인천하늘고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

인천 중구 인천하늘고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 가장 먼저 눈에 띄는 것은 난이도입니다. 하 난이도는 3번 한 문항뿐이고, 중상 9문항 · 상 4문항으로 20문항 중 13문항이 중상 이상입니다. 그리고 상 4문항 중 두 문항이 같은 주제, 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 정답 기록상 1~17번 선택형, 18~20번 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 1 / 중 6 / 중상 9 / 상 4
• 배치 단원: 03 미분계수와 도함수 8 / 02 함수의 연속 5 / 01 함수의 극한 4 / 04 도함수의 활용 (1) 3
• 최다 반복 유형: 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 4회(3·10·17·20번)
• 가장 까다로운 구간: 8번부터 20번까지 열세 문항이 전부 중상 이상

인천하늘고 고2 2학기 중간은 어떤 시험인가

인천하늘고등학교는 인천 중구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 20문항입니다. 정답 기록을 보면 1~17번은 선택형, 18~20번 세 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

출제 범위는 함수의 극한부터 도함수의 활용 앞부분까지입니다. 다만 도함수의 활용 단원에서는 접선의 방정식만 나왔고, 증가·감소나 극대·극소를 직접 묻는 문항은 배치되지 않았습니다. 그 대신 미분계수와 도함수 단원이 8문항으로 가장 무겁습니다.

시험지 구조는 단순합니다. 1~7번은 중 이하, 8번부터 끝까지는 중상 이상입니다. 앞 일곱 문항에서 시간을 최대한 아끼고 뒤 열세 문항에 집중하는 것이 이 시험의 기본 전략입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 이상 13문항

중상 이상이 65% 입니다. 확보 구간이라 부를 수 있는 곳은 1~7번뿐입니다.

상 4문항이 16·17번(선택형)과 19·20번(단답형) 입니다. 시험 끝부분에 두 개씩 붙어 있습니다. 특히 19·20번은 답을 직접 써야 하는 상 난이도라 부분 점수 없이 정답 여부로 갈립니다.

출제 단원 — 미분계수와 도함수 8문항

미분계수와 도함수 8문항은 쉬운 문항과 어려운 문항이 극단적으로 갈려 있습니다. 1·3·4·5·7번은 하~중인데, 10번은 중상, 17·20번은 상입니다.

함수의 연속 5문항은 전부 중상 이상입니다(8·14·15·18번 중상, 16번 상). 이 단원에서 쉬운 문항은 하나도 없습니다.

함수의 극한 4문항도 6번(중)을 빼면 12·13번 중상, 19번 상입니다. 즉 극한과 연속 9문항 중 8문항이 중상 이상입니다.

시그니처 유형 — "구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성" 4회

이 시험을 관통하는 유형은 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성입니다. 3·10·17·20번 네 문항에 쓰였고, 난이도가 하(3번) → 중상(10번) → 상(17번) → 상(20번) 으로 단계적으로 올라갑니다.

기본 원리는 하나입니다. 경계점 x = a에서 미분가능하려면 ① 연속이어야 하고(좌극한 = 우극한 = 함숫값), ② 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 합니다. 3번은 이 두 조건을 그대로 쓰는 문항이고, 10번은 여기에 "미분가능성과 연속성의 관계"가 결합됐습니다. 17번은 다항함수의 결정과, 20번(단답)은 곱의 미분법과 묶였습니다.

3번을 쉽게 풀었다고 17·20번이 풀리는 것은 아닙니다. 같은 원리를 조건이 여러 겹 쌓인 상태에서 적용해야 하므로, 교과서 예제 수준을 넘어 미정계수가 두세 개인 경우까지 연습해 두는 것이 좋습니다.

이 밖에 여러 번 겹친 유형은 다음과 같습니다.

• 미분계수를 이용한 극한값의 계산; lim_{x→a}(f(x)−f(a))/(x−a) — 1·5·11번
• 곱의 미분법; y=f(x)g(x) 꼴 — 5·11·20번
• 다항함수의 결정 — 14·17·19번
• 접선의 방정식; 곡선 밖의 한 점이 주어진 경우 — 2·9번
• 연속함수의 성질 — 8·16번
• 함수의 극한값의 존재 — 8·19번
• 함수의 그래프와 연속; 합성함수 — 13·18번

5번과 11번은 둘 다 "곱의 미분법 + 미분계수의 정의"가 들어간 문항입니다. 5번(중)에서 익힌 계산이 11번(중상)에서 접선의 방정식과 결합돼 다시 나옵니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 미분계수와 도함수의 계산 (1·4·5·7번) — 4문항, 전부 중

1번 미분계수를 이용한 극한값의 계산(x→a 꼴) · 미분계수를 이용한 미정계수의 결정, 4번 미분계수를 이용한 극한값의 계산(h→0 꼴), 5번 곱의 미분법 · 미분계수 정의 · 치환을 이용한 극한값의 계산, 7번 항등식이 주어질 때 도함수 구하기.

x→a 꼴과 h→0 꼴이 각각 한 번씩 나왔습니다. 두 꼴 모두 f′(a)의 정의로 되돌리는 변형이 핵심입니다. 분모와 분자의 증분이 같은지부터 확인하세요.

7번은 항등식에서 도함수를 구하는 문항입니다. 양변을 x에 대해 미분하거나, 특정 값을 대입해 f(x)를 결정하는 두 방법을 모두 알고 있어야 합니다.

2. 미분가능성 (3·10·17·20번) — 4문항

3번 하 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성, 10번 중상 같은 유형 · 미분가능성과 연속성, 17번 상 같은 유형 · 다항함수의 결정, 20번 상(단답) 같은 유형 · 곱의 미분법.

위 시그니처 설명 그대로입니다. 연속 조건과 미분계수 조건을 식 두 개로 세운다는 절차를 손에 익혀 두세요.

3. 함수의 극한 (6·12·13·19번) — 4문항

6번 중 ∞/∞ 꼴의 극한 · 함수의 극한에 대한 성질, 12번 중상 함수의 극한의 활용; 도형의 길이와 넓이 · 0/0 꼴의 극한(무리식), 13번 중상 좌극한과 우극한(그래프) · 함수의 그래프와 연속(합성함수), 19번 상(단답) 미정계수의 결정 (응용) · 함수의 극한값의 존재 · 다항함수의 결정.

12번은 도형 문제에 극한을 씌운 형태입니다. 길이나 넓이를 먼저 식으로 쓰고, 그 식의 극한을 계산하는 순서입니다. 무리식이 나오면 유리화가 기본입니다.

19번은 단답형 상 문항입니다. 극한값이 존재하도록 미정계수를 정하는 유형에 다항함수의 결정까지 겹쳐 있습니다. "분모 → 0이면 분자 → 0" 에서 출발해 다항함수의 차수와 계수를 좁혀 가는 과정을 연습하세요.

4. 함수의 연속 (8·14·15·16·18번) — 5문항, 전부 중상 이상

8번 중상 연속함수의 성질 · 함수의 극한값의 존재, 14번 중상 (x−a)f(x) 꼴의 함수의 연속 · 다항함수의 결정, 15번 중상 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성과 두 함수의 곱의 연속 · 두 그래프의 교점의 개수 · 함수의 극대·극소, 16번 상 함수가 연속일 조건 (응용) · 연속함수의 성질, 18번 중상(단답) 함수의 그래프와 연속(합성함수) · 합성함수의 극한.

15번이 가장 복합적인 문항입니다. "교점의 개수"로 새 함수를 정의하고 그 함수의 연속성을 묻습니다. 여기에 극대·극소까지 연결돼 있어 이 시험에서 도함수의 활용이 간접적으로 들어간 유일한 문항입니다.

13번과 18번은 합성함수의 연속을 그래프로 묻습니다. f(g(x))의 극한은 안쪽 함수가 어느 방향에서 다가오는지를 먼저 따져야 합니다.

5. 접선의 방정식 (2·9·11번) — 3문항

2번 중 접선의 방정식; 곡선 밖의 한 점이 주어진 경우, 9번 중상 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식의 활용, 11번 중상 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우 · 곱의 미분법 · 미분계수의 정의.

곡선 밖의 점에서 그은 접선이 2·9번 두 문항입니다. 접점을 (t, f(t))로 두고 접선이 주어진 점을 지나도록 식을 세우는 것이 표준 풀이입니다. 9번은 여기서 한 단계 더 나아가 접선의 개수나 접점을 활용하는 형태입니다.

주의 문항 — 상 4문항

16번 상 (함수가 연속일 조건 응용) — 연속 단원 최고 난도입니다.

17번 상 (구간별 함수의 미분가능성 + 다항함수의 결정) — 시그니처 유형의 선택형 최종 단계입니다.

19번 상 (미정계수의 결정 응용, 단답) — 극한값 존재 조건으로 다항함수를 결정합니다.

20번 상 (구간별 함수의 미분가능성 + 곱의 미분법, 단답) — 마지막 문항입니다.

상 4문항 중 두 문항(17·20번)이 같은 유형입니다. 미분가능성 한 유형만 제대로 잡아도 최고 난도 두 문항에 대한 준비가 됩니다.

인천하늘고 고2 2학기 중간 대비 학습 순서

1. ∞/∞ 꼴, 0/0 꼴 극한 계산 — 6·12번 대비. 유리화 포함.
2. 좌극한·우극한과 합성함수의 극한 — 13·18번 대비. 그래프 읽기.
3. ★ 극한값이 존재할 조건으로 미정계수 결정 — 19번 대비. 다항함수 결정까지.
4. 연속함수의 성질과 연속 조건 — 8·14·16번 대비.
5. 교점의 개수로 정의된 함수 — 15번 대비. 그래프를 그려 개수 변화 확인.
6. 미분계수의 정의 (x→a, h→0 꼴) — 1·4·5번 대비.
7. 곱의 미분법 — 5·11·20번 대비.
8. 항등식에서 도함수 구하기 — 7번 대비.
9. ★ 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 — 3·10·17·20번 대비. 이 시험의 시그니처.
10. 접선의 방정식 (접점 / 곡선 밖의 점) — 2·9·11번 대비.

자주 나오는 질문

인천하늘고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 정답 기록상 1~17번은 선택형, 18~20번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 미분계수와 도함수 8문항이 가장 많고, 함수의 연속 5문항, 함수의 극한 4문항, 도함수의 활용 (1) 3문항 순입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도가 4문항(16·17·19·20번) 입니다. 여기에 중상 9문항까지 합하면 8번부터 20번까지 전부 중상 이상입니다.

가장 많이 나온 유형은 무엇인가요?

구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성이 3·10·17·20번 네 문항에 쓰였습니다. 그중 17·20번이 상 난이도입니다.

도함수의 활용은 얼마나 나왔나요?

배치 단원 기준 3문항(2·9·11번)이고 모두 접선의 방정식입니다. 증가·감소, 극대·극소를 직접 묻는 문항은 배치되지 않았습니다.

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