도담고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

세종특별자치시 도담고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 문항 수로는 적분 12문항, 미분 10문항으로 적분 쪽이 조금 더 많고, 그중 정적분 단원 하나에서 7문항이 나왔습니다. 상 난이도는 없고 중 난이도가 15문항입니다. 같은 유형이 두 번씩 나온 경우가 다섯 가지나 되는, 반복이 많은 시험입니다.

핵심 요약

• 22문항 — 1~18번 선택형, 19~22번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 2 / 중 15 / 중상 5 / 상 0
• 배치 단원: 정적분 7 / 도함수의 활용 (1) 4 / 도함수의 활용 (2) 4 / 정적분의 활용 3 / 부정적분 2 / 도함수의 활용 (3) 2
• 2회 반복 유형 5가지: 평균값 정리, 접선의 방정식, 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 상수 구간 정적분 등식, 극대·극소로 미정계수
• 중상 5문항 중 세 개가 서술형 직전·서술형(18·21·22번)

도담고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

도담고등학교는 세종특별자치시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항이고, 정답 기록상 1~18번이 선택형, 19~22번 네 문항이 답을 직접 쓰는 형태입니다.

분석표 배점 합계는 100점이며 문항당 4점에서 6점 사이입니다. 6점짜리는 서술형 마지막 22번이고, 선택형 중에서는 18번(5점)이 가장 큽니다.

배치 단원은 모두 도함수의 활용과 적분 범위 안입니다. 다만 14·18·22번에는 미분계수, 미분가능성, 연속성 같은 앞 단원 개념이 풀이 단계에 섞여 있습니다. 14번은 유한한 극한에서 미분계수를 끌어내야 하고, 18번은 구간별로 정의된 함수의 미분가능성, 22번은 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성을 다룹니다. 세 문항 모두 중상입니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 0문항, 중 15문항

상 난이도가 한 문항도 없습니다. 하 난이도는 1번(부정적분의 계산)과 4번(정적분으로 정의된 함수의 극한) 두 문항입니다.

2번부터 13번까지 하 난이도인 4번을 빼면 전부 중입니다. 손도 못 댈 문항은 없지만, 중 난이도를 얼마나 정확히 지키느냐가 점수를 정합니다. 중상은 14번부터 등장하고 서술형 21·22번이 둘 다 중상입니다.

출제 단원 — 적분 12, 미분 10

정적분 7문항이 단일 단원 최다로 전체의 32%입니다. 미분 쪽은 접선·평균값 정리(도함수의 활용 (1))와 극대·극소·최대·최소(도함수의 활용 (2))가 4문항씩 같고, 방정식·부등식과 운동(도함수의 활용 (3))은 2문항입니다.

반복 유형 — 다섯 가지가 두 번씩

이 시험은 같은 유형이 두 번 나온 경우가 많습니다.

• 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우 — 3번(중), 8번(중)
• 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우 — 2번(중), 14번(중상)
• 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 12번(중), 16번(중상)
• 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우 — 17번(중), 20번(중, 서술형)
• 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 18번(중상), 22번(중상, 서술형)

평균값 정리 두 문항은 성격이 다릅니다. 3번은 평균변화율과 같은 미분계수를 갖는 점을 열린구간에서 찾는 계산형이고, 8번은 네 개의 명제를 반례로 거르면서 평균값 정리가 무엇을 보장하는지를 묻는 판정형입니다.

정적분을 포함한 등식 두 문항(17·20번)은 정적분 값이 상수라는 점을 문자로 두고 연립하는 같은 처리법으로 풀립니다. 하나는 선택형, 하나는 서술형이니 풀이 과정을 정확히 쓰는 연습까지 해 두세요.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분 (4·6·7·12·16·17·20번) — 7문항

4번 하 정적분으로 정의된 함수의 극한, 6번 중 위끝에 변수가 있는 정적분을 포함한 등식, 7번 중 우함수·기함수의 정적분, 12번 중 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 16번 중상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 17번 중 상수 구간 정적분 등식, 20번 중 상수 구간 정적분 등식.

7번은 기함수 부분은 대칭 구간에서 0이 되고 상수항만 남는다는 성질을 씁니다. 12번은 절댓값이 붙은 피적분함수를 부호에 따라 나눠 적분한 뒤 최대·최소를 찾습니다.

16번은 정적분으로 정의된 함수의 극소를 찾고, 절댓값이 붙은 함수의 최솟값까지 연결하는 3단계 문항입니다. 경계값을 다시 대입해 확인하는 과정이 필요합니다.

2. 도함수의 활용 (1) (2·3·8·14번) — 4문항

2번 중 접선의 방정식, 3번 중 평균값 정리, 8번 중 평균값 정리(명제 판정), 14번 중상 미분계수로 미정계수 결정과 접선의 방정식.

14번은 유한한 극한 조건에서 미분계수를 끌어내고, 접선의 절편 조건으로 접점을 찾은 뒤 계수를 연립하는 3단계 문항입니다. 극한과 미분계수의 연결이 앞 단원 개념이라 복습이 필요합니다.

3. 도함수의 활용 (2) (11·13·18·22번) — 4문항

11번 중 도함수의 그래프를 이용한 극대·극소, 13번 중 최대·최소의 활용(부피), 18번 중상 구간별 함수의 미분가능성과 극대·극소로 미정계수 결정, 22번 중상 교점의 개수로 정의된 함수의 연속성과 극대·극소로 미정계수 결정.

11번은 도함수 그래프에서 부호가 바뀌는 점과 부호가 바뀌지 않고 0에 닿기만 하는 점을 구별해야 합니다. 후자는 극값이 아닙니다. 13번은 닮음으로 반지름과 높이의 관계를 세운 뒤 원기둥 부피의 최댓값을 구합니다.

22번은 서술형 마지막 6점 문항입니다. 함수 그래프와 수평선의 교점 개수를 새 함수로 정의하고, 그 함수가 불연속이 되는 수준을 극댓값·극솟값과 연결해 미지수를 하나로 정하는 구조입니다.

4. 정적분의 활용 (10·15·21번) — 3문항

10번 중 위치와 위치의 변화량, 15번 중 두 곡선 사이의 넓이, 21번 중상 두 도형의 넓이가 같을 조건.

10번은 두 점의 속도를 적분해 위치를 구하고 두 위치가 같아지는 양수 시각을 찾습니다. 21번은 사차함수에 접하는 직선을 구하고, 두 부분의 넓이가 같아지는 조건을 정적분으로 세우는 서술형입니다.

5. 부정적분 (1·5번) — 2문항

1번 하 부정적분의 계산, 5번 중 부정적분과 접선의 기울기.

5번은 접선의 기울기로 주어진 도함수를 적분하고 지나는 점으로 적분상수를 정하는 기본 문항입니다.

6. 도함수의 활용 (3) (9·19번) — 2문항

9번 중 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건, 19번 중 속도·가속도와 운동 방향(서술형).

9번은 두 함수의 차인 사차함수의 극값을 모두 찾아 최솟값이 0보다 크다는 조건으로 바꿉니다. 19번은 속도가 0이 되는 시각 두 개를 구해 위치를 계산하는 서술형입니다.

주의 문항 — 중상 5문항

14번 중상 (극한과 접선) — 앞 단원 개념(미분계수)이 섞인 3단계.

16번 중상 (정적분으로 정의된 함수의 최대·최소) — 경계값 확인까지.

18번 중상 (구간별 함수의 미분가능성 + 극대·극소) — 선택형 최고 배점.

21번 중상 (접선과 넓이가 같을 조건) — 서술형. 중근 조건과 넓이 적분.

22번 중상 (교점 개수 함수의 연속성) — 서술형 6점.

도담고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 부정적분과 적분상수 — 1·5번 대비. 1번은 확보 구간.
2. 접선의 방정식 — 2번 대비.
3. ★ 평균값 정리, 계산과 명제 판정 둘 다 — 3·8번 대비.
4. 유한한 극한과 미분계수 — 14번 대비. 앞 단원 복습.
5. 도함수 그래프로 극대·극소 판단 — 11번 대비.
6. 구간별 함수의 미분가능성 — 18번 대비.
7. 최대·최소의 활용(원기둥 부피) — 13번 대비.
8. 부등식이 항상 성립할 조건 — 9번 대비.
9. 속도와 위치 — 10·19번 대비.
10. ★ 정적분으로 정의된 함수의 극한·최대·최소 — 4·12·16번 대비.
11. 우함수·기함수의 정적분 — 7번 대비.
12. ★ 정적분을 포함한 등식 — 6·17·20번 대비. 상수는 문자로.
13. 두 곡선 사이의 넓이와 넓이가 같을 조건 — 15·21번 대비.
14. 교점 개수로 정의된 함수 — 22번 대비.

자주 나오는 질문

도담고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 1~18번은 선택형, 19~22번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분 7문항이 가장 많습니다. 도함수의 활용 (1)과 (2)가 4문항씩 뒤를 잇습니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 가장 어려운 문항은 중상 5문항(14·16·18·21·22번)입니다.

서술형은 어떤 문항인가요?

19번(운동), 20번(정적분을 포함한 등식), 21번(넓이가 같을 조건), 22번(교점 개수와 극대·극소) 네 문항입니다. 21·22번이 중상입니다.

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