다정고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

세종특별자치시 다정고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 23문항입니다. 문항 수로 보면 미분 12문항, 적분 11문항으로 거의 반반입니다. 가장 눈에 띄는 것은 수직선 위의 운동(속도·가속도와 운동 방향)이 세 번 나왔다는 점, 그리고 서술형 끝자리에 절댓값 함수의 미분가능성 문항이 두 개(20·23번) 들어갔다는 점입니다.

핵심 요약

• 23문항 — 1~17번 선택형, 18~23번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 1 / 중 15 / 중상 5 / 상 2
• 배치 단원: 정적분 7 / 도함수의 활용 (2) 6 / 도함수의 활용 (3) 4 / 정적분의 활용 4 / 미분계수와 도함수 2
• 최다 반복 유형: 속도·가속도와 운동 방향 3회(3·11·21번)
• 상 문항: 16번(극대·극소로 미정계수), 20번(절댓값 함수의 미분가능성)

다정고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

다정고등학교는 세종특별자치시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 23문항이고, 정답 기록상 1~17번이 선택형, 18~23번 여섯 문항이 답을 직접 쓰는 형태입니다.

분석표 배점 합계는 100점이며 문항당 3.4점에서 6점 사이입니다. 6점짜리는 22번과 23번으로 둘 다 서술형입니다. 선택형은 17번(5.1점)이 가장 큽니다.

출제는 함수의 증가·감소와 극대·극소에서 시작해 정적분의 활용까지 이어집니다. 그런데 20번과 23번은 배치 단원이 "03 미분계수와 도함수" 입니다. 절댓값이 붙은 함수가 미분가능할 조건을 묻는 문항으로, 앞 단원의 개념이 서술형 핵심으로 다시 쓰였습니다. 증가·감소부터만 공부했다면 이 두 문항에서 막힐 수 있습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 15문항

1번부터 12번까지 열두 문항이 전부 중 난이도입니다. 첫 문항부터 하 난이도가 없으니, 초반을 빠르고 정확하게 넘기는 것이 핵심입니다. 하 난이도는 서술형 첫 문항인 18번(우함수·기함수의 정적분) 하나뿐입니다.

어려운 문항은 13~17번 선택형 후반부와 20·23번 서술형에 모여 있습니다. 13~17번 다섯 문항 중 네 개가 중상, 하나(16번)가 상입니다.

출제 단원 — 미분 12, 적분 11

정적분이 7문항으로 단일 단원 최다입니다. 미분 쪽은 도함수의 활용 (2)·(3)과 미분계수와 도함수를 합쳐 12문항입니다. 배치 단원 기준으로 접선·평균값 정리(도함수의 활용 (1))와 부정적분은 0문항입니다.

시그니처 유형 — 속도·가속도와 운동 방향 3회

이 시험에서 가장 자주 쓰인 유형은 속도·가속도와 운동 방향입니다.

• 3번 중 — 속도를 구해 부호가 바뀌는 시각을 찾는 문항
• 11번 중 — 운동 방향이 두 번째로 바뀌는 시각을 찾고, 처음 위치에 속도의 정적분을 더해 위치를 구하는 문항
• 21번 중(서술형) — 운동 방향이 바뀌는 횟수와 속도의 절댓값을 적분한 움직인 거리

세 문항이 한 줄로 이어집니다. 속도가 0이 되면서 부호가 바뀌는 시각이 운동 방향이 바뀌는 시각이고, 위치는 속도의 정적분, 움직인 거리는 속도의 절댓값의 정적분입니다. 이 세 문장만 정확하면 세 문항이 모두 열립니다.

그 밖에 두 번씩 나온 유형은 다음과 같습니다.

• 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 14번(중상), 22번(중)
• 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 7번(중), 15번(중상)
• 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 6번(중), 16번(상)
• 미분가능성과 연속성 — 20번(상), 23번(중상)

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분 (1·2·4·12·14·18·22번) — 7문항

1번 중 정적분의 계산, 2번 중 미적분의 기본정리, 4번 중 정적분으로 정의된 함수의 극한, 12번 중 정적분을 포함한 등식, 14번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 18번 하 우함수·기함수의 정적분, 22번 중 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소.

2번은 위끝이 변수인 정적분을 미분하는 기본정리 문항이고, 4번은 같은 원리를 극한 꼴로 묻습니다. 변수가 위끝에 있으면 미분해서 피적분함수로 돌아간다는 것 하나로 2·4·14·22번이 연결됩니다.

14번은 정적분으로 정의된 함수가 극값을 갖지 않을 조건에서 원래 함수를 복원하는 3단계 문항입니다. 22번은 같은 유형의 서술형으로, 도함수의 부호에서 극소가 되는 시각을 찾고 그때의 적분값을 구합니다.

2. 도함수의 활용 (2) (5·6·8·10·13·16번) — 6문항

5번 중 삼차함수가 실수 전체에서 증가할 조건, 6번 중 극대·극소로 미정계수 결정, 8번 중 함수의 최대·최소, 10번 중 최대·최소의 활용(부피), 13번 중상 사차함수가 극값을 갖지 않을 조건, 16번 상 극대·극소로 미정계수 결정.

5번은 도함수가 항상 0 이상이 되는 판별식 조건에서 정수 개수를 세는 문항입니다. 10번은 반지름·높이가 양수라는 범위를 먼저 잡고 부피의 최댓값을 구합니다.

13번은 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 갖지 않을 조건입니다. 도함수인 삼차식의 판별식 조건만 보면 안 되고, 인수가 겹치는 예외 경우까지 따져야 합니다.

16번은 이 시험의 상 문항 두 개 중 하나입니다. 원점에서의 극한 조건으로 근의 중복도를 읽고, 서로 다른 영점의 개수 조건, 극값을 갖는 점의 근의 합으로 계수를 정한 뒤 극댓값을 구하는 4단계입니다.

3. 도함수의 활용 (3) (3·7·15·19번) — 4문항

3번 중 속도·가속도와 운동 방향, 7번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 15번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 19번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건.

7번은 두 개의 이차방정식으로 나눠 놓고 겹치는 실근을 빼는 것이 관건입니다. 15번은 절댓값이 붙은 함수라 부호에 따라 식을 나누고, 각 구간의 교점을 모두 센 뒤 경계에서 중복된 것을 정리해야 합니다.

4. 정적분의 활용 (9·11·17·21번) — 4문항

9번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 11번 중 속도와 위치의 변화량, 17번 중상 두 그래프의 교점 개수와 두 도형의 넓이가 같을 조건, 21번 중 속도와 움직인 거리.

17번은 선택형 마지막 문항이자 선택형 최고 배점입니다. 교점 개수 조건에서 접하는 경계를 찾고, 그 경계에서 두 넓이가 같아지는 미지수를 구합니다.

5. 미분계수와 도함수 (20·23번) — 2문항, 둘 다 서술형

20번 상 미분가능성과 연속성, 23번 중상 미분가능성과 연속성.

두 문항 모두 절댓값이 붙은 함수가 미분가능할 조건을 다룹니다. 20번은 절댓값 안의 함수가 0이 되는 점에서 미분가능하려면 어떤 조건이 필요한지 따지고, 영점과 정지점의 위치를 네 경우로 나눠 검토하는 4단계 문항입니다. 23번은 미분가능하지 않은 점이 단순근에서 생긴다는 점을 이용해 원시함수를 복원하는 3단계 문항입니다. "절댓값 함수는 x축과 만나는 점에서 꺾인다" 는 그림을 머릿속에 갖고 있어야 합니다.

주의 문항 — 상 2 · 중상 5

13번 중상 (사차함수가 극값을 갖지 않을 조건) — 판별식만 보면 예외를 놓칩니다.

14번 중상 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 원함수 복원까지 3단계.

15번 중상 (절댓값 함수의 실근의 개수) — 구간 나누기와 경계 중복 정리.

16번 상 (극대·극소로 미정계수) — 4단계. 근의 중복도부터 읽어야 합니다.

17번 중상 (교점 개수와 넓이가 같을 조건) — 선택형 최고 배점.

20번 상 (절댓값 함수의 미분가능성) — 서술형. 경우 나누기에서 빠뜨리면 감점.

23번 중상 (미분가능성과 원시함수) — 서술형 6점.

다정고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. ★ 미분가능성과 연속성, 절댓값 함수 — 20·23번 대비. 범위 앞 단원이지만 서술형 핵심.
2. 삼차·사차함수의 증가·감소 조건 — 5·13번 대비. 인수 중복 예외 체크.
3. 극대·극소로 미정계수 결정 — 6·16번 대비.
4. 함수의 최대·최소와 활용 — 8·10번 대비.
5. 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 7·15번 대비. 그래프와 수평선.
6. 부등식이 항상 성립할 조건 — 19번 대비.
7. ★ 속도·가속도와 운동 방향 — 3·11·21번 대비. 위치·변위·거리 구분.
8. 정적분의 계산과 우함수·기함수 — 1·18번 대비. 18번은 확보 구간.
9. ★ 위끝이 변수인 정적분의 미분 — 2·4·12·14·22번을 관통.
10. 곡선과 x축 사이의 넓이 — 9번 대비.
11. 두 도형의 넓이가 같을 조건 — 17번 대비.

자주 나오는 질문

다정고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 23문항입니다. 1~17번은 선택형, 18~23번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분 7문항이 가장 많고, 도함수의 활용 (2)가 6문항으로 뒤를 잇습니다.

증가·감소 이전 단원도 나오나요?

네. 20·23번 두 서술형이 미분계수와 도함수 단원(미분가능성과 연속성) 에 배치됐습니다. 둘 다 절댓값 함수의 미분가능성 문항입니다.

킬러 문항은 몇 개인가요?

상 난이도는 16번과 20번 두 문항입니다. 중상까지 합치면 7문항입니다.

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