남한고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)
남한고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 함수의 극한부터 도함수의 활용 (2)까지 다섯 단원에 걸쳐 나왔고, 가장 많이 나온 단원은 미분계수와 도함수(8문항) 입니다. 난이도는 중상이 7문항으로 두껍고, 그중 여섯 문항이 9~18번 구간에 몰려 있습니다.
핵심 요약
- 21문항 — 1~18번은 선택형, 19~21번은 답을 직접 쓰는 형태
- 난이도: 하 4 / 중 9 / 중상 7 / 상 1
- 배치 단원: 03 미분계수와 도함수 8 / 01 함수의 극한 6 / 02 함수의 연속 3 / 04 도함수의 활용 (1) 3 / 05 도함수의 활용 (2) 1
- 최다 반복 유형: 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 3회(14·18·20번), 다항함수의 결정 3회(7·11·17번)
- 가장 까다로운 구간: 9~18번 열 문항 중 일곱 문항이 중상 이상
남한고 고2 2학기 중간 수학Ⅱ는 어떤 시험인가
남한고등학교는 경기 하남시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 21문항입니다. 정답 기록을 보면 1~18번은 선택형, 19~21번은 답을 직접 쓰는 형태입니다. 마지막 21번은 소문항 세 개로 나뉜 서술형입니다.
배치 단원은 다섯 개입니다. 미분계수와 도함수 8문항, 함수의 극한 6문항, 함수의 연속 3문항, 도함수의 활용 (1) 3문항, 그리고 도함수의 활용 (2) 1문항(15번) 입니다. 대단원으로 묶으면 다항함수의 미분법 12문항, 함수의 극한과 연속 9문항으로 미분 쪽이 더 무겁습니다.
1번이 곱의 미분법, 2번이 미분계수로 시험이 미분으로 시작합니다. 극한 문항은 3번에 처음 나옵니다. 단원 순서대로 풀리지 않으니 문항마다 어느 단원인지 먼저 확인하고 들어가세요.
2025학년 난이도 분포 — 중상 7문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 4 | 19% | 1·2·5·8 |
| 중 | 9 | 43% | 3·4·6·7·10·12·15·19·20 |
| 중상 | 7 | 33% | 9·11·13·14·16·18·21 |
| 상 | 1 | 5% | 17 |
하 네 문항(1·2·5·8번)이 모두 미분계수와 도함수 단원입니다. 곱의 미분법, 미분계수를 이용한 극한값, 접선의 기울기, 평균변화율과 미분계수로, 교과서 기본 유형 그대로입니다. 반드시 맞혀야 하는 구간입니다.
중상 7문항 중 여섯 개가 9~18번에 있습니다. 이 구간에서 중 난이도는 10·12·15번 세 문항뿐이고 17번은 상입니다. 9번부터 난도가 확 올라가는 시험입니다.
서답형 세 문항은 19번 중, 20번 중, 21번 중상입니다. 19·20번은 선택형 뒷부분보다 오히려 쉬운 편이라, 시간이 부족하면 서답형 19·20번을 먼저 챙기는 전략도 고려할 만합니다.
출제 단원 — 미분계수와 도함수 8문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 03 미분계수와 도함수 | 8 | 1·2·4·5·8·14·18·20 |
| 01 함수의 극한 | 6 | 3·7·10·11·17·21 |
| 02 함수의 연속 | 3 | 6·13·16 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 3 | 9·12·19 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 1 | 15 |
미분계수와 도함수 8문항은 하 4 · 중 2 · 중상 2입니다. 쉬운 문항이 많지만, 중상 두 문항(14·18번)이 모두 구간별 함수의 미분가능성입니다.
함수의 극한 6문항은 중 3 · 중상 2 · 상 1입니다. 하 난이도가 없고, 시험의 유일한 상 문항(17번)이 여기서 나왔습니다. 문항 수는 두 번째지만 난도는 가장 높은 단원입니다.
함수의 연속 3문항 중 두 문항(13·16번)이 중상입니다. 적게 나왔지만 쉽지 않습니다.
시그니처 유형 — 미분가능성 3회, 다항함수의 결정 3회
구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성이 14·18·20번 세 문항에 나왔습니다. 14번 중상, 18번 중상, 20번 중(서답형)입니다.
경계점에서 미분가능하려면 ① 연속이고 ② 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 합니다. 14번은 여기에 [x] 꼴 함수의 극한과 미분가능성·연속성의 관계가, 18번은 접선의 방정식이 덧붙어 있습니다. 20번은 이 유형 하나만으로 된 서답형이라 조건 두 개를 식으로 정확히 쓰는 것이 곧 점수입니다.
다항함수의 결정도 7·11·17번 세 문항입니다. 7번 중, 11번 중상, 17번 상으로 뒤로 갈수록 한 단계씩 어려워집니다. 17번은 미정계수의 결정(응용)이 핵심 유형이고 다항함수의 결정이 함께 쓰였습니다.
두 번씩 나온 유형은 다음과 같습니다.
- ∞/∞ 꼴의 극한 — 3·7번
- [x] 꼴을 포함한 함수의 극한 — 10·14번
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 미분계수 기본 (1·2·4·5·8번) — 5문항
1번 하 곱의 미분법, 2번 하 미분계수를 이용한 극한값의 계산(h→0 꼴), 4번 중 미분계수의 기하적 의미 · 평균변화율의 기하적 의미, 5번 하 접선의 기울기를 이용한 미정계수의 결정, 8번 하 평균변화율과 미분계수.
4번 기하적 의미는 그래프 위에서 평균변화율 = 두 점을 잇는 직선의 기울기, 미분계수 = 접선의 기울기로 읽는 문항입니다. 기울기끼리 크기를 비교하는 보기형으로 나오기 쉬우니 그림으로 판단하는 연습이 필요합니다.
2. 극한 계산과 다항함수의 결정 (3·7·11·17번) — 4문항
3번 중 함수의 극한값 구하기 · ∞-∞ 꼴 · ∞/∞ 꼴, 7번 중 다항함수의 결정 · 미분계수를 이용한 극한값의 계산 · ∞/∞ 꼴, 11번 중상 다항함수의 결정 · 치환을 이용한 극한값의 계산, 17번 상 미정계수의 결정(응용) · 다항함수의 결정.
x→∞일 때의 극한은 최고차항의 차수와 계수를, x→a일 때 0/0 꼴이 되는 극한은 인수 (x-a)를 알려준다. 이 원리로 다항식의 모양을 먼저 정하고 계수를 찾는 것이 공통 절차입니다.
11번 치환은 극한식 안의 x를 다른 문자로 바꿔 익숙한 꼴로 만드는 유형입니다. x→0을 t→∞로, 또는 그 반대로 바꿀 때 방향이 맞는지 확인하세요.
3. [x] 꼴과 미분가능성 (10·14번) — 중·중상
10번 중 [x] 꼴을 포함한 함수의 극한 · 함수의 극한값의 존재, 14번 중상 구간별 함수의 미분가능성 · 미분가능성과 연속성 · [x] 꼴을 포함한 함수의 극한.
[x]는 정수에서 값이 뛰는 함수입니다. 정수 근처에서는 좌극한과 우극한을 따로 계산해야 합니다. 10번에서 연습한 좌·우 극한 계산이 14번의 미분가능성 판단에 그대로 쓰입니다.
4. 구간별 함수의 미분가능성 (18·20번) — 중상·중
18번 중상 구간별 함수의 미분가능성 · 접선의 방정식(접점의 좌표가 주어진 경우), 20번 중 구간별 함수의 미분가능성(서답형).
18번은 미분가능 조건으로 함수를 확정한 뒤 접선의 방정식까지 이어 가는 두 단계 문항입니다.
5. 함수의 연속 (6·13·16번) — 3문항
6번 중 사잇값 정리(실근이 존재하는 구간) · 함수의 증가와 감소, 13번 중상 함수의 그래프와 연속 · 좌극한과 우극한(그래프가 주어진 경우), 16번 중상 함수가 연속일 조건 · 미정계수의 결정 · 최대·최소 정리.
6번 사잇값 정리는 f(a)와 f(b)의 부호가 다르면 (a, b)에 실근이 있다는 원리입니다. 구간 끝값을 대입해 부호가 바뀌는 곳을 찾으면 됩니다.
16번은 세 개념이 한 문항에 들어갔습니다. 연속 조건으로 미정계수를 정하고, 최대·최소 정리로 닫힌구간에서의 최댓값·최솟값의 존재를 판단합니다.
6. 도함수의 활용 (9·12·15·19번) — 4문항
9번 중상 평균값 정리(정의를 이용하는 경우) · 함수의 최대·최소, 12번 중 접선과 수직인 직선의 방정식 · 접선의 방정식(기울기가 주어진 경우), 15번 중 함수의 그래프와 증가·감소 · 도함수의 그래프의 해석, 19번 중 롤의 정리(서답형).
9번 평균값 정리는 f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)를 만족시키는 c를 찾는 문항입니다. 롤의 정리(19번)는 그 특수한 경우(f(a)=f(b))입니다. 두 정리를 함께 정리해 두면 9번과 19번을 한 번에 대비할 수 있습니다.
15번은 도함수의 활용 (2) 단원입니다. 도함수의 그래프가 x축 위에 있으면 증가, 아래에 있으면 감소라는 해석이 핵심입니다.
7. 극한의 활용 (21번) — 중상, 서답형
21번 함수의 극한의 활용(도형의 길이와 넓이) · 0/0 꼴(무리식). 소문항 세 개로 나뉘어 도형에서 식을 세우고, 그 식을 정리한 뒤, 마지막에 극한을 구하는 순서로 진행됩니다. 앞 소문항의 결과가 다음 소문항의 재료가 되니, (1)에서 실수하면 뒤가 모두 흔들립니다.
주의 문항 — 중상 7문항, 상 1문항
9번 중상 (평균값 정리) — 난도가 올라가는 첫 문항입니다.
11번 중상 (다항함수의 결정 · 치환) — 치환 방향을 헷갈리기 쉽습니다.
13번 중상 (그래프와 연속) — 그래프에서 좌·우 극한과 함숫값을 모두 읽어야 합니다.
14번 중상 ([x] 꼴 · 미분가능성) — 세 개념이 겹쳤습니다.
16번 중상 (연속 조건 · 최대·최소 정리) — 연속 단원의 최고 난도입니다.
17번 상 (미정계수의 결정 응용) — 시험의 유일한 상 문항입니다.
18번 중상 (미분가능성 · 접선) — 선택형 마지막 문항입니다.
21번 중상 (극한의 활용, 서답형) — 소문항 세 개가 이어집니다.
남한고 고2 2학기 중간 수학Ⅱ 대비 학습 순서
- 곱의 미분법과 미분계수의 정의 — 1·2·8번 대비. 확보 구간.
- 접선의 기울기로 미정계수 구하기 — 5번 대비.
- 평균변화율·미분계수의 기하적 의미 — 4번 대비. 그림으로 기울기 비교.
- ∞-∞ 꼴, ∞/∞ 꼴 극한 — 3·7번 대비.
- ★ 다항함수의 결정 — 7·11·17번 대비.
- 치환을 이용한 극한 — 11번 대비.
- [x] 꼴 함수의 극한 — 10·14번 대비.
- 사잇값 정리 — 6번 대비.
- 그래프로 읽는 연속과 좌·우 극한 — 13번 대비.
- 연속 조건과 최대·최소 정리 — 16번 대비.
- ★ 구간별 함수의 미분가능성 — 14·18·20번. 이 시험의 시그니처.
- 접선과 수직인 직선 — 12번 대비.
- 평균값 정리와 롤의 정리 — 9·19번 대비.
- 도함수의 그래프로 증가·감소 판단 — 15번 대비.
- 도형의 길이·넓이와 극한 — 21번 대비. 소문항 순서대로 식 세우기.
자주 나오는 질문
남한고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 21문항입니다. 1~18번은 선택형, 19~21번은 답을 직접 쓰는 형태이고 21번은 소문항 세 개로 나뉩니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 미분계수와 도함수가 8문항으로 가장 많습니다. 이어서 함수의 극한 6문항, 함수의 연속 3문항, 도함수의 활용 (1) 3문항, 도함수의 활용 (2) 1문항입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 17번 한 문항(미정계수의 결정 응용)입니다. 대신 중상이 7문항으로 많고, 그중 여섯 개가 9~18번에 몰려 있습니다.
쉬운 문항은 어디에 있나요?
하 네 문항은 1·2·5·8번으로 전부 미분계수와 도함수 단원입니다. 앞쪽에 모여 있으니 이 구간을 빠르고 정확하게 넘기는 것이 중요합니다.
어떤 단원부터 공부해야 하나요?
구간별 함수의 미분가능성부터입니다. 14·18·20번 세 문항에 쓰였고 두 문항이 중상입니다. 그다음 함수의 극한에서 다항함수의 결정 유형을 잡으면 상 문항(17번)까지 대비할 수 있습니다.
과년도 남한고 기출도 볼 수 있나요?
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