학익여고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
인천 미추홀구 학익여고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 출제 범위가 넓습니다. 함수의 극한부터 도함수의 활용 (3)까지 여섯 단원에서 모두 문항이 나왔습니다. 가장 많은 단원은 함수의 극한 7문항이고, 가장 자주 쓰인 개념은 미정계수의 결정(4회) 입니다.
핵심 요약
- 21문항 — 정답 기록상 1~19번 선택형, 20·21번 답을 직접 쓰는 형태
- 난이도: 하 6 / 중 8 / 중상 5 / 상 2
- 배치 단원: 01 함수의 극한 7 / 03 미분계수와 도함수 5 / 04 도함수의 활용 (1) 3 / 05 도함수의 활용 (2) 3 / 02 함수의 연속 2 / 06 도함수의 활용 (3) 1
- 최다 반복 유형: 미정계수의 결정 4회(3·9·13·18번)
- 상 난이도: 18번(함수가 연속일 조건)과 21번(두 그래프의 교점의 개수)
학익여고 고2 2학기 중간은 어떤 시험인가
학익여자고등학교는 인천 미추홀구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 21문항입니다. 정답 기록을 보면 1~19번은 선택형, 20·21번 두 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
범위는 함수의 극한, 함수의 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용입니다. 도함수의 활용은 (1)~(3) 세 단원을 합쳐 7문항으로, 접선·롤의 정리부터 증가·감소, 극대·극소, 교점의 개수까지 고르게 들어갔습니다.
단원 순서대로 배치되어 있지 않습니다. 1번 극한, 2번 미분법 공식, 5번 사잇값 정리, 6번 롤의 정리가 앞에 섞여 나옵니다. 앞쪽 하 난이도 문항들이 여러 단원의 기본 개념 확인이라고 보면 됩니다.
2025학년 난이도 분포 — 하 6문항, 상 2문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 6 | 29% | 1·2·4·5·6·20 |
| 중 | 8 | 38% | 3·7·8·9·10·11·14·16 |
| 중상 | 5 | 24% | 12·13·15·17·19 |
| 상 | 2 | 10% | 18·21 |
하 6문항이 확보 구간입니다. 1·2·4·5·6번이 앞쪽에 있고, 단답형 20번도 하입니다. 단답형이라고 무조건 어렵지는 않습니다.
중상 이상 7문항은 12번 이후에만 있습니다. 1~11번에는 중상 이상이 한 문항도 없습니다. 앞 11문항을 빠르게 정리하고 뒤로 넘어가는 흐름이 맞습니다.
상 2문항은 18번(선택형) 과 21번(단답형, 마지막 문항) 입니다. 21번은 정답이 두 미정계수의 값을 모두 쓰는 형태로 기록돼 있어, 하나만 맞혀서는 점수가 안 됩니다.
출제 단원 — 함수의 극한 7문항, 여섯 단원 전부 출제
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 01 함수의 극한 | 7 | 1·3·8·13·15·17·20 |
| 03 미분계수와 도함수 | 5 | 2·4·7·9·11 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 3 | 6·10·12 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 3 | 14·16·19 |
| 02 함수의 연속 | 2 | 5·18 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 1 | 21 |
함수의 극한이 7문항으로 가장 많습니다. 그중 13·15·17번이 중상입니다. 13·15번은 다항함수의 결정, 17번은 원과 접선이 나오는 극한의 활용입니다.
함수의 연속은 2문항뿐이지만 그중 18번이 상 난이도입니다. 문항 수가 적다고 가볍게 볼 단원이 아닙니다.
미분계수와 도함수 5문항은 전부 하~중입니다. 계산 정확도로 챙겨야 할 구간입니다.
시그니처 유형 — "미정계수의 결정" 4회
이 시험에서 가장 자주 쓰인 개념은 미정계수의 결정입니다. 3·9·13·18번 네 문항에 들어갔고, 단원도 제각각입니다.
- 3번 중 (함수의 극한) — 0/0 꼴 무리식 극한에서 미정계수 결정
- 9번 중 (미분계수와 도함수) — 미분계수 정의 꼴 극한에서 미정계수 결정
- 13번 중상 (함수의 극한) — 다항함수의 결정과 함께
- 18번 상 (함수의 연속) — 함수가 연속일 조건 (응용)과 함께
공통 원리는 "극한값이 존재하고 분모가 0으로 가면, 분자도 0으로 가야 한다" 입니다. 이 한 문장에서 식을 하나 얻고, 남은 극한값 조건에서 식을 하나 더 얻는 구조입니다. 극한 → 미분 → 연속으로 단원이 바뀌어도 같은 원리가 반복된다는 점이 이 시험의 특징입니다.
이 밖에 두 번씩 겹친 유형은 다음과 같습니다.
- ∞/∞ 꼴의 극한 — 1·17번
- 다항함수의 결정 — 13·15번
- 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 14·16번
- 함수의 증가와 감소 — 16·19번
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 함수의 극한 계산 (1·3·8·20번) — 4문항
1번 하 ∞/∞ 꼴의 극한, 3번 중 미정계수의 결정 · 0/0 꼴의 극한(무리식), 8번 중 함수의 극한에 대한 성질, 20번 하(단답) 좌극한과 우극한; 그래프가 주어진 경우.
20번은 단답형이지만 하 난이도입니다. 그래프에서 좌극한과 우극한을 읽는 문항이니, 열린 점과 닫힌 점을 헷갈리지 않는 것만 주의하면 됩니다.
3번의 무리식 극한은 유리화가 출발점입니다. 분자와 분모 중 근호가 있는 쪽의 켤레식을 곱하세요.
2. 다항함수의 결정과 극한의 활용 (13·15·17번) — 3문항, 전부 중상
13번 다항함수의 결정 · 미정계수의 결정, 15번 다항함수의 결정 · 접선의 방정식(접점의 좌표가 주어진 경우), 17번 함수의 극한의 활용; 원과 접선 · ∞/∞ 꼴의 극한.
다항함수의 결정은 lim f(x)/xⁿ 같은 조건에서 최고차항과 차수를, x→a 극한 조건에서 인수를 뽑아내는 유형입니다. 15번은 여기에 접선의 방정식이 결합돼 극한과 미분을 오갑니다.
17번은 도형에서 길이를 식으로 세운 뒤 극한을 취하는 문항입니다. 원과 접선이 등장하니 접선은 반지름에 수직이라는 성질부터 떠올리세요.
3. 함수의 연속 (5·18번) — 2문항
5번 하 사잇값 정리; 실근이 존재하는 구간, 18번 상 함수가 연속일 조건 (응용) · 미정계수의 결정.
5번은 f(a)와 f(b)의 부호가 다르면 그 사이에 실근이 있다는 사잇값 정리 기본 문항입니다.
18번은 이 시험의 선택형 최고 난도입니다. 연속 조건으로 극한값과 함숫값을 같게 두고, 그 과정에서 미정계수를 결정합니다.
4. 미분계수와 도함수 (2·4·7·9·11번) — 5문항, 하~중
2번 하 미분법의 공식, 4번 하 평균변화율과 미분계수, 7번 중 미분계수를 이용한 극한값의 계산(h→0 꼴) · 곱의 미분법; y={f(x)}ⁿ 꼴, 9번 중 미분계수를 이용한 극한값의 계산(x→a 꼴) · 미정계수의 결정, 11번 중 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성.
11번 미분가능성은 경계점에서 연속 조건 + 좌·우 미분계수 일치 조건, 두 식을 세우는 것이 전부입니다.
7번의 {f(x)}ⁿ 꼴 미분은 n{f(x)}ⁿ⁻¹·f′(x)로, 안쪽 함수의 미분을 곱하는 것을 빠뜨리기 쉽습니다.
5. 도함수의 활용 (1) — 롤의 정리와 접선 (6·10·12번)
6번 하 롤의 정리, 10번 중 접선의 방정식; 곡선 밖의 한 점이 주어진 경우, 12번 중상 접선이 곡선과 다시 만나는 점 · 곡선 위의 점과 직선 사이의 거리.
12번은 접선을 구한 뒤 그 접선과 곡선을 다시 연립하는 문항입니다. 접점에서 중근이 생긴다는 점을 이용하면 인수분해가 빨라집니다.
6. 도함수의 활용 (2)·(3) — 증가·감소, 극값, 교점 (14·16·19·21번)
14번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 16번 중 함수의 증가와 감소 · 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 19번 중상 함수의 극대·극소 · 함수의 증가와 감소, 21번 상(단답) 두 그래프의 교점의 개수 · 접선의 방정식(기울기가 주어진 경우) · 곱의 미분법.
14·16번은 f′(x)=0의 해가 극값을 갖는 x라는 것을 이용해 미정계수를 구합니다.
21번은 이 시험의 마지막이자 최고 난도 문항입니다. 두 그래프의 교점 개수를 다루는데, 접선의 방정식과 곱의 미분법이 함께 들어갑니다. 교점 개수가 바뀌는 순간은 두 그래프가 접할 때라는 관점에서 접선 조건을 세우는 것이 핵심입니다.
주의 문항 — 중상 5 · 상 2
12번 중상 (접선이 곡선과 다시 만나는 점) — 선택형 첫 중상입니다.
13번 중상 (다항함수의 결정) — 미정계수 결정과 결합됐습니다.
15번 중상 (다항함수의 결정 + 접선) — 극한과 미분을 오갑니다.
17번 중상 (원과 접선, 극한의 활용) — 도형 해석이 먼저입니다.
18번 상 (함수가 연속일 조건 응용) — 선택형 최고 난도입니다.
19번 중상 (극대·극소, 증가·감소) — 도함수의 부호 변화를 정확히 읽어야 합니다.
21번 상 (두 그래프의 교점의 개수, 단답) — 두 미정계수를 모두 구해야 하는 마지막 문항입니다.
학익여고 고2 2학기 중간 대비 학습 순서
- ∞/∞, 0/0 꼴 극한과 좌극한·우극한 — 1·3·8·20번 대비. 확보 구간.
- ★ 미정계수의 결정 (분모 → 0이면 분자 → 0) — 3·9·13·18번 대비. 이 시험의 시그니처.
- 다항함수의 결정 — 13·15번 대비. 차수와 인수 뽑기.
- 극한의 활용 (원과 접선) — 17번 대비.
- 사잇값 정리와 연속 조건 — 5·18번 대비.
- 미분법 공식, 평균변화율, 미분계수 정의 — 2·4·7·9번 대비.
- 구간별 함수의 미분가능성 — 11번 대비.
- 롤의 정리와 접선의 방정식 — 6·10·12번 대비.
- 극대·극소를 이용한 미정계수 결정, 증가와 감소 — 14·16·19번 대비.
- 두 그래프의 교점의 개수 — 21번 대비. 접할 때를 경계로 개수 변화 읽기.
자주 나오는 질문
학익여고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 21문항입니다. 정답 기록상 1~19번은 선택형, 20·21번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 함수의 극한 7문항이 가장 많고, 미분계수와 도함수 5문항이 뒤를 잇습니다. 도함수의 활용은 (1)~(3)을 합쳐 7문항입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 18번과 21번 두 문항입니다. 18번은 함수가 연속일 조건 응용, 21번은 두 그래프의 교점의 개수입니다.
가장 많이 나온 유형은 무엇인가요?
미정계수의 결정이 3·9·13·18번 네 문항에 쓰였습니다. 극한·미분·연속 세 단원에 걸쳐 나왔습니다.
단답형은 어렵나요?
두 문항 중 20번은 하(좌극한과 우극한 그래프 읽기), 21번은 상(교점의 개수)입니다. 난이도 차이가 큽니다.
과년도 학익여고 기출도 볼 수 있나요?
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