제물포고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년, 인천 중구)

인천 중구 제물포고 2학년 2학기 중간 수2는 2025학년 기준 총 23문항입니다. 이 글은 부설 방송통신고가 아닌 제물포고등학교 시험지 기준입니다. 배치 단원은 함수의 극한 7문항, 미분계수와 도함수 7문항, 함수의 연속 6문항, 도함수의 활용 (1) 3문항입니다. 처음 10문항 중 8문항이 하라 출발은 가볍지만, 상 난이도 두 문항(19·23번)이 뒤에 자리 잡고 있습니다.

핵심 요약

• 23문항 — 1~19번 선택형, 20~23번 서답형(4문항, 23번은 소문항 2개)
• 난이도: 하 8 / 중 8 / 중상 5 / 상 2
• 배치 단원: 함수의 극한 7 / 미분계수와 도함수 7 / 함수의 연속 6 / 도함수의 활용 (1) 3
• 최다 반복 유형: 미분계수를 이용한 극한값의 계산 3회(3·15·21번)
• 상 2문항: 19번 다항함수의 결정, 23번 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성(서답형)

제물포고 수학Ⅱ 2학기 중간은 어떤 시험인가

2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 23문항입니다. 정답 기록상 1~19번이 선택형, 20~23번이 서답형이고, 23번은 (1)·(2) 소문항으로 나뉩니다.

배치 단원 기준으로 극한·연속 13문항, 미분 10문항입니다. 미분 쪽 10문항 가운데 7문항이 미분계수와 도함수, 3문항이 도함수의 활용 (1)(롤의 정리·평균값 정리·접선) 입니다. 분석표상 함수의 증가·감소, 극대·극소, 그래프 그리기 같은 도함수의 활용 (2)·(3) 문항은 없습니다. 이번 시험 범위의 미분 끝부분은 접선과 평균값 정리까지로 보면 됩니다.

선택형은 단원이 앞뒤로 섞여 나옵니다. 1번 극한, 2·3번 미분, 4번 다시 극한, 6번 롤의 정리 식입니다. 1~6번이 전부 하라 시작은 빠르게 풀리지만, 단원이 계속 바뀌니 공식을 헷갈리지 않도록 주의하세요.

2025학년 난이도 분포 — 앞 10문항 중 하 8문항

하 8문항이 모두 1~10번 안에 있습니다. 반대로 14번 이후 선택형 6문항(14~19번) 중 5문항이 중상 이상입니다. 앞에서 시간을 벌고 뒤에서 쓰는 구조가 분명합니다.

서답형은 20·21번 중, 22번 중상, 23번 상입니다. 20·21번은 반드시 확보하고, 22·23번에 남은 시간을 쓰는 운영이 맞습니다.

출제 단원 — 극한 7 · 미분계수 7 · 연속 6

세 단원이 6~7문항씩 비슷하게 나뉘었습니다. 상 난이도는 함수의 극한(19번)과 함수의 연속(23번)에 하나씩입니다. 중상 5문항도 연속 2(14·18번), 극한 1(16번), 미분계수 1(15번), 활용 1(22번)로 흩어져 있어 특정 단원만 파서는 안 되는 시험입니다.

시그니처 유형 — 미분계수를 이용한 극한값의 계산 3회

미분계수를 이용한 극한값의 계산이 3번(하), 15번(중상), 21번(서답형, 중) 세 문항에 쓰였습니다. lim_{h→0}(f(a+h)-f(a))/h 또는 lim_{x→a}(f(x)-f(a))/(x-a) 꼴을 보면 f′(a)로 바꿔 읽는 것이 핵심입니다. 15번처럼 분자·분모가 변형돼 있으면 h 자리의 식과 분모를 맞춰 주는 조작이 필요합니다. 21번은 여기에 곱의 미분법 y=f(x)g(x) 가 더해졌습니다.

그 밖에 반복된 유형은 다음과 같습니다.

• 0/0 꼴의 극한 — 1번(유리식) · 13번(무리식) · 20번(무리식, 서답형)
• ∞/∞ 꼴의 극한 — 9·19번
• 좌극한과 우극한; 그래프가 주어진 경우 — 4·18번
• 사잇값 정리 — 8번(실근이 존재하는 구간) · 14번(실근의 개수)
• 함수의 그래프와 연속 — 18·23번

8번과 14번이 짝입니다. 8번은 "실근이 존재하는 구간"을 고르는 하 문항, 14번은 사잇값 정리로 실근의 개수를 세는 중상 문항입니다. f(a)f(b)<0이면 (a, b)에 실근이 적어도 하나 있다는 같은 원리를 한 단계 더 밀어붙였습니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 함수의 극한 (1·4·9·13·16·19·20번) — 7문항

1번 하 0/0 꼴의 극한(유리식), 4번 하 좌극한과 우극한(그래프), 9번 중 함수의 극한의 대소 관계 · ∞/∞ 꼴, 13번 중 함수의 극한값의 존재 · 0/0 꼴(무리식) · ∞-∞ 꼴, 16번 중상 함수의 극한의 활용; 도형의 길이와 넓이, 19번 상 다항함수의 결정 · ∞/∞ 꼴, 20번 중(서답형) 미정계수의 결정 · 0/0 꼴(무리식).

19번이 이 시험 최고 난도 중 하나입니다. lim_{x→∞} f(x)/g(x) 조건으로 f(x)의 차수와 최고차항 계수를, lim_{x→a} 조건으로 인수를 알아내 다항함수를 결정하는 유형입니다. 두 조건을 따로 읽어 식을 세우는 순서를 연습해 두세요.

16번은 좌표평면 위 도형의 길이·넓이를 t에 대한 식으로 세운 뒤 극한을 구하는 유형입니다. 식을 세우는 과정에서 대부분의 시간이 듭니다.

2. 함수의 연속 (7·8·10·14·18·23번) — 6문항

7번 중 (x-a)f(x) 꼴의 함수의 연속, 8번 하 사잇값 정리(실근이 존재하는 구간), 10번 하 최대·최소 정리, 14번 중상 사잇값 정리(실근의 개수), 18번 중상 함수의 그래프와 연속 · 좌극한과 우극한(그래프), 23번 상(서답형) 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성과 두 함수의 곱의 연속 · 함수의 그래프와 연속.

23번은 "직선과 곡선의 교점의 개수"처럼 개수로 정의된 함수가 불연속인 지점을 찾고, 다른 함수와 곱했을 때 연속이 되도록 만드는 유형입니다. 곱한 함수가 불연속점에서 0이 되면 연속이 될 수 있다는 점이 열쇠입니다. 서답형이라 각 지점에서 좌극한·우극한·함숫값을 비교하는 과정까지 써야 합니다.

18번은 그래프를 보고 연속 여부를 판정하는 문항입니다. 합성이나 곱이 섞이면 각 점에서 좌극한·우극한을 따로 읽어야 실수가 없습니다.

3. 미분계수와 도함수 (2·3·5·11·12·15·21번) — 7문항

2번 하 미분법의 공식, 3번 하 미분계수를 이용한 극한값의 계산, 5번 하 평균변화율과 미분계수 · 접선의 기울기, 11번 중 항등식이 주어질 때 도함수 구하기, 12번 중 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성, 15번 중상 미분계수를 이용한 극한값의 계산, 21번 중(서답형) 곱의 미분법 · 미분계수를 이용한 극한값의 계산.

12번은 x=a에서 나뉜 함수가 미분가능하려면 ① x=a에서 연속, ② 좌미분계수=우미분계수 두 조건을 모두 세워야 합니다. 조건 두 개로 미지수 두 개를 구하는 전형입니다.

11번의 항등식 문항은 양변을 미분하거나 특정 x값을 대입해 f′(a)를 구합니다.

4. 도함수의 활용 (1) (6·17·22번) — 3문항

6번 하 롤의 정리, 17번 중 평균값 정리(정의를 이용하는 경우), 22번 중상(서답형) 접선의 방정식(곡선 밖의 한 점이 주어진 경우) · 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선의 활용.

22번은 곡선 밖의 점에서 접선을 긋는 유형입니다. 접점을 (t, f(t))로 두고 접선의 방정식을 세운 뒤, 주어진 점을 대입해 t에 대한 방정식을 푸는 것이 정석입니다. 서답형이라 이 흐름을 식으로 적어야 합니다.

주의 문항 — 중상 이상 7문항

14번 중상 (사잇값 정리; 실근의 개수) — 8번의 심화판입니다.

15번 중상 (미분계수를 이용한 극한) — 분모 맞추기 조작이 필요합니다.

16번 중상 (극한의 활용; 도형) — 식 세우기가 관건입니다.

18번 중상 (그래프와 연속) — 좌극한·우극한을 점마다 따로.

19번 상 (다항함수의 결정) — 두 극한 조건으로 차수와 인수 결정.

22번 중상 (곡선 밖의 점에서 그은 접선, 서답형) — 접점을 t로 두는 정석 풀이.

23번 상 (교점의 개수로 정의된 함수의 연속, 서답형) — 이 시험의 마지막 고비입니다.

제물포고 수학Ⅱ 2학기 중간 대비 학습 순서

1. 0/0 · ∞/∞ · ∞-∞ 꼴 극한 계산 — 1·9·13·20번.
2. 좌극한·우극한 그래프 읽기 — 4·18번.
3. ★ 극한 조건으로 다항함수 결정 — 19번(상) 대비.
4. 극한의 활용; 도형의 길이와 넓이 — 16번.
5. 연속의 정의와 (x-a)f(x) 꼴 — 7번.
6. 최대·최소 정리 · 사잇값 정리 — 8·10·14번.
7. ★ 개수로 정의된 함수와 곱의 연속 — 23번(상) 대비.
8. 미분법 공식 · 평균변화율 — 2·5번 확보.
9. ★ 미분계수를 이용한 극한값 계산 — 3·15·21번.
10. 구간별 함수의 미분가능성 · 항등식 — 11·12번.
11. 롤의 정리 · 평균값 정리 — 6·17번.
12. 곡선 밖의 점에서 그은 접선 — 22번 서답형.

자주 나오는 질문

제물포고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 23문항입니다. 1~19번은 선택형, 20~23번은 서답형이고 23번은 소문항 2개입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 함수의 극한과 미분계수와 도함수가 각 7문항입니다. 함수의 연속 6문항, 도함수의 활용 (1) 3문항이 뒤따릅니다.

극대·극소나 그래프 개형 문제도 나왔나요?

분석표 기준으로 도함수의 활용 (2)·(3)에 배치된 문항은 없습니다. 도함수의 활용은 롤의 정리, 평균값 정리, 접선의 방정식 세 문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 19번(다항함수의 결정)과 23번(교점의 개수로 정의된 함수의 연속, 서답형) 두 문항입니다.

과년도 제물포고 기출도 볼 수 있나요?

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