두루고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

세종특별자치시 두루고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 미분 11문항, 적분 11문항으로 정확히 반반입니다. 이 시험을 한마디로 정리하면 중상이 절반인 시험입니다. 22문항 중 중상이 11문항이고, 특히 6번부터 12번까지 일곱 문항이 연속으로 중상입니다.

핵심 요약

• 22문항 — 1~17번 선택형, 18~22번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 2 / 중 8 / 중상 11 / 상 1
• 배치 단원: 도함수의 활용 (2) 5 / 정적분 5 / 도함수의 활용 (3) 4 / 정적분의 활용 4 / 부정적분 2 / 도함수의 활용 (1) 2
• 시그니처: 절댓값 함수의 미분가능성 3문항(11·12·16번)
• 유일한 상: 17번(사차함수와 실근의 개수)

두루고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

두루고등학교는 세종특별자치시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항이고, 정답 기록상 1~17번이 선택형, 18~22번 다섯 문항이 답을 직접 쓰는 형태입니다.

분석표 배점 합계는 100점이며 문항당 3.1점에서 7점 사이로 폭이 넓습니다. 가장 큰 문항은 서술형 22번(7점), 그다음이 19번(6.2점)과 21번(6점)입니다. 선택형에서는 17번(5.6점)이 가장 큽니다. 서술형 다섯 문항의 배점 합이 30점이라, 서술형 비중이 큰 시험입니다.

배치 단원은 모두 도함수의 활용과 적분 범위 안이지만, 11·12·16번 세 문항은 미분가능성과 연속성이 첫 번째 핵심 유형입니다. 절댓값이 붙은 함수가 어디서 미분가능한지를 따지는 앞 단원 개념이 활용 문항 속에 다시 들어갔습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 11문항

상은 17번 하나지만 중상이 11문항으로 절반을 차지합니다. 하 난이도는 1번(부정적분의 계산)과 3번(정적분의 계산) 두 문항뿐입니다.

배치가 독특합니다. 1~5번은 하·중으로 가볍게 시작하다가 6번부터 12번까지 일곱 문항이 연속 중상입니다. 13·14번에서 잠시 중으로 내려왔다가 15·16번 중상, 17번 상으로 선택형이 끝납니다. 6번에서 시간이 걸리기 시작하면 뒤까지 밀리기 쉬운 구성이라, 시간 배분을 미리 정해 두는 것이 중요합니다.

출제 단원 — 미분 11, 적분 11

극대·극소·최대·최소(도함수의 활용 (2))와 정적분이 5문항씩으로 가장 많습니다. 정적분의 활용도 4문항이고, 그중 19·22번은 배점이 큰 서술형입니다.

시그니처 유형 — 절댓값 함수의 미분가능성 3회

이 시험에서 가장 두드러지는 것은 미분가능성과 연속성입니다.

• 11번 중상 — 미분가능성과 함수의 극대·극소. 절댓값 안이 0이 되는 점에서 미분가능 여부를 따진 뒤, 극값을 갖는 점을 중복 없이 모두 셉니다.
• 12번 중상 — 미분가능성과 함수의 최대·최소. 0이 되는 점에서 미분가능하도록 미지수의 허용 범위를 정한 뒤 최솟값을 구합니다.
• 16번 중상 — 미분가능성과 정적분을 포함한 등식. 정적분 등식에서 함수를 복원하고, 절댓값이 붙었을 때 미분가능하지 않은 점이 생기는 조건을 근의 중복도로 따집니다.

세 문항의 공통 원리는 하나입니다. 절댓값 함수는 안쪽 함수가 0이 되면서 부호가 바뀌는 점에서 꺾이고, 거기서 미분가능하지 않다. 중근이면 꺾이지 않습니다. 이 그림이 머릿속에 있어야 세 문항이 풀립니다.

그 밖에 두 번씩 나온 유형도 많습니다.

• 두 그래프의 교점의 개수 — 9번(중상), 19번(중상)
• 도함수가 주어질 때 함수 구하기 — 9번(중상), 15번(중상)
• 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우 — 13번(중), 16번(중상)
• 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 14번(중), 17번(상)
• 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 17번(상), 20번(중)

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (2) (5·11·12·14·18번) — 5문항

5번 중 함수의 극대·극소, 11번 중상 미분가능성과 극대·극소, 12번 중상 미분가능성과 최대·최소, 14번 중 극대·극소로 미정계수 결정, 18번 중 함수의 최대·최소로 미정계수 결정(서술형).

5번은 극값의 정의를 다섯 보기에 대조하는 문항입니다. 18번은 닫힌구간에서 절댓값의 최댓값 조건을 만족하는 미지수가 두 가지로 나오는 서술형이라, 한 가지만 구하고 멈추지 않는 것이 중요합니다.

2. 정적분 (3·7·13·15·16번) — 5문항

3번 하 정적분의 계산, 7번 중상 정적분을 포함한 등식(위끝과 피적분함수에 변수), 13번 중 정적분을 포함한 등식(위끝에 변수), 15번 중상 도함수로 함수 구하기와 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 16번 중상 미분가능성과 정적분 등식.

7번은 아래끝을 대입해 원래 식이 0이 되는 조건을 먼저 쓰고, 두 번 미분해 함수를 구한 뒤 원래 식에 다시 넣어 확인하는 3단계 문항입니다. 피적분함수 안에도 x가 있으면 먼저 x를 적분 밖으로 꺼내는 정리가 필요합니다.

15번은 도함수로 원함수를 복원한 뒤, 구간마다 최댓값이 어떻게 바뀌는지 따라가며 정적분을 계산합니다.

3. 도함수의 활용 (3) (4·17·20·21번) — 4문항

4번 중 위로 던진 물체의 위치와 속도, 17번 상 극대·극소로 미정계수와 실근의 개수, 20번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(서술형), 21번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건(서술형).

17번은 이 시험의 유일한 상 문항입니다. 최솟값이 두 번 나타나는 사차함수에서 수평선과의 교점 개수가 바뀌는 지점을 찾고, 대칭축을 이용해 두 계수를 정한 뒤 함숫값을 구하는 4단계입니다.

20번은 삼차함수의 극댓값·극솟값에서 수평선이 서로 다른 두 실근을 만드는 경우가 두 가지라는 점을 놓치지 말아야 합니다. 21번은 부등식이 항상 성립하는 미지수의 범위를 구하는데, 등호가 포함되는 경계인지를 확인해야 합니다.

4. 정적분의 활용 (6·8·19·22번) — 4문항

6번 중상 곡선과 직선 사이의 넓이, 8번 중상 운동 방향과 움직인 거리, 19번 중상 교점의 개수와 넓이가 같을 조건(서술형), 22번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이(서술형).

6번은 절댓값이 붙은 이차함수 그래프와 수평선의 교점을 구하고 영역별로 적분하는 3단계 문항입니다. 8번은 두 점이 만나는 양의 시각을 구한 뒤 속도 부호별로 나눠 움직인 거리를 계산합니다.

22번은 배점 7점, 시험 전체에서 가장 큰 문항입니다. 두 곡선의 위아래를 판단하고, 축과의 교점을 모두 찾고, 부호에 따라 나눈 영역의 넓이를 모두 더합니다. 19번은 세 교점이 생기는 경계를 찾고 두 영역의 넓이가 같아지는 미지수를 구하는 서술형입니다.

5. 부정적분·도함수의 활용 (1) (1·2·9·10번) — 4문항

1번 하 부정적분의 계산, 2번 중 평균값 정리, 9번 중상 도함수 그래프로 함수 구하기와 교점의 개수, 10번 중상 접선이 곡선과 다시 만나는 점.

9번은 도함수 그래프에서 원래 함수를 복원한 뒤 직선과의 교점 개수가 바뀌는 정수 경계를 찾습니다. 10번은 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 접점을 찾고, 그 접선이 곡선과 다시 만나는 점까지의 거리를 구합니다.

주의 문항 — 상 1 · 중상 11 중 핵심

6~12번 연속 중상 구간 — 넓이, 정적분 등식, 운동, 교점 개수, 접선, 미분가능성이 번갈아 나옵니다. 한 문항에 오래 머물지 않는 것이 관건입니다.

16번 중상 (미분가능성 + 정적분 등식) — 근의 중복도까지 따져야 합니다.

17번 상 (사차함수와 실근의 개수) — 4단계. 대칭축 활용.

19번 중상 (넓이가 같을 조건, 서술형 6.2점) — 교점 경계와 넓이 적분.

22번 중상 (곡선 사이 넓이, 서술형 7점) — 시험 최고 배점.

두루고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. ★ 절댓값 함수의 미분가능성 — 11·12·16번 대비. 꺾이는 점의 조건.
2. 극대·극소의 정의와 미정계수 — 5·14·17번 대비.
3. 최대·최소와 미지수 두 값 — 18번 대비.
4. 평균값 정리와 접선 — 2·10번 대비.
5. 위로 던진 물체 — 4번 대비.
6. ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 17·20번 대비. 경우가 두 가지인지 확인.
7. 부등식이 항상 성립할 조건 — 21번 대비. 등호 경계.
8. 부정적분과 도함수로 함수 구하기 — 1·9·15번 대비.
9. ★ 정적분을 포함한 등식 — 7·13·16번 대비. 대입 → 미분 → 검산.
10. 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 15번 대비.
11. 속도와 움직인 거리 — 8번 대비.
12. ★ 넓이와 넓이가 같을 조건 — 6·19·22번 대비. 서술형 배점이 큽니다.

자주 나오는 질문

두루고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 1~17번은 선택형, 18~22번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (2)와 정적분이 각 5문항으로 가장 많습니다. 미분과 적분은 11문항씩 정확히 반반입니다.

어려운 문항이 몇 개인가요?

상 1문항(17번), 중상 11문항입니다. 특히 6~12번이 연속 중상입니다.

서술형 비중은 어느 정도인가요?

분석표 배점 기준 서술형 다섯 문항(18~22번)이 합계 30점입니다. 22번 한 문항이 7점입니다.

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