덕원고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025 기출, 대구 수성구)

덕원고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 19문항입니다. 선택형 10문항, 서답형 9문항입니다. 정적분 단원이 8문항으로 가장 많고, 난이도는 중상 12문항, 상 1문항으로 높은 편입니다.

핵심 요약

• 19문항 — 1~10번 선택형, 11~19번 서답형(9문항)
• 난이도: 하 1 / 중 5 / 중상 12 / 상 1
• 배치 단원: 정적분 8 / 도함수의 활용 5 / 부정적분 3 / 정적분의 활용 3
• 최다 반복 유형: 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분 3회(3·8·12번)
• 유일한 상 난이도: 18번(두 그래프의 교점의 개수, 서답형)

덕원고 수학Ⅱ 2학기 기말은 어떤 시험인가

덕원고등학교는 대구광역시 수성구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 19문항입니다.

배치 단원은 네 개입니다. 정적분 8문항(42%), 도함수의 활용 5문항, 부정적분 3문항, 정적분의 활용 3문항입니다. 적분 세 단원이 14문항이고, 도함수의 활용은 5문항입니다.

서답형이 9문항으로 거의 절반입니다. 그중 11번(중)을 빼면 여덟 문항이 중상 이상이고, 18번은 이 시험 유일의 상 난이도입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 12문항, 상 1문항

1~5번은 하·중으로 무난하게 시작합니다. 부정적분과 정적분의 기본 계산 문항입니다. 그런데 6번부터 10번까지 선택형 다섯 문항이 연속으로 중상입니다.

서답형은 11번만 중이고 12~19번이 모두 중상 이상입니다. 앞 다섯 문항에서 시간을 최대한 남겨야 하는 구조입니다.

출제 단원 — 정적분 8문항

정적분 8문항에 절댓값 함수의 정적분, 정적분으로 정의된 함수의 극한·극대극소, 정적분을 포함한 등식이 모두 들어 있습니다. 이 단원의 비중이 큰 만큼 정적분으로 정의된 함수를 미분하는 기본기가 탄탄해야 합니다.

도함수의 활용 5문항은 실근·교점의 개수가 중심입니다. 6번 실근의 부호, 11·13번 실근의 개수, 18번 두 그래프의 교점의 개수로 네 문항이 같은 계열입니다.

시그니처 유형 — 절댓값 함수의 정적분 3회

3·8·12번 세 문항이 "정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수" 입니다. 3번은 중, 8번과 12번은 중상입니다.

풀이의 뼈대는 같습니다. 절댓값 안의 식이 0이 되는 점에서 적분 구간을 나누고, 구간마다 부호를 정해 절댓값을 벗긴다. 8번은 함수의 증감부터 확인해 부호를 정해야 하고, 12번은 극솟값 조건으로 계수를 먼저 구한 뒤 구간을 나눠 적분하는 3단계 서답형입니다.

두 번 나온 유형도 있습니다.

• 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 11·13번(서답형)

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 부정적분 (1·2·17번) — 3문항

1번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 2번 중 부정적분과 미분의 관계, 17번(서답형) 중상 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기.

17번은 관계식의 양변을 미분해 f(x)를 다항식으로 결정하고, 주어진 함숫값으로 상수를 정하는 문항입니다. 항등식을 미분하는 단계를 풀이에 분명히 남겨야 합니다.

2. 정적분 (3·4·5·8·9·10·12·15번) — 8문항

3번 중 절댓값 함수의 정적분, 4번 하 적분 구간이 같은 정적분, 5번 중 정적분으로 정의된 함수의 극한, 8번 중상 절댓값 함수의 정적분, 9번 중상 정적분을 포함한 등식(위끝과 피적분함수에 변수), 10번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 12번(서답형) 중상 절댓값 함수의 정적분, 15번(서답형) 중상 정적분을 포함한 등식(끝에 변수).

9번은 피적분함수 안에도 x가 있는 형태입니다. x를 적분 기호 밖으로 꺼낸 뒤 미분해야 하니 곱의 미분까지 필요합니다. 10번은 정적분으로 정의된 함수를 미분해 극값 조건을 따지는데, 중복근인 지점은 극값이 아니라는 점에 주의해야 합니다.

15번은 양변을 미분해 f(x)를 구하고, 아래끝을 대입해 0이 되는 조건으로 미지수를 정하는 서답형입니다.

3. 도함수의 활용 (6·11·13·14·18번) — 5문항

6번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 부호, 11번(서답형) 중 실근의 개수, 13번(서답형) 중상 실근의 개수, 14번(서답형) 중상 가속도, 18번(서답형) 상 두 그래프의 교점의 개수.

11번은 삼차함수의 극값을 구해 세 실근을 갖는 k의 범위를 구하는 기본 문항입니다. 13번은 절댓값이 씌워진 그래프에서 교점의 개수를 셉니다.

18번은 이 시험 유일의 상 난이도입니다. 두 함수의 차를 새 함수로 놓고, 극값을 구해 그래프를 그린 뒤 교점의 개수가 조건을 만족하는 범위를 찾는 4단계 풀이입니다. 범위의 양 끝이 접하는 경우라 등호 포함 여부까지 정확히 써야 합니다.

14번은 속도와 가속도를 구하는 서답형입니다. 위치를 한 번 미분하면 속도, 두 번 미분하면 가속도입니다.

4. 정적분의 활용 (7·16·19번) — 3문항, 모두 중상

7번 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 16번(서답형) 위치와 위치의 변화량, 19번(서답형) 두 도형의 넓이가 같을 조건.

19번은 두 넓이가 같다는 조건을 정적분 값이 0인 조건으로 바꾸는 대표 유형입니다. 그런 다음 조건을 만족하는 근을 골라야 합니다. 16번은 속도를 적분해 위치를 구하고, 위치 조건을 처음 만족하는 시각을 찾는 문항입니다.

주의 문항 — 상 1, 중상 12문항

6~10번 중상 (선택형) — 실근의 부호, 곡선과 접선 사이 넓이, 절댓값 정적분, 정적분 등식, 정적분 함수의 극대·극소가 연속으로 나옵니다.

12·15번 중상 (정적분, 서답형) — 계수 결정 후 구간을 나누거나, 미분 후 아래끝 조건을 씁니다.

13·14번 중상 (도함수의 활용, 서답형) — 절댓값 그래프 교점, 속도와 가속도입니다.

16·17·19번 중상 (서답형) — 위치, 부정적분 관계식, 넓이가 같을 조건입니다.

18번 상 (두 그래프의 교점의 개수, 서답형) — 이 시험 최고 난도입니다.

덕원고 수학Ⅱ 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 부정적분 기본과 도함수로 함수 구하기 — 1·2번 대비. 확보 구간.
2. 정적분 기본 계산 — 4번 대비. 확보 구간.
3. ★ 절댓값 함수의 정적분 — 3·8·12번 대비. 구간 나누기.
4. 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 5번 대비.
5. ★ 정적분을 포함한 등식 — 9·15·17번 대비. 양변 미분.
6. 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 10번 대비.
7. 삼차함수 개형과 실근의 개수·부호 — 6·11·13번 대비.
8. ★ 두 그래프의 교점의 개수 — 18번 대비. 차함수로 바꾸기.
9. 속도·가속도와 위치 — 14·16번 대비.
10. 곡선과 접선 사이 넓이, 넓이가 같을 조건 — 7·19번 대비.

자주 나오는 질문

덕원고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 19문항입니다. 1~10번 선택형, 11~19번 서답형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분 8문항이 가장 많습니다. 이어서 도함수의 활용 5문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 18번 한 문항입니다. 두 그래프의 교점의 개수를 묻는 서답형입니다. 이 밖에 중상이 12문항입니다.

서답형은 어렵나요?

서답형 9문항 중 11번만 중이고, 나머지 여덟 문항이 중상 이상입니다.

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