보람고(세종) 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

세종특별자치시 보람고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항, 100점 만점입니다. 출제 단원은 도함수의 활용 (2)·(3)과 부정적분·정적분·정적분의 활용입니다. 이 시험의 특징은 두 가지입니다. 미분 10문항, 적분 12문항으로 거의 반반이고, 속도·위치·움직인 거리를 다루는 운동 문항이 곳곳에 흩어져 있다는 점입니다.

핵심 요약

• 22문항 — 1~17번 선택형(75점), 18~22번 서답형(25점)
• 난이도: 하 2 / 중 12 / 중상 6 / 상 2
• 배치 단원: 09 정적분의 활용 6 / 05 도함수의 활용 (2) 5 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 08 정적분 4 / 07 부정적분 2
• 최다 반복 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 3회(6·9·16번)
• 최고 배점: 22번 6점(상), 21번 5.5점, 17번 5.4점

보람고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

보람고등학교는 세종특별자치시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항이고, 정답 기록을 보면 1~17번은 오지선다 선택형, 18~22번은 서답형입니다. 배점은 선택형 75점, 서답형 25점으로 합계가 정확히 100점입니다.

배치 단원으로 묶으면 미분 파트(05·06 도함수의 활용) 10문항, 적분 파트(07 부정적분·08 정적분·09 정적분의 활용) 12문항입니다. 단원 순서대로 배치되지 않았다는 점이 중요합니다. 1번이 부정적분, 2번이 정적분의 활용(위치), 4번이 최대·최소, 5번이 넓이로 미분과 적분이 번갈아 나옵니다. 문항마다 어느 단원 문제인지 바로 판단하는 연습이 필요합니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 12문항이 절반 이상

중 난이도가 12문항으로 절반을 넘습니다. 하 난이도는 5번(곡선과 x축 사이의 넓이)과 7번(함수의 극대·극소) 두 문항뿐입니다. 쉬운 문항으로 점수를 쌓기보다 중 난이도 12문항을 실수 없이 지키는 것이 기본 전략입니다.

중상·상 8문항 중 6문항이 17번 이후에 있습니다. 17번(상)부터 서답형 18~22번까지 이어지는 후반부가 이 시험의 승부처입니다. 서답형 다섯 문항 중 22번은 상, 나머지 네 문항은 모두 중상입니다.

출제 단원 — 정적분의 활용 6문항이 최다

정적분의 활용이 6문항으로 가장 많습니다. 그런데 6문항 중 넓이 문제는 5번과 22번 두 개뿐이고, 나머지 네 문항(2·11·14·15번)이 위치·속도·움직인 거리입니다. 보람고 기말에서 정적분의 활용은 사실상 운동 문제 단원이었다고 봐도 됩니다.

부정적분은 1·3번 두 문항으로 비중이 작고, 둘 다 중 난이도입니다. 앞자리 확보 구간입니다.

시그니처 유형 — 실근의 개수와 운동 문제

방정식 f(x)=k의 실근의 개수 (6·9·16번)

6·9·16번 세 문항이 같은 유형입니다. 곡선 y=f(x)와 수평선 y=k의 교점 개수로 실근을 세는 방식입니다. 6번은 삼차함수의 극값을 구해 수평선과 비교하는 기본형(중), 9번은 도함수의 그래프를 보고 원함수의 실근 개수를 판단하는 보기형(중상), 16번은 k에 따라 실근 개수가 바뀌는 지점을 찾는 문항(중)입니다.

세 문항 모두 극댓값과 극솟값의 위치가 출발점입니다. 극값을 빠르게 구하고 그래프 개형을 그리는 손이 빨라야 합니다.

속도·위치·움직인 거리 (2·11·14·15번, 19번)

운동 관련 유형이 여러 문항에 흩어져 있습니다.

• 2번 중 위치와 위치의 변화량
• 11번 중 두 점의 속도 그래프를 보고 운동 방향·움직인 거리 판단
• 14번 중상 속도·가속도와 운동 방향, 위치의 변화량
• 15번 중 움직인 거리
• 19번 중상(서답형) 방정식의 실근의 부호 — 분석표상 운동 방향이 바뀌는 시각이 두 번 양수로 존재할 조건을 다룹니다

핵심은 위치의 변화량은 속도의 정적분, 움직인 거리는 |속도|의 정적분이라는 구분입니다. 15번처럼 속도의 부호가 바뀌는 시각이 있으면 구간을 나눠 더해야 합니다. 이 구분이 흔들리면 2·11·14·15번을 한꺼번에 잃을 수 있습니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 부정적분 (1·3번) — 2문항, 둘 다 중

1번 부정적분의 계산, 3번 도함수가 주어질 때 함수 구하기.

3번은 도함수가 같은 두 함수는 상수만큼 차이 난다는 성질과 주어진 함숫값으로 적분상수를 정하는 문항입니다. 적분상수 C를 빠뜨리지 않는 습관이 전부입니다.

2. 도함수의 활용 (2) — 극대·극소와 최대·최소 (4·7·10·18·21번)

4번 중 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 7번 하 함수의 극대·극소, 10번 중 삼차함수가 실수 전체에서 증가 또는 감소할 조건, 18번 중상(서답형) 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 21번 중상(서답형) 함수의 극대·극소.

7번은 극값의 정의를 묻는 문항입니다. 도함수가 0이라고 해서 반드시 극값은 아니라는 반례를 알고 있어야 합니다.

10번은 판별식 문제입니다. 삼차함수가 실수 전체에서 감소하려면 도함수(이차식)가 항상 0 이하여야 하므로 판별식 D≤0과 최고차항의 부호를 함께 따집니다.

18번은 소문항 (1)·(2)로 나뉜 서답형입니다. 극소 조건으로 계수를 구하고, 그 계수로 극댓값까지 이어서 구하는 구조입니다. (1)을 틀리면 (2)까지 연쇄로 잃습니다.

21번은 사차함수와 절댓값이 결합된 극대 문항으로, 서답형 중 배점이 5.5점으로 높습니다.

3. 도함수의 활용 (3) — 방정식·부등식 (6·9·12·16·19번)

실근의 개수 3문항(6·9·16번)에 더해 12번 중 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건, 19번 중상(서답형) 방정식 f(x)=k의 실근의 부호.

12번은 두 함수의 차 h(x)=f(x)−g(x)의 최솟값이 0보다 커야 한다는 한 줄로 풀립니다. 차를 만든 뒤 미분해 최솟값을 구하는 순서를 기억하세요.

19번은 판별식과 두 근의 합·곱을 함께 쓰는 문항입니다. 범위의 끝을 포함하는지(등호 여부)를 정확히 써야 서답형에서 감점이 없습니다.

4. 정적분 (8·13·17·20번)

8번 중 정적분의 계산(피적분함수가 같은 경우), 13번 중 우함수·기함수의 정적분, 17번 상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 20번 중상(서답형) 우함수·기함수의 정적분.

13번과 20번이 같은 유형(피적분함수가 주어지지 않은 우함수·기함수의 정적분) 입니다. 함수식 없이 대칭성과 주어진 정적분 값만으로 답을 구합니다. 기함수는 대칭 구간에서 0, 우함수는 절반의 두 배라는 성질이 두 문항의 열쇠입니다.

17번이 선택형 유일의 상 난이도입니다. 정적분으로 정의된 함수를 미분하고, 극값이 하나뿐이라는 조건에서 중근 조건을 끌어내야 합니다. 분석표 기준 풀이 단계가 4단계로 가장 깁니다.

5. 정적분의 활용 — 넓이 (5·22번)

5번 하 곡선과 x축 사이의 넓이, 22번 상(서답형) 함수와 부정적분 사이의 관계식으로 함수 구하기 + 두 곡선 사이의 넓이.

5번은 하 난이도로 반드시 맞혀야 할 문항입니다. 곡선이 x축 아래에 있을 때 넓이는 정적분에 마이너스를 붙인다는 것만 확인하면 됩니다.

22번은 이 시험의 최고 배점(6점) 문항입니다. 관계식에서 함수를 복원하고, 대칭인 두 곡선 사이의 넓이를 구한 뒤, 세 계수를 모두 결정해야 합니다. 분석표 기준 4단계입니다.

주의 문항 — 상 2문항과 서답형

17번 상 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 5.4점) — 선택형 마지막 문항입니다. 극값이 하나뿐이라는 조건 해석이 관건입니다.

22번 상 (부정적분 관계식 + 두 곡선 사이의 넓이, 6점) — 시험 마지막 문항이자 최고 배점입니다.

9번 중상 (도함수 그래프의 해석) — 도함수 그래프만 보고 보기를 판정하는 문항이라 시간이 걸립니다.

14번 중상 (속도·가속도와 운동 방향) — 두 점이 처음 만나는 양의 시각을 구하고, 그 시각의 위치·가속도까지 계산해야 합니다.

18·19·20·21번 서답형 중상 — 네 문항이 모두 중상이고 배점이 4~5.5점입니다. 서답형 25점 중 대부분이 이 구간에 있습니다.

보람고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 부정적분 계산과 적분상수 결정 — 1·3번 대비. 확보 구간.
2. 극대·극소의 정의와 판정 — 7번 대비. 도함수 부호 변화로 판단.
3. 삼차함수가 증가·감소할 조건 — 10번 대비. 판별식.
4. 극값·최댓값으로 미정계수 구하기 — 4·18번 대비.
5. ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 6·9·16번. 이 시험 최다 반복 유형.
6. 부등식이 항상 성립할 조건 — 12번 대비. 차의 최솟값.
7. 실근의 부호와 판별식·근과 계수 — 19번 대비.
8. 정적분 계산과 구간 합치기 — 8번 대비.
9. ★ 우함수·기함수의 정적분 — 13·20번 대비. 함수식 없이 대칭으로 풀기.
10. 정적분으로 정의된 함수의 미분과 극값 — 17번 대비.
11. 곡선과 x축 사이의 넓이 — 5번 대비. 확보 구간.
12. ★ 위치·위치의 변화량·움직인 거리 — 2·11·14·15번 대비. 절댓값 구분.
13. 두 곡선 사이의 넓이와 대칭 — 22번 대비.

자주 나오는 질문

보람고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 1~17번 선택형(75점), 18~22번 서답형(25점)입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분의 활용 6문항이 가장 많습니다. 이어서 도함수의 활용 (2)와 (3)이 각 5문항, 정적분 4문항, 부정적분 2문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 17번과 22번 두 문항입니다. 17번은 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 22번은 부정적분 관계식과 두 곡선 사이의 넓이를 결합한 서답형입니다.

운동(속도·위치) 문제는 몇 문항인가요?

정적분의 활용 단원에서 2·11·14·15번 네 문항이 위치·속도·움직인 거리를 다룹니다. 위치의 변화량과 움직인 거리를 구분하는 것이 핵심입니다.

서답형은 어떻게 나왔나요?

18~22번 다섯 문항이고, 22번이 상, 나머지 네 문항이 중상입니다. 18번은 소문항 (1)·(2)로 나뉘어 있습니다.

과년도 보람고 기출도 볼 수 있나요?

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