부산 남산고 2학년 2학기 중간고사 미적분 기출 분석 (2025)
부산 남산고 2학년 2학기 중간 미적분은 2025학년 기준 총 27문항입니다. 이 글의 남산고는 부산광역시 금정구의 남산고등학교입니다. 대구의 대구남산고, 창원의 창원남산고와는 다른 학교입니다.
이 시험은 두 가지가 눈에 띕니다. 문항 수가 27개로 많고, 그중 10문항이 서답형입니다. 그리고 01 수열의 극한 단원에만 10문항이 배치돼 있습니다.
핵심 요약
- 27문항 — 1~17번 선택형, 18~27번 답을 직접 쓰는 형태 10문항
- 난이도: 하 8 / 중 10 / 중상 7 / 상 2
- 배치 단원: 01 수열의 극한 10 / 05 여러 가지 미분법 7 / 02 급수 3 / 04 삼각함수의 미분 3 / 03 지수함수와 로그함수의 미분 2 / 06 도함수의 활용 (1) 2
- 반복 유형: 역함수의 미분법 3회(13·17·19번), sin x, cos x의 도함수 3회(7·12·26번)
- 상 난이도: 17번(역함수의 미분법의 응용), 21번(이계도함수)
부산 남산고 고2 2학기 중간은 어떤 시험인가
남산고등학교는 부산 금정구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 미적분은 총 27문항입니다. 정답 기록을 보면 1~17번은 선택형(①~⑤), 18~27번은 답을 직접 쓰는 형태입니다. 서답형이 10문항으로 시험의 3분의 1이 넘습니다.
대단원으로 묶으면 극한·급수 계열(01 + 02)이 13문항, 미분법 계열(03·04·05)이 12문항, 도함수의 활용 2문항(4·21번) 입니다.
4번과 21번은 배치 단원이 06 도함수의 활용 (1) 이고 둘 다 이계도함수를 다룹니다. 시험 범위를 여러 가지 미분법까지로 알고 있었다면 의외일 수 있지만, 이계도함수는 도함수를 한 번 더 미분하는 것입니다. 다만 21번은 상 난이도라 가볍게 넘길 문항은 아닙니다.
2025학년 난이도 분포 — 하 8문항, 확보 구간이 넓다
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 8 | 30% | 1·2·3·4·7·18·19·25 |
| 중 | 10 | 37% | 5·6·8·9·10·13·20·23·24·26 |
| 중상 | 7 | 26% | 11·12·14·15·16·22·27 |
| 상 | 2 | 7% | 17·21 |
하 8문항이 선택형 앞쪽(1~4·7번)과 서답형 곳곳(18·19·25번)에 있습니다. 서답형에도 하 난이도가 3문항 섞여 있으니, 서답형이라고 전부 어렵다고 생각하고 건너뛰면 손해입니다.
선택형 11~17번은 13번(중)을 빼면 전부 중상 이상입니다. 11·12·14·15·16번이 중상, 17번이 상입니다. 선택형 후반이 이 시험의 가장 빡빡한 구간입니다.
출제 단원 — 수열의 극한 10문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 01 수열의 극한 | 10 | 1·6·9·11·14·15·16·18·20·25 |
| 05 여러 가지 미분법 | 7 | 3·8·12·13·17·19·27 |
| 02 급수 | 3 | 2·23·24 |
| 04 삼각함수의 미분 | 3 | 7·10·26 |
| 03 지수함수와 로그함수의 미분 | 2 | 5·22 |
| 06 도함수의 활용 (1) | 2 | 4·21 |
01 수열의 극한이 10문항, 37% 입니다. 그리고 11·14·15·16번 네 문항의 중상이 전부 수열의 극한입니다. 이 시험에서 수열의 극한은 기본 계산 단원이 아니라 점수가 갈리는 핵심 단원입니다.
반면 02 급수는 3문항뿐이고 모두 하·중 난이도입니다.
반복 출제된 개념 — 역함수의 미분법 3회
문항별 유형을 모으면 다음 개념이 여러 번 쓰였습니다.
- 역함수의 미분법 — 13·17·19번 (3회)
- sin x, cos x의 도함수 — 7·12·26번 (3회)
- 수열의 극한의 활용 (응용) — 14·15번
- 수열의 극한의 활용 — 11·14번
- 일반항 aₙ을 포함한 식의 극한값 — 2·6번
- 이계도함수 — 4·21번
- 지수·로그함수의 미분가능성 — 5·22번
- 삼각함수의 덧셈정리 — 10·26번
- tan x, sec x 등 삼각함수의 도함수 — 19·27번
역함수의 미분법은 19번(하), 13번(중), 17번(상) 으로 세 난이도에 모두 걸쳐 있습니다. (f⁻¹)'(b) = 1 / f'(a)라는 공식은 같고, 17번은 여기에 함수의 증가와 감소 조건까지 얹힌 응용입니다.
수열의 극한의 활용이 11·14·15번에 이어집니다. 14·15번은 "응용"으로 분류된 문항이고, 15번에는 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선이 결합돼 있습니다. 이런 활용 유형은 대개 좌표나 도형에서 수열을 만들기 때문에, 조건에서 일반항을 n으로 나타내는 과정이 핵심입니다.
문항별 정리 (2025 기출 기준)
1. 수열의 극한 선택형 (1·6·9·11·14·15·16번)
1번 하 ∞-∞ 꼴의 극한, 6번 중 ∞/∞ 꼴; 미정계수의 결정 · 일반항 aₙ을 포함한 식의 극한값, 9번 중 등비수열의 수렴 조건, 11번 중상 ∞-∞ 꼴; 미정계수의 결정 · 수열의 극한의 활용, 14번 중상 수열의 극한의 활용(응용), 15번 중상 수열의 극한의 활용(응용) · 접선의 방정식; 곡선 밖의 한 점, 16번 중상 수열의 극한의 대소 관계 · 삼각함수.
6번과 11번은 극한값이 주어지고 계수를 역으로 찾는 유형입니다. 극한값이 유한하려면 분자·분모의 최고차항 차수와 계수가 맞아야 한다는 조건을 세웁니다.
16번은 삼각함수가 들어간 수열에 대소 관계를 쓰는 문항입니다. sin, cos 값이 -1과 1 사이라는 사실로 양쪽에서 부등식을 세워 조이는 것이 정석입니다.
2. 수열의 극한 서답형 (18·20·25번) — 하 2, 중 1
18번 하 rⁿ을 포함한 수열의 극한, 20번 중 수열의 수렴과 발산 · 수열의 극한에 대한 기본 성질, 25번 하 xⁿ을 포함한 극한으로 정의된 함수.
서답형이지만 쉬운 편입니다. 25번은 |x| < 1, x = ±1, |x| > 1로 경우를 나눠 함수식을 확정하는 표준 유형입니다.
3. 급수 (2·23·24번) — 3문항
2번 하 급수와 수열의 극한값 사이의 관계 · 일반항 aₙ을 포함한 식의 극한값, 23번 중 등비급수의 도형에의 활용; 넓이, 24번 중 합이 주어진 등비급수.
23번은 닮은 도형이 반복되는 그림에서 넓이의 합을 구하는 서답형입니다. 닮음비의 제곱이 넓이의 공비라는 점을 먼저 확인하세요.
4. 여러 가지 미분법 (3·8·12·13·17·19·27번) — 7문항
3번 하 매개변수 미분법, 8번 중 합성함수의 미분법; (f∘g)(x) 꼴, 12번 중상 몫의 미분법 · sin x, cos x의 도함수, 13번 중 역함수의 미분법 · 지수함수의 도함수, 17번 상 역함수의 미분법의 응용 · 역함수의 미분법 · 함수의 증가와 감소, 19번 하 역함수의 미분법 · tan x 계열 도함수, 27번 중상 합성함수의 미분법; 지수·삼각함수 · tan x 계열 도함수.
17번이 선택형 마지막 문항이자 상입니다. 역함수가 존재하려면 함수가 일대일이어야 하므로 f'(x)의 부호가 바뀌지 않을 조건을 먼저 세우고, 그다음 역함수의 미분계수를 구합니다.
27번은 서답형 마지막 문항입니다. 지수·삼각함수가 겹친 합성함수를 tan, sec 계열 도함수와 함께 미분해야 해서 계산량이 많습니다.
5. 삼각함수의 미분 (7·10·26번) — 3문항
7번 하 미분계수를 이용한 극한값의 계산 · sin x, cos x의 도함수, 10번 중 삼각함수의 덧셈정리 · 삼각함수 사이의 관계, 26번 중 sin x, cos x의 도함수 · lim sin x / x · 삼각함수의 덧셈정리.
26번은 정답 기록이 f'(x) = cos x이고, 유형에 덧셈정리와 lim sin x / x가 함께 붙어 있습니다. 도함수의 정의로 sin x의 도함수를 끌어내는 교과서 흐름을 직접 써보는 연습을 해두세요.
6. 지수·로그함수와 미분가능성 (5·22번)
5번 중 지수·로그함수의 미분가능성 · 삼각함수의 미분가능성, 22번 중상 지수함수의 도함수 · 지수·로그함수의 미분가능성.
두 문항 모두 경계점에서 연속이고, 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 한다는 조건을 세우는 것이 출발점입니다.
7. 이계도함수 (4·21번) — 하 1, 상 1
4번 하 이계도함수 · y=xⁿ(n은 정수)의 도함수, 21번 상 이계도함수 · 로그함수의 도함수; ln f(x) 꼴 · 합성함수의 미분법.
같은 이계도함수인데 4번은 하, 21번은 상입니다. 21번은 ln f(x)를 합성함수로 두 번 미분해야 하므로, 첫 번째 미분에서 f'(x)/f(x)를 정확히 쓰고 두 번째에서 몫의 미분법을 적용하는 과정이 길어집니다.
주의 문항 — 중상 7 · 상 2
11번 중상 (∞-∞ 꼴 미정계수 · 극한의 활용) — 선택형 후반 고비의 시작입니다.
12번 중상 (몫의 미분법 · 삼각함수 도함수) — 미분법 파트 선택형 중 유일한 중상입니다.
14·15번 중상 (수열의 극한의 활용 · 응용) — "응용"으로 분류된 두 문항입니다. 15번은 접선까지 결합됐습니다.
16번 중상 (대소 관계 · 삼각함수) — 부등식으로 조이는 발상이 필요합니다.
17번 상 (역함수의 미분법의 응용) — 선택형 최고 난도입니다.
21번 상 (이계도함수 · ln f(x)) — 서답형 최고 난도입니다.
22번 중상 (지수·로그함수의 미분가능성), 27번 중상 (지수·삼각 합성함수 미분) — 서답형 뒤쪽 고비입니다.
부산 남산고 고2 2학기 중간 대비 학습 순서
- 수열의 극한 기본 계산(∞/∞, ∞-∞ 꼴) — 1·6번.
- 미정계수 결정 극한 — 6·11번.
- 등비수열의 수렴 조건과 rⁿ 극한 — 9·18번.
- xⁿ을 포함한 극한으로 정의된 함수 — 25번.
- 수열의 극한의 대소 관계(삼각함수 포함) — 16번.
- ★ 수열의 극한의 활용 — 조건에서 일반항 세우기 — 11·14·15번.
- 급수와 일반항의 관계, 등비급수의 합과 도형 활용 — 2·23·24번.
- 매개변수·합성함수·몫의 미분법 — 3·8·12번.
- ★ 역함수의 미분법과 증가·감소 조건 — 13·17·19번.
- tan, sec 계열 도함수와 합성함수 — 19·27번.
- 삼각함수의 덧셈정리, sin x의 도함수 유도 — 10·26번.
- 미분계수를 이용한 극한 — 7번.
- 연속과 미분가능성 조건 — 5·22번.
- 이계도함수(ln f(x) 꼴 포함) — 4·21번.
자주 나오는 질문
부산 남산고 2학년 2학기 중간 미적분은 몇 문항인가요?
2025학년 기준 27문항입니다. 1~17번은 선택형, 18~27번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 01 수열의 극한이 10문항으로 가장 많습니다. 여러 가지 미분법 7문항이 뒤를 잇습니다.
킬러 문항은 어느 것인가요?
상 난이도는 17번(역함수의 미분법의 응용) 과 21번(이계도함수) 두 문항입니다.
쉬운 문항은 몇 개인가요?
하 난이도는 1·2·3·4·7·18·19·25번, 모두 8문항입니다. 서답형에도 3문항(18·19·25번)이 있습니다.
대구남산고와 같은 학교인가요?
아닙니다. 이 글은 부산광역시 금정구의 남산고등학교 시험지 분석입니다. 대구남산고, 창원남산고와는 다른 학교입니다.
남산고 다른 학기 기출도 볼 수 있나요?
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