능인고 2학년 2학기 기말고사 미적분 기출 분석 (2025 기출, 대구 수성구)
능인고 2학년 2학기 기말 미적분은 2025학년 기준 총 20문항입니다. 선택형 15문항, 서답형 5문항입니다. 하 난이도와 상 난이도가 한 문항도 없고 중 14문항, 중상 6문항으로만 이루어진 시험입니다. 그리고 이 시험에서 가장 자주 나온 주제는 방정식의 실근의 개수(4회) 입니다.
핵심 요약
- 20문항 — 1~15번 선택형, 16~20번 서답형(5문항)
- 난이도: 하 0 / 중 14 / 중상 6 / 상 0
- 배치 단원: 도함수의 활용 (2) 8 / 정적분의 활용 6 / 치환적분법과 부분적분법 3 / 여러 가지 함수의 적분법 2 / 도함수의 활용 (1) 1
- 최다 반복 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 4회(2·14·19·20번)
- 서답형 5문항 중 3문항(16·19·20번)이 중상
능인고 미적분 2학기 기말은 어떤 시험인가
능인고등학교는 대구광역시 수성구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 미적분은 총 20문항입니다.
배치 단원으로 묶으면 미분 파트(도함수의 활용) 9문항, 적분 파트(여러 가지 함수의 적분법·치환적분법과 부분적분법·정적분의 활용) 11문항입니다. 개수는 적분이 조금 많지만, 중상 6문항 중 4문항(14·16·19·20번)이 도함수의 활용 (2) 에서 나왔습니다. 점수를 가르는 곳은 미분 쪽입니다.
1번부터 단원 순서가 섞여 있습니다. 1·2번 도함수의 활용 (2), 3번 접선, 4번 부분적분, 5번 넓이로 이어지니 앞 다섯 문항에서 이미 미분과 적분을 오갑니다.
2025학년 난이도 분포 — 중 14문항, 중상 6문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 0 | 0% | — |
| 중 | 14 | 70% | 1~11·13·17·18 |
| 중상 | 6 | 30% | 12·14·15·16·19·20 |
| 상 | 0 | 0% | — |
1번부터 11번까지 열한 문항이 연속으로 중입니다. 손 못 댈 문항은 없지만, 그만큼 중 난이도 실수 하나가 그대로 등급 차이가 됩니다.
중상은 12번에서 시작해 14·15번, 그리고 서답형 16·19·20번입니다. 선택형 후반 4문항 중 3문항, 서답형 5문항 중 3문항이 중상이라 뒤로 갈수록 시간이 더 필요합니다.
출제 단원 — 도함수의 활용 (2)가 8문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 도함수의 활용 (2) | 8 | 1·2·6·7·14·16·19·20 |
| 정적분의 활용 | 6 | 5·9·10·11·13·18 |
| 치환적분법과 부분적분법 | 3 | 4·8·12 |
| 여러 가지 함수의 적분법 | 2 | 15·17 |
| 도함수의 활용 (1) | 1 | 3 |
도함수의 활용 (2) 한 단원이 40% 를 차지합니다. 변곡점, 오목·볼록, 실근의 개수, 평면 운동이 모두 여기에 들어 있습니다.
반면 정적분의 활용 6문항 중 5문항이 중입니다. 넓이·부피·급수의 합·곡선의 길이까지 소재는 다양하지만 난도는 높지 않습니다. 이 구간은 확실히 챙겨야 합니다.
시그니처 유형 — "방정식 f(x)=k의 실근의 개수" 4회
2·14·19·20번 네 문항이 방정식 f(x)=k의 실근의 개수입니다. 2번은 중, 나머지 세 문항은 중상입니다. 여기에 7번 방정식 f(x)=g(x)의 실근의 개수까지 더하면 실근 개수 계열이 다섯 문항입니다.
풀이의 뼈대는 같습니다. 함수의 증가·감소와 극값을 구해 그래프 개형을 그리고, 직선 y=k와의 교점을 센다. 분석표의 난이도 근거를 보면 14번은 절댓값이 씌워진 그래프의 교점 수, 19번은 지수함수의 극대와 교점 수가 끊기는 조건, 20번은 정적분을 다른 변수의 함수로 바꾼 뒤 교점을 세는 구조입니다. 개형 그리기가 느리면 이 다섯 문항에서 시간이 다 빠집니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 도함수의 활용 (1)·(2) (1·2·3·6·7·14·16·19·20번) — 9문항
1번 중 변곡점을 이용한 미정계수의 결정, 2번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 3번 중 접선의 방정식(곡선 밖의 한 점), 6번 중 곡선의 오목과 볼록, 7번 중 방정식 f(x)=g(x)의 실근의 개수, 14번 중상 실근의 개수, 16번(서답형) 중상 평면 위를 움직이는 점의 가속도, 19·20번(서답형) 중상 실근의 개수.
1번과 6번은 이계도함수가 열쇠입니다. 변곡점은 f″(x)의 부호가 바뀌는 점, 아래로 볼록은 f″(x)>0인 구간입니다. 6번은 분석표상 경계값의 등호 포함 여부까지 따져야 하는 문항입니다.
16번은 좌표를 두 번 미분해 가속도를 구하고, 조건을 이용해 속력까지 계산하는 서답형입니다. 속도·가속도·속력 세 값을 혼동하지 않아야 합니다.
2. 치환적분법과 부분적분법 (4·8·12번) — 3문항
4번 중 부분적분법을 두 번 이용하는 정적분, 8번 중 부분적분법을 한 번 이용하는 정적분, 12번 중상 치환적분법(유리함수·무리함수).
4번은 부분적분을 두 번 해야 하는 문항입니다. 어느 쪽을 미분할지 첫 선택만 맞으면 기계적으로 끝납니다. 12번은 근호를 치환한 뒤 유리함수 적분으로 바꾸는 3단계 문항이라 이 단원의 고비입니다.
3. 여러 가지 함수의 적분법 (15·17번) — 2문항
15번 중상 우함수·기함수의 정적분, 17번(서답형) 중 지수함수의 정적분.
15번은 대칭 구간에서 기함수 부분이 0으로 사라진다는 성질을 쓰는 문항입니다. 분석표 근거에 따르면 초깃값으로 적분상수를 정하고 삼각치환까지 이어지는 3단계 풀이입니다. 17번은 지수함수 정적분으로 두 미정계수를 구하는 서답형입니다.
4. 정적분의 활용 (5·9·10·11·13·18번) — 6문항, 모두 중
5번 곡선과 y축 사이의 넓이, 9번 정적분과 급수의 합 사이의 관계(합의 꼴), 10번 함수와 그 역함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이, 11번 입체도형의 부피(단면이 밑면과 수직), 13번 정적분과 급수의 합의 활용, 18번(서답형) 곡선의 길이.
10번은 함수와 역함수가 y=x에 대해 대칭이라는 점을 이용합니다. 두 그래프 사이 넓이를 직접 구하지 말고 y=x와 한쪽 그래프 사이 넓이를 이용하는 것이 표준입니다.
9번과 13번은 급수를 정적분으로 바꾸는 문항입니다. 13번은 부분적분으로 수열의 일반항을 만든 뒤 급수의 극한을 구하는 구조입니다. 18번 곡선의 길이는 근호 안이 완전제곱식으로 정리되는지 확인하는 것이 첫 단계입니다.
주의 문항 — 중상 6문항
12번 중상 (치환적분; 무리함수) — 근호 치환과 적분 구간 변환을 함께 처리합니다.
14번 중상 (실근의 개수) — 절댓값 그래프에서 교점 수를 세야 합니다.
15번 중상 (우함수·기함수의 정적분) — 대칭 성질, 적분상수, 삼각치환이 한 문항에 들어 있습니다.
16번 중상 (평면 운동의 가속도, 서답형) — 속도·가속도·속력을 모두 다룹니다.
19번 중상 (실근의 개수, 서답형) — 교점 수가 바뀌는 조건을 찾아야 합니다.
20번 중상 (실근의 개수, 서답형) — 정적분으로 정의된 식을 새 변수의 함수로 바꿔 교점을 셉니다.
능인고 미적분 2학기 기말 대비 학습 순서
- 접선의 방정식 — 3번 대비. 곡선 밖의 한 점에서 긋는 접선.
- 이계도함수와 변곡점·오목볼록 — 1·6번 대비.
- ★ 함수 그래프 개형 그리기 — 2·7·14·19·20번의 공통 토대.
- 평면 위를 움직이는 점의 속도·가속도 — 16번 대비.
- 우함수·기함수의 정적분과 지수함수 적분 — 15·17번 대비.
- 치환적분과 부분적분 — 4·8·12번 대비.
- 넓이(y축·역함수)와 부피 — 5·10·11번 대비. 확보 구간.
- 정적분과 급수의 합 — 9·13번 대비.
- 곡선의 길이 — 18번 대비.
자주 나오는 질문
능인고 2학년 2학기 기말 미적분은 몇 문항인가요?
2025학년 기준 20문항입니다. 1~15번 선택형, 16~20번 서답형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 도함수의 활용 (2)가 8문항으로 가장 많습니다. 이어서 정적분의 활용 6문항입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 없습니다. 실질적인 최고 난도는 중상 6문항(12·14·15·16·19·20번)이고, 그중 네 문항이 도함수의 활용 (2)입니다.
서답형은 어렵나요?
5문항 중 16·19·20번이 중상, 17·18번이 중입니다. 서답형 셋이 중상이라 선택형을 빨리 끝내고 시간을 남겨야 합니다.
과년도 능인고 기출도 볼 수 있나요?
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