아름고(세종) 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
세종특별자치시 아름고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항, 100점 만점입니다. 출제 단원은 도함수의 활용과 정적분·정적분의 활용입니다. 이 시험의 성격은 두 줄로 정리됩니다. 상 난이도가 6문항(30%)으로 많고, 정적분의 활용 8문항이 전부 넓이 문제입니다. 속도·위치 같은 운동 문항은 한 문항도 없습니다.
핵심 요약
- 20문항 — 1~16번 선택형(80점), 17~20번 서답형(20점)
- 난이도: 하 0 / 중 7 / 중상 7 / 상 6
- 배치 단원: 09 정적분의 활용 8 / 05 도함수의 활용 (2) 5 / 08 정적분 4 / 03·04·06 각 1
- 시그니처: 넓이 문항 8개(정적분의 활용 전부), 운동 문항 0개
- 최고 배점: 20번 6점(서답형), 선택형은 16번 5.9점
아름고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
아름고등학교는 세종특별자치시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항입니다. 정답 기록을 보면 1~16번은 오지선다 선택형, 17~20번은 서답형입니다. 배점은 선택형 80점, 서답형 20점으로 합계 100점입니다.
선택형 배점은 1번 4.0점에서 16번 5.9점까지 번호가 올라갈수록 커지는 구조입니다. 뒤로 갈수록 어렵고 배점도 높다는 뜻입니다. 실제로 선택형 상 5문항(11·12·13·15·16번)은 모두 11번 이후에 있습니다.
배치 단원으로 묶으면 적분 쪽(08·09) 12문항, 미분 쪽(03·04·05·06) 8문항입니다. 미분 쪽에는 03 미분계수와 도함수(10번), 04 도함수의 활용 (1)(2번) 같은 앞 단원 문항도 한 문항씩 들어 있습니다.
2025학년 난이도 분포 — 상 6문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 0 | 0% | — |
| 중 | 7 | 35% | 1·2·3·4·5·7·17 |
| 중상 | 7 | 35% | 6·8·9·10·14·18·20 |
| 상 | 6 | 30% | 11·12·13·15·16·19 |
1~5번은 모두 중 난이도입니다. 6번에서 첫 중상이 나오고, 7번(중)을 지나면 8번부터 16번까지 아홉 문항이 전부 중상 이상입니다. 그중 11·12·13·15·16번 다섯 문항이 상입니다.
20문항 중 상이 6문항이면 시험 전체의 30%입니다. 앞의 중 난이도 6문항(1~5번, 7번)을 빠르게 끝내는 것이 후반 상 문항에 시간을 확보하는 유일한 방법입니다.
출제 단원 — 정적분의 활용 8문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 09 정적분의 활용 | 8 | 3·7·9·11·14·15·16·20 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 5 | 6·8·13·17·18 |
| 08 정적분 | 4 | 1·4·12·19 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 1 | 2 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 1 | 5 |
| 03 미분계수와 도함수 | 1 | 10 |
정적분의 활용이 8문항으로 전체의 40% 입니다. 그리고 이 8문항이 모두 넓이를 다룹니다. 곡선과 x축 사이(3·9번), 역함수 대칭(7번), 두 도형의 넓이가 같을 조건(11번), 곡선과 직선 사이(14번), 두 곡선 사이(15·16·20번)입니다.
반면 06 도함수의 활용 (3)은 5번 한 문항뿐입니다. 방정식·부등식 단원 비중이 작은 대신 극대·극소와 최대·최소(05 단원) 5문항이 미분 쪽 중심입니다.
시그니처 유형 — 넓이, 넓이, 넓이
아름고 기말의 후반부는 넓이 문제의 연속입니다.
- 14번 중상 극대·극소로 계수 결정 + 곡선과 직선 사이의 넓이
- 15번 상 정적분을 포함한 등식 + 두 곡선 사이의 넓이
- 16번 상 두 그래프의 교점의 개수 + 두 곡선 사이의 넓이
- 20번 중상(서답형, 6점) 두 곡선 사이의 넓이
14·15·16번이 연속으로 넓이 문항이고, 셋 다 넓이를 구하기 전에 함수부터 결정해야 하는 결합형입니다. 14번은 극값 조건으로, 15번은 정적분 등식으로, 16번은 교점 개수 조건으로 함수를 먼저 확정합니다. 함수를 잘못 확정하면 넓이 계산은 전부 무의미해지므로 앞 단계 검산이 특히 중요합니다.
11번(상)은 두 도형의 넓이가 같을 조건입니다. 두 넓이가 같다는 것은 부호를 포함한 정적분 값이 0이라는 식으로 바꿔 쓰는 것이 정석입니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 정적분 (1·4·12·19번)
1번 중 우함수·기함수의 정적분(피적분함수가 주어진 경우), 4번 중 정적분으로 정의된 함수의 극한, 12번 상 함수의 최대·최소 + 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분, 19번 상(서답형) 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소.
1번은 대칭 구간에서 홀수 차수 항을 지우고 짝수 차수 항만 두 배로 계산하는 문항입니다. 시험 첫 문항이니 빠르게 처리하세요.
12번은 움직이는 구간에서의 최댓값·최솟값과 구간별 정적분이 결합된 문항입니다. 분석표 기준 4단계로 선택형 중 손이 많이 갑니다.
19번은 서답형 유일의 상입니다. 정적분으로 정의된 함수를 미분해 임계점을 찾고, 최솟값을 정적분으로 평가합니다.
2. 정적분의 활용 — 기본 넓이 (3·7·9번)
3번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 7번 중 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이, 9번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이(그래프 꼴).
7번 역함수 넓이는 y=x 대칭으로 원래 함수 쪽 넓이로 바꿔 계산합니다. 9번은 세 근 사이에서 정적분의 부호를 따져 넓이의 합과 비를 연립하는 문항입니다.
3. 도함수의 활용 (2) — 극대·극소와 최대·최소 (6·8·13·17·18번)
6번 중상 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 8번 중상 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 13번 상 미분가능성과 연속성 + 극대·극소를 이용한 미정계수, 17번 중(서답형) 삼차함수가 실수 전체에서 증가 또는 감소하기 위한 조건, 18번 중상(서답형) 최대·최소의 활용(넓이).
13번은 절댓값과 미분가능성이 결합된 상 문항입니다. 분석표 기준 절댓값 함수가 단순근에서 꺾이지 않을 조건, 극대 조건, 중근 조건을 차례로 써야 하는 4단계입니다.
17번 서답형은 중 난이도로 판별식 하나로 풀립니다. 서답형 중 먼저 확보해야 할 문항입니다.
18번은 도형의 넓이를 함수로 세워 최댓값·최솟값을 구하는 활용 문항입니다. 넓이를 변수 하나의 함수로 쓰는 것이 첫 단계입니다.
4. 앞 단원 개념 (2·5·10번)
2번 중 평균값 정리(04 도함수의 활용 (1)), 5번 중 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건(06 도함수의 활용 (3)), 10번 중상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성(03 미분계수와 도함수).
10번은 경계에서 연속 조건과 좌우 미분계수 일치 조건을 동시에 세우는 문항입니다. 13번에서도 미분가능성 개념이 다시 쓰이니 앞 단원이라도 반드시 복습하세요.
주의 문항 — 상 6문항
11번 상 (두 도형의 넓이가 같을 조건) — 정적분 값이 0이 되는 조건으로 바꿔 씁니다.
12번 상 (움직이는 구간의 최대·최소 + 구간별 정적분) — 4단계 문항입니다.
13번 상 (절댓값 + 미분가능성 + 극대) — 조건이 세 겹입니다.
15번 상 (정적분 등식 + 두 곡선 사이의 넓이) — 피적분함수에 변수가 있는 등식에서 함수를 먼저 확정합니다.
16번 상 (교점 개수 + 두 곡선 사이의 넓이, 5.9점) — 선택형 최고 배점입니다.
19번 상 (정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 서답형) — 서답형 유일의 상입니다.
아름고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 우함수·기함수 정적분, 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 1·4번 대비. 확보 구간.
- 평균값 정리 — 2번 대비.
- 곡선과 x축 사이의 넓이 — 3번 대비.
- 부등식이 항상 성립할 조건 — 5번 대비.
- 역함수 대칭 넓이 — 7번 대비.
- 극대·극소, 최대·최소로 미정계수 결정 — 6·8번 대비.
- 삼차함수가 증가·감소할 조건 — 17번 대비. 서답형 확보.
- 미분가능성과 연속성 복습 — 10·13번 대비.
- 넓이의 부호와 비 — 9·11번 대비.
- 도형 넓이를 함수로 세워 최대·최소 — 18번 대비.
- 움직이는 구간의 최대·최소, 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 12·19번 대비.
- ★ 두 곡선 사이의 넓이 결합형 — 14·15·16·20번. 함수 확정 → 넓이 계산 두 단계로 연습.
자주 나오는 질문
아름고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 20문항입니다. 1~16번 선택형(80점), 17~20번 서답형(20점)입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 정적분의 활용 8문항이 가장 많고, 8문항 모두 넓이 문제입니다. 이어서 도함수의 활용 (2) 5문항, 정적분 4문항입니다.
운동(속도·위치) 문제는 나왔나요?
나오지 않았습니다. 정적분의 활용 8문항이 전부 넓이 문제입니다.
킬러 문항이 몇 개인가요?
상 난이도가 11·12·13·15·16·19번 6문항입니다. 선택형 5문항, 서답형 1문항(19번)입니다.
서답형은 어떻게 나왔나요?
17~20번 네 문항입니다. 17번 중(4점), 18번 중상(5점), 19번 상(5점), 20번 중상(6점) 입니다.
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