양천고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

양천고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 24문항입니다. 시험 범위는 함수의 극한부터 도함수의 활용까지 넓게 잡혀 있지만, 실제 문항 배치를 세어 보면 함수의 극한 9문항 + 함수의 연속 8문항 = 17문항(71%) 입니다. 도함수의 활용은 세 단원 문항을 다 합쳐도 3문항뿐입니다. 이 시험은 사실상 "극한과 연속" 시험입니다.

핵심 요약

• 24문항 — 1~18번 선택형, 19~24번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 6 / 중 8 / 중상 9 / 상 1(23번)
• 배치 단원: 01 함수의 극한 9 / 02 함수의 연속 8 / 03 미분계수와 도함수 4 / 04 도함수의 활용 (1) 2 / 05 도함수의 활용 (2) 1
• 시그니처: 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성 3회(10·23·24번)
• 가장 까다로운 구간: 함수의 연속 — 8문항 중 6문항이 중상 이상

양천고 고2 2학기 중간은 어떤 시험인가

양천고등학교는 서울 양천구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 24문항이고, 정답 기록상 1~18번은 선택형, 19~24번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

시험지 앞부분 구성이 특이합니다. 2번이 도함수의 활용 (2)(함수의 최대·최소), 3번이 도함수의 활용 (1)(접선의 방정식) 으로, 범위의 마지막 단원이 시험지 맨 앞에 나옵니다. 두 문항 모두 하 난이도입니다. 즉 도함수의 활용은 기본 문항으로만 확인하고, 본격적인 변별은 극한과 연속에서 한다는 구조입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 9문항이 가장 많다

난이도 구간 중 중상이 9문항으로 가장 많습니다. 상은 23번 하나뿐이지만, 중상이 두껍게 깔려 있어 체감 난도는 상 1문항이라는 숫자보다 높습니다.

1~6번 중 5번만 중상이고 나머지는 하입니다. 5번(다항함수의 결정)에서 막히면 일단 넘기고 6번까지 확보한 뒤 돌아오는 편이 낫습니다.

10~12번은 연속 중상, 15~17번도 연속 중상입니다. 선택형 중반 이후는 한 문항씩 시간을 쓰게 되는 구간입니다.

출제 단원 — 극한 9, 연속 8

함수의 연속 8문항의 난이도를 보면 이 시험의 성격이 보입니다. 19번 하, 9번 중을 빼면 10·12·15·17·24번 중상, 23번 상입니다. 연속 단원이 곧 이 시험의 고난도 구간입니다.

함수의 극한 9문항은 하 2(1·4번), 중 5(7·13·18·20·21번), 중상 2(5·11번)로 상대적으로 고르게 퍼져 있습니다.

시그니처 — 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성

교점의 개수로 정의된 함수의 연속성과 두 함수의 곱의 연속이 10·23·24번 세 문항에서 쓰였습니다. 10번 중상, 23번 상, 24번 중상으로 셋 다 고난도이고, 그중 23·24번은 답을 직접 쓰는 마지막 두 문항입니다.

이 유형은 보통 "직선 y=t와 어떤 그래프의 교점의 개수를 f(t)라 할 때" 같은 방식으로 함수를 정의합니다. 그래서 식이 아니라 그래프를 그려서 함숫값이 바뀌는 지점을 찾아야 합니다. 그 다음에 다른 함수와 곱했을 때 불연속점이 사라지려면 곱하는 함수의 값이 그 지점에서 0이 되어야 한다는 논리가 이어집니다.

함수의 그래프와 연속은 이보다 더 넓게 10·15·17·23·24번 다섯 문항에 들어가 있습니다. 양천고 수학Ⅱ 중간에서 연속 단원을 공부한다는 것은 곧 그래프를 보고 연속을 판정하는 연습이라고 보면 됩니다.

이 밖에 두 번 이상 겹친 유형은 다음과 같습니다.

• 0/0 꼴의 극한(유리식) — 9·14·18번
• 함수의 극한값의 존재 — 4·15·18번
• 함수가 연속일 조건 — 9번, (응용) 12·17번
• 다항함수의 결정 — 5·11번
• 미분법의 공식 — 5·22번
• 함수의 극한의 활용(도형의 길이와 넓이) — 7·21번
• 미분계수를 이용한 극한값의 계산 — 16·22번

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 극한의 계산과 존재 (1·4·18·20번)

1번 하 좌극한과 우극한(그래프가 주어진 경우) · 합성함수의 극한, 4번 하 0/0 꼴의 극한(무리식) · ∞/∞ 꼴의 극한 · 함수의 극한값의 존재, 18번 중 함수의 극한값의 존재 · 0/0 꼴의 극한(유리식), 20번 중 함수의 극한값 구하기.

4번은 무리식의 0/0 꼴을 분자 또는 분모의 유리화로, ∞/∞ 꼴을 최고차항으로 나누기로 처리하는 기본 문항입니다. 1번의 합성함수 극한은 그래프에서 안쪽 함수의 극한이 어느 방향에서 접근하는지 확인하는 것이 핵심입니다.

2. 미정계수와 다항함수의 결정 (5·11·13번)

5번 중상 다항함수의 결정 · 미분법의 공식, 11번 중상 함수의 극한의 대소 관계 · 미정계수의 결정 · 다항함수의 결정, 13번 중 미정계수의 결정(응용) · 접선의 방정식(접점의 좌표가 주어진 경우).

다항함수의 결정이 5·11번 두 번, 그것도 둘 다 중상입니다. 극한 조건 두 개가 주어지면 ∞로 가는 극한에서 차수와 최고차항 계수를, 0/0 꼴 극한에서 인수를 읽어내는 것이 표준 절차입니다.

11번의 함수의 극한의 대소 관계는 위아래에서 같은 값으로 수렴하는 두 식 사이에 끼인 함수의 극한을 구하는 유형입니다.

3. 극한의 활용 — 도형 (7·21번)

7번 중 함수의 극한의 활용(원과 접선 · 도형의 길이와 넓이), 21번 중 함수의 극한의 활용(도형의 길이와 넓이).

움직이는 점에 따라 변하는 길이나 넓이를 식으로 세운 뒤 극한을 취하는 유형입니다. 식을 세우는 단계가 문제의 절반입니다. 좌표를 문자로 두고 길이를 표현하는 연습을 해 두세요.

4. 함수의 연속 (9·10·12·15·17·19·23·24번) — 8문항

9번 중 함수가 연속일 조건 · 0/0 꼴의 극한(유리식), 10번 중상 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성과 두 함수의 곱의 연속 · 함수의 그래프와 연속, 12번 중상 함수가 연속일 조건(응용) · 연속함수의 성질, 15번 중상 함수의 그래프와 연속 · 함수의 극한값의 존재 · 함수의 연속, 17번 중상 함수가 연속일 조건(응용) · 함수의 그래프와 연속, 19번 하 사잇값 정리(실근의 개수), 23번 상 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성과 두 함수의 곱의 연속 · 함수의 그래프와 연속, 24번 중상 함수의 그래프와 연속 · 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성과 두 함수의 곱의 연속.

연속의 정의 세 가지(함숫값 존재, 극한값 존재, 둘이 같음) 를 문항마다 하나씩 확인하는 습관이 기본입니다. 19번 사잇값 정리는 서술 구간의 유일한 하 문항이니 반드시 확보하세요. 구간 양 끝의 함숫값 부호가 바뀌는지만 확인하면 됩니다.

5. 미분계수와 도함수 (6·8·16·22번) — 4문항

6번 하 도함수의 정의를 이용하여 도함수 구하기, 8번 중 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 · 곱의 미분법, 16번 중상 항등식이 주어질 때 미분계수 구하기 · 미분계수를 이용한 극한값의 계산 · 항등식에서 미분법의 활용, 22번 중상 미분계수를 이용한 극한값의 계산 · 미분법의 공식.

16·22번 두 문항이 미분계수의 정의를 극한식으로 되돌리는 유형입니다. 주어진 극한식을 f(a+h)−f(a) 꼴이나 f(x)−f(a) 꼴로 맞춰 미분계수로 바꾸는 변형이 빨라야 합니다.

8번 미분가능성은 경계점에서 연속 조건과 좌우 미분계수가 같다는 조건 두 개를 세우는 문항입니다.

6. 도함수의 활용 (2·3·14번) — 3문항

2번 하 함수의 최대·최소, 3번 하 접선의 방정식(곡선 밖의 한 점이 주어진 경우), 14번 중 곡선과 직선이 접할 때 · 0/0 꼴의 극한(유리식).

범위의 마지막 두 단원이지만 3문항, 그중 2문항이 하입니다. 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선은 접점을 (t, f(t))로 두고 시작하는 것이 정석입니다. 14번은 접선 조건과 극한 계산이 섞여 있습니다.

주의 문항 — 상 1, 중상 9

5번 중상 (다항함수의 결정) — 앞쪽 자리라 시간을 뺏기기 쉽습니다.

10번 중상 (교점의 개수로 정의된 함수) — 시그니처 유형의 첫 등장입니다.

11번 중상 (극한의 대소 관계 · 다항함수의 결정) — 극한 단원의 최고 난도 구간입니다.

12번 중상 (연속일 조건 응용 · 연속함수의 성질) — 두 함수를 결합한 연속 판정입니다.

15번 중상 (그래프와 연속 · 극한값의 존재) — 좌극한·우극한을 그래프에서 읽어야 합니다.

16번 중상 (항등식과 미분계수) — 미분계수 단원의 선택형 최고 난도입니다.

17번 중상 (연속일 조건 응용) — 12번과 같은 계열의 응용입니다.

22번 중상 (미분계수를 이용한 극한값) — 서술 구간의 미분 문항입니다.

23번 상 (교점의 개수로 정의된 함수 · 곱의 연속) — 이 시험의 최고 난도입니다.

24번 중상 (그래프와 연속) — 23번과 같은 유형 계열이 연달아 나옵니다.

양천고 고2 2학기 중간 대비 학습 순서

1. 좌극한·우극한과 극한값의 존재 — 1·4·15·18번의 기초입니다.
2. 0/0 꼴, ∞/∞ 꼴 극한 계산 — 4·9·14·18·20번 대비입니다.
3. ★ 미정계수와 다항함수의 결정 — 5·11·13번. 중상 2문항이 여기서 나옵니다.
4. 극한의 대소 관계 — 11번 대비입니다.
5. 극한의 활용(도형의 길이·넓이) — 7·21번 대비. 식 세우기 연습이 핵심입니다.
6. 연속의 정의와 연속일 조건 — 9·12·17번 대비입니다.
7. ★ 그래프를 보고 연속 판정하기 — 10·15·17·23·24번. 연속 단원의 핵심입니다.
8. ★ 교점의 개수로 정의된 함수와 곱의 연속 — 10·23·24번. 이 시험의 시그니처입니다.
9. 사잇값 정리 — 19번 대비. 확보 구간입니다.
10. 도함수의 정의와 미분가능성 — 6·8번 대비입니다.
11. 미분계수를 이용한 극한값 계산 — 16·22번 대비입니다.
12. 접선의 방정식과 최대·최소 — 2·3·13·14번 대비입니다.

자주 나오는 질문

양천고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 24문항입니다. 1~18번은 선택형, 19~24번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 함수의 극한 9문항, 함수의 연속 8문항입니다. 둘을 합치면 17문항으로 전체의 71%입니다. 미분계수와 도함수는 4문항, 도함수의 활용은 (1)·(2)를 합쳐 3문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 23번 한 문항(교점의 개수로 정의된 함수의 연속)입니다. 다만 중상이 9문항으로 가장 많은 난이도 구간이라 체감 난도는 높은 편입니다.

도함수의 활용은 얼마나 공부해야 하나요?

2025학년 이 시험에서는 2·3·14번 3문항이고 그중 2문항이 하였습니다. 기본 유형(최대·최소, 접선)을 확실히 하고, 남는 시간은 연속 단원 고난도에 쓰는 편이 효율적입니다.

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