항은 몇 번인가요?

상 난이도는 16·17·18·20번 4문항입니다. 극한의 대소 관계, 미분가능성, 교점의 개수로 정의된 함수의 연속, 원과 접선의 극한 활용입니다.

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