인천청라고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년, 인천 서구)
인천 서구 인천청라고 2학년 2학기 중간 수2는 2025학년 기준 총 23문항입니다. 가장 눈에 띄는 점은 서답형이 6문항(18~23번) 이고, 그중 다섯 문항이 소문항 여러 개로 쪼개진 형태라는 것입니다. 배치 단원은 함수의 극한 5, 함수의 연속 6, 미분계수와 도함수 6, 도함수의 활용 (1) 2, 도함수의 활용 (2) 4문항으로 극대·극소까지 나왔습니다.
핵심 요약
- 23문항 — 1~17번 선택형, 18~23번 서답형(6문항, 19~23번은 소문항 2~4개)
- 난이도: 하 4 / 중 11 / 중상 5 / 상 3
- 배치 단원: 함수의 연속 6 / 미분계수와 도함수 6 / 함수의 극한 5 / 도함수의 활용 (2) 4 / 도함수의 활용 (1) 2
- 시그니처: 함수가 연속일 조건 5회(5·12·14·17·21번)
- 상 3문항: 16번 다항함수의 결정, 17번 (x-a)f(x) 꼴 연속(응용), 23번 극대·극소 종합(서답형)
인천청라고 수학Ⅱ 2학기 중간은 어떤 시험인가
2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 23문항입니다. 정답 기록상 1~17번이 선택형, 18~23번이 서답형입니다. 서답형 6문항 중 18번만 단답이고, 19·20·22번은 소문항 2개, 21번은 3개, 23번은 4개로 나뉩니다. 서답형 비중이 큰 만큼 풀이 과정을 단계별로 쓰는 연습이 필요한 시험입니다.
범위는 함수의 극한부터 도함수의 활용 (2)까지입니다. 분석표 기준으로 삼차함수가 극값을 가질 조건, 극대·극소를 이용한 미정계수 결정, 구간에서 증가·감소할 조건이 도함수의 활용 (2)에 배치됐습니다. 도함수의 활용 (3)(방정식·부등식, 속도)에 배치된 문항은 없습니다.
2025학년 난이도 분포 — 중 11문항, 상 3문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 4 | 17% | 1·2·6·18 |
| 중 | 11 | 48% | 3·4·5·7·8·9·10·11·19·20·21 |
| 중상 | 5 | 22% | 12·13·14·15·22 |
| 상 | 3 | 13% | 16·17·23 |
중이 11문항으로 절반 가까이입니다. 하는 4문항뿐이라 확보 구간이 좁습니다.
선택형은 1~11번이 하·중, 12~17번이 전부 중상 이상으로 뚜렷하게 나뉩니다. 12번부터 여섯 문항 연속으로 중상·상이 이어지니, 11번까지를 빠르게 끝내는 것이 시간 운영의 핵심입니다.
서답형은 18번 하, 19·20·21번 중, 22번 중상, 23번 상입니다. 소문항으로 나뉜 문항은 앞 소문항 결과를 뒤에서 이어 쓰는 경우가 많으니, 앞 소문항부터 정확히 풀어 부분 점수를 챙기세요.
출제 단원 — 연속·미분계수 각 6문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 02 함수의 연속 | 6 | 5·11·12·15·17·21 |
| 03 미분계수와 도함수 | 6 | 1·3·4·13·19·20 |
| 01 함수의 극한 | 5 | 2·6·7·16·22 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 4 | 8·9·14·23 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 2 | 10·18 |
함수의 연속 6문항 중 3문항(12·15·17번)이 중상 이상입니다. 이 시험에서 가장 까다로운 단원입니다. 함수의 극한은 2·6번이 하로 쉽지만, 16번(상)과 22번(중상) 이 들어 있습니다.
도함수의 활용 (2) 4문항은 8·9번 중, 14번 중상, 23번 상입니다. 범위 마지막 단원에서 최고 난도 서답형(23번)이 나왔다는 점을 기억해 두세요.
시그니처 유형 — "함수가 연속일 조건" 5회
함수가 연속일 조건이 5번(중), 12번(중상), 14번(중상), 17번(상, 응용), 21번(서답형, 중) 다섯 문항에 쓰였습니다. 함수의 연속 단원 네 문항에 더해 도함수의 활용 (2)의 14번에도 들어갔습니다.
x=a에서 연속이려면 lim_{x→a-} f(x) = lim_{x→a+} f(x) = f(a) 세 값이 같아야 합니다. 이 조건 하나로 미지수를 구하는 것이 기본형(5·21번)이고, 여기에 다른 개념이 얹히면 난도가 올라갑니다.
- 5번 중 — 연속 조건 + 0/0 꼴(무리식) + 미정계수 결정
- 12번 중상 — 연속함수의 성질 + 연속 조건
- 14번 중상 — 삼차함수가 주어진 구간에서 증가·감소할 조건 + 연속 조건
- 17번 상 — (x-a)f(x) 꼴의 함수의 연속 + 연속 조건(응용)
- 21번 중(서답형) — (x-a)f(x) 꼴의 함수의 연속 + 연속 조건
17번과 21번이 같은 (x-a)f(x) 꼴 유형입니다. f(x)가 x=a에서 불연속이어도 (x-a)를 곱하면 연속이 될 수 있다는 점을 이용합니다. 21번 서답형에서 기본 흐름을 소문항으로 풀고, 17번에서 응용으로 한 번 더 나오는 구성입니다.
그 밖에 두 번 이상 쓰인 유형은 다음과 같습니다.
- 미정계수의 결정 — 3·5번, 16번(응용)
- 0/0 꼴의 극한(유리식) — 2·6번
- 미분계수를 이용한 극한값의 계산 — 3·13번
- 곱의 미분법 y=f(x)g(x) — 13·20번
- 다항함수의 결정 — 13·16번
- 연속함수의 성질 — 12·15번
- 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 — 19·23번
- 함수의 극대·극소 — 20·23번
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 함수의 극한 (2·6·7·16·22번) — 5문항
2번 하 0/0 꼴의 극한(유리식), 6번 하 0/0 꼴의 극한(유리식) · 함수의 극한값 구하기, 7번 중 함수의 극한의 대소 관계 · ∞/∞ 꼴, 16번 상 다항함수의 결정 · 미정계수의 결정 (응용), 22번 중상(서답형) 함수의 극한의 활용; 도형의 길이와 넓이 · ∞-∞ 꼴.
16번은 극한 조건 두 개로 다항함수를 결정하는 전형입니다. x→∞ 조건에서 차수·최고차항 계수를, x→a 조건에서 인수를 읽어 식을 세웁니다. 22번은 도형의 길이·넓이를 식으로 세우고 극한을 구하는 서답형으로, (1)·(2) 두 단계로 나뉘어 있습니다.
2. 함수의 연속 (5·11·12·15·17·21번) — 6문항
5번 중 함수가 연속일 조건 · 0/0 꼴(무리식) · 미정계수, 11번 중 사잇값 정리(실근이 존재하는 구간) · 함수의 증가와 감소, 12번 중상 연속함수의 성질 · 연속일 조건, 15번 중상 함수의 그래프와 연속 · 연속함수의 성질, 17번 상 (x-a)f(x) 꼴의 연속 · 연속일 조건(응용), 21번 중(서답형) (x-a)f(x) 꼴의 연속 · 연속일 조건.
15번은 그래프로 주어진 함수의 연속 여부를 연속함수의 성질과 함께 판정하는 유형입니다. 각 점에서 좌극한·우극한·함숫값을 표로 정리하면 실수가 줄어듭니다.
3. 미분계수와 도함수 (1·3·4·13·19·20번) — 6문항
1번 하 미분법의 공식, 3번 중 미분계수를 이용한 극한값 계산 · 미정계수의 결정, 4번 중 미분가능성과 연속성 · 평균변화율 · 함수의 연속, 13번 중상 미분계수를 이용한 극한값 계산 · 곱의 미분법 · 다항함수의 결정, 19번 중(서답형) 구간별로 정의된 함수의 미분가능성, 20번 중(서답형) 곱의 미분법 · 함수의 극대·극소.
4번 "미분가능성과 연속성" 은 미분가능하면 연속이지만 연속이라고 미분가능한 것은 아니다라는 관계를 묻습니다. 19번 서답형은 구간별 함수가 미분가능하도록 연속 조건과 좌·우 미분계수 조건 두 개를 세워 미지수를 구하는 문항입니다.
4. 도함수의 활용 (1) (10·18번) — 2문항
10번 중 평균값 정리(정의를 이용하는 경우) · 접선의 방정식(접점이 주어진 경우), 18번 하(서답형) 접선의 기울기.
18번은 서답형 중 유일한 하입니다. 반드시 확보하세요.
5. 도함수의 활용 (2) (8·9·14·23번) — 4문항
8번 중 삼차함수가 극값을 가질 조건, 9번 중 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 14번 중상 주어진 구간에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건 · 연속일 조건, 23번 상(서답형) 함수의 극대·극소 · 평균값 정리(그래프 이용) · 구간별 함수의 미분가능성.
8번은 삼차함수 f′(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 극값이 존재한다는 조건, 즉 판별식 D>0을 쓰는 유형입니다. 14번은 반대로 주어진 구간에서 증가하려면 그 구간에서 f′(x)≥0(감소하려면 f′(x)≤0)이어야 한다는 조건입니다. 극값이 존재할 조건과 증가·감소할 조건의 부등호 방향을 헷갈리지 않는 것이 중요합니다.
23번은 소문항 4개로 이루어진 이 시험의 마지막 문항입니다. 극대·극소, 평균값 정리, 미분가능성이 한 문항 안에 모였습니다.
주의 문항 — 중상 이상 8문항
12번 중상 (연속함수의 성질) — 선택형 후반부의 시작.
13번 중상 (미분계수 극한 · 곱의 미분 · 다항함수 결정) — 세 개념이 한 문항에.
14번 중상 (구간에서 증가·감소할 조건) — 구간에서 f′(x)의 부호 조건.
15번 중상 (그래프와 연속) — 점별로 좌·우극한 정리.
16번 상 (다항함수의 결정) — 두 극한 조건 읽기.
17번 상 ((x-a)f(x) 꼴 연속 응용) — 21번 서답형과 짝.
22번 중상 (극한의 활용; 도형, 서답형) — 식 세우기가 관건.
23번 상 (극대·극소 종합, 서답형) — 소문항 4개, 최고 난도.
인천청라고 수학Ⅱ 2학기 중간 대비 학습 순서
- 0/0 · ∞/∞ · ∞-∞ 꼴 극한 — 2·6·7·22번.
- ★ 극한 조건으로 다항함수 결정 — 13·16번.
- 극한의 활용; 도형의 길이와 넓이 — 22번 서답형.
- ★ 함수가 연속일 조건 — 5·12·14·17·21번. 이 시험의 중심.
- (x-a)f(x) 꼴의 연속 — 17·21번.
- 연속함수의 성질 · 그래프와 연속 — 12·15번.
- 사잇값 정리 — 11번.
- 미분법 공식 · 미분계수를 이용한 극한 — 1·3·13번.
- 미분가능성과 연속성 · 구간별 함수의 미분가능성 — 4·19번.
- 곱의 미분법 — 13·20번.
- 평균값 정리 · 접선 — 10·18번.
- ★ 극값을 가질 조건 · 증가·감소 조건 — 8·9·14번. 부등호 방향 구분.
- 극대·극소 종합 — 20·23번 서답형.
자주 나오는 질문
인천청라고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 23문항입니다. 1~17번은 선택형, 18~23번 6문항은 서답형이며 19~23번은 소문항으로 나뉩니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 함수의 연속과 미분계수와 도함수가 각 6문항입니다. 함수의 극한 5문항, 도함수의 활용 (2) 4문항, 도함수의 활용 (1) 2문항입니다.
극대·극소도 시험에 나왔나요?
네. 8·9·14·20·23번에서 극값을 가질 조건, 극대·극소를 이용한 미정계수 결정, 증가·감소 조건, 극대·극소 계산이 나왔습니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 16번(다항함수의 결정), 17번((x-a)f(x) 꼴 연속 응용), 23번(극대·극소 종합, 서답형) 세 문항입니다.
과년도 인천청라고 기출도 볼 수 있나요?
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