인천중산고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년, 인천 중구)
인천 중구 인천중산고 2학년 2학기 중간 수2는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 서울·경기에도 '중산고'가 있으니, 이 글은 인천 중구 인천중산고등학교 시험이라는 점을 먼저 밝혀 둡니다. 이 시험의 핵심은 상 난이도가 4문항이라는 것, 그리고 그중 세 문항(15·16·22번)이 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성을 묻는다는 것입니다.
핵심 요약
- 22문항 — 1~18번 선택형, 19~22번 서답형(4문항)
- 난이도: 하 5 / 중 10 / 중상 3 / 상 4
- 배치 단원: 미분계수와 도함수 6 / 도함수의 활용 (1) 6 / 함수의 극한 5 / 함수의 연속 5
- 시그니처: 구간별로 정의된 함수의 미분가능성 4회(15·16·20·22번)
- 상 4문항: 15·16·18·22번 — 선택형 3, 서답형 1
인천중산고 수학Ⅱ 2학기 중간은 어떤 시험인가
2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 22문항입니다. 정답 기록상 1~18번이 선택형, 19~22번이 서답형입니다.
배치 단원은 극한·연속 10문항, 미분 12문항으로 미분 쪽이 조금 더 많습니다. 미분 12문항은 미분계수와 도함수 6, 도함수의 활용 (1) 6입니다. 분석표상 도함수의 활용 (2)·(3)(증가·감소, 극대·극소, 그래프 개형) 문항은 없습니다. 도함수의 활용 6문항은 모두 접선, 롤의 정리, 평균값 정리에 해당합니다.
앞쪽은 단원이 섞여 있습니다. 1번 평균변화율, 2번 극한, 3번 접선의 기울기, 4번 극한 대소 관계 식으로 번갈아 나옵니다.
2025학년 난이도 분포 — 상 4문항, 중상 3문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 5 | 23% | 1·2·3·5·19 |
| 중 | 10 | 45% | 4·6·7·8·9·10·11·13·14·20 |
| 중상 | 3 | 14% | 12·17·21 |
| 상 | 4 | 18% | 15·16·18·22 |
상이 중상보다 많은 시험입니다. 선택형 15~18번 네 문항 중 15·16·18번 세 문항이 상이고, 17번도 중상입니다. 선택형 마지막 네 문항이 이 시험의 승부처입니다.
반면 4~11번 여덟 문항은 전부 중입니다. 중간 구간이 두껍고 균일합니다. 이 구간을 빠르고 정확하게 통과해야 15~18번에 시간을 쓸 수 있습니다.
서답형은 19번 하, 20번 중, 21번 중상, 22번 상으로 번호 순서대로 어려워집니다.
출제 단원 — 네 단원 5~6문항씩
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 03 미분계수와 도함수 | 6 | 1·5·15·16·20·22 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 6 | 3·7·8·10·11·18 |
| 01 함수의 극한 | 5 | 2·4·6·12·21 |
| 02 함수의 연속 | 5 | 9·13·14·17·19 |
단원별 문항 수는 고르지만 난이도 편차가 큽니다. 미분계수와 도함수 6문항 중 3문항(15·16·22번)이 상입니다. 이 단원 나머지(1·5번 하, 20번 중)는 쉬운 편이라, 같은 단원 안에서 기본과 최고 난도가 함께 나온 셈입니다.
시그니처 유형 — 구간별로 정의된 함수의 미분가능성 4회
구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성이 15번(상), 16번(상), 20번(서답형, 중), 22번(서답형, 상) 네 문항에 쓰였습니다. 이 시험의 상 4문항 중 3문항이 이 유형입니다.
x=a에서 식이 바뀌는 함수가 미분가능하려면 두 조건이 필요합니다.
- x=a에서 연속 — 두 식에 a를 넣은 값이 같다
- 좌미분계수 = 우미분계수 — 두 식을 미분해 a를 넣은 값이 같다
20번은 이 두 조건을 그대로 적용하는 기본형(중)입니다. 15번은 평균변화율과 미분계수, 16번은 곱의 미분법 y=f(x)g(x), 22번은 미분계수를 이용한 극한값 계산과 연속 조건이 각각 얹혔습니다. 기본 조건 두 줄에 다른 개념 하나가 결합하면서 상으로 올라간 구조입니다.
이 밖에 반복된 유형은 다음과 같습니다.
- 함수의 극한값 구하기 · 극한값의 존재 — 2·6번
- 평균값 정리(정의를 이용하는 경우) — 7·10번
- 곱의 미분법 — 5·16번
- 평균변화율 — 1·15번
- 접선의 방정식 — 11번(기울기가 주어진 경우) · 18번(곡선 밖의 한 점이 주어진 경우)
- 미정계수의 결정 — 13·21번(응용)
- 함수의 그래프와 연속 — 14·17번
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 미분계수와 도함수 (1·5·15·16·20·22번) — 6문항
1번 하 평균변화율, 5번 하 미분법의 공식 · 곱의 미분법, 15번 상 평균변화율과 미분계수 · 구간별 함수의 미분가능성, 16번 상 구간별 함수의 미분가능성 · 곱의 미분법, 20번 중(서답형) 구간별 함수의 미분가능성, 22번 상(서답형) 구간별 함수의 미분가능성 · 미분계수를 이용한 극한값 계산 · 함수가 연속일 조건.
16번처럼 f(x)g(x)의 미분가능성을 물으면, 각 함수가 미분가능한지 따로 따지는 것만으로는 부족합니다. 한쪽이 미분불가능해도 곱이 미분가능해질 수 있기 때문에, 곱한 함수 자체의 좌·우 미분계수를 직접 비교해야 합니다.
2. 도함수의 활용 (1) (3·7·8·10·11·18번) — 6문항
3번 하 접선의 기울기, 7번 중 평균값 정리, 8번 중 공통인 접선, 10번 중 롤의 정리 · 평균값 정리 · 사잇값 정리, 11번 중 접선의 방정식(기울기가 주어진 경우), 18번 상 접선의 방정식(곡선 밖의 한 점이 주어진 경우) · 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 활용 · 다항함수의 결정.
8번 "공통인 접선" 은 두 곡선이 한 점에서 같은 접선을 가지려면 함숫값과 미분계수가 모두 같아야 한다는 조건으로 푸는 유형입니다.
18번은 곡선 밖의 점에서 그은 접선 조건으로 다항함수 자체를 결정하는 문항입니다. 접점을 (t, f(t))로 두는 정석 풀이에 미지의 계수가 더해져 상이 됐습니다.
3. 함수의 극한 (2·4·6·12·21번) — 5문항
2번 하 함수의 극한값 구하기 · 극한값의 존재, 4번 중 함수의 극한의 대소 관계, 6번 중 함수의 극한값 구하기 · 극한값의 존재, 12번 중상 함수의 극한에 대한 성질 · ∞/∞ 꼴, 21번 중상(서답형) ∞-∞ 꼴의 극한 · 미정계수의 결정 (응용).
21번은 ∞-∞ 꼴 극한이 특정 값으로 수렴하도록 미정계수를 정하는 문항입니다. 무리식이면 유리화, 다항식이면 최고차항 소거 조건부터 세웁니다.
4. 함수의 연속 (9·13·14·17·19번) — 5문항
9번 중 사잇값 정리의 실생활 활용 · 사잇값 정리, 13번 중 함수가 연속일 조건 · 미정계수의 결정, 14번 중 함수의 그래프와 연속 · 연속함수의 성질 · 좌극한과 우극한(그래프), 17번 중상 함수의 그래프와 연속; 합성함수, 19번 하(서답형) 함수의 연속.
17번은 그래프로 주어진 함수의 합성함수 f(g(x))의 연속성을 판정합니다. 안쪽 함수 g(x)가 a로 다가갈 때 위에서 오는지 아래에서 오는지까지 따져야 f의 좌극한·우극한을 정확히 고를 수 있습니다.
주의 문항 — 중상 이상 7문항
12번 중상 (극한의 성질 · ∞/∞) — 선택형 첫 고비입니다.
15번 상 (평균변화율 · 미분가능성) — 시그니처 유형의 첫 등장.
16번 상 (곱의 미분가능성) — 곱한 함수를 직접 따져야 합니다.
17번 중상 (합성함수의 연속) — 안쪽 함수가 다가오는 방향이 관건.
18번 상 (곡선 밖의 점에서 그은 접선 · 다항함수 결정) — 선택형 마지막 문항.
21번 중상 (∞-∞ 꼴 미정계수, 서답형) — 유리화 또는 최고차항 소거.
22번 상 (미분가능성 종합, 서답형) — 연속·미분가능·미분계수 극한이 한 문항에.
인천중산고 수학Ⅱ 2학기 중간 대비 학습 순서
- 극한값 구하기와 극한값의 존재 — 2·6번.
- 극한의 대소 관계 · 극한의 성질 — 4·12번.
- ∞-∞ 꼴 극한과 미정계수 — 21번 서답형.
- 연속의 정의와 연속일 조건 — 13·19번.
- 그래프와 연속 · 합성함수의 연속 — 14·17번.
- 사잇값 정리 — 9·10번.
- 평균변화율 · 미분법 공식 · 곱의 미분법 — 1·5번 확보.
- ★ 구간별로 정의된 함수의 미분가능성 — 15·16·20·22번. 연속 + 좌우 미분계수 두 조건.
- 접선의 기울기 · 접선의 방정식 — 3·11번.
- 공통인 접선 — 8번.
- 롤의 정리 · 평균값 정리 — 7·10번.
- ★ 곡선 밖의 점에서 그은 접선 — 18번(상) 대비.
자주 나오는 질문
인천중산고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 22문항입니다. 1~18번은 선택형, 19~22번은 서답형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 미분계수와 도함수, 도함수의 활용 (1)이 각 6문항입니다. 함수의 극한과 함수의 연속이 각 5문항입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도가 4문항(15·16·18·22번) 입니다. 그중 15·16·22번이 구간별로 정의된 함수의 미분가능성 문항입니다.
서울 중산고와 같은 학교인가요?
아닙니다. 이 글은 인천 중구 인천중산고등학교 시험입니다. 서울·경기의 중산고와는 다른 학교입니다.
과년도 인천중산고 기출도 볼 수 있나요?
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