경북여고 2학년 2학기 기말고사 미적분 기출 분석 (2025학년)

대구광역시 중구 경북여고 2학년 2학기 기말고사 미적분은 2025학년 기준 총 19문항입니다. 앞쪽은 미분법(여러 가지 미분법·도함수의 활용), 뒤쪽 무게중심은 적분법입니다. 이 시험의 가장 큰 특징은 정적분의 활용 한 단원에서만 7문항이 나왔고, 서답형 네 문항(16~19번) 중 세 문항이 이 단원이라는 점입니다.

핵심 요약

• 19문항 — 1~15번 선택형, 16~19번 서답형
• 난이도: 하 2 / 중 10 / 중상 7 / 상 0
• 배치 단원: 10 정적분의 활용 7 / 09 치환적분법과 부분적분법 3 / 05 여러 가지 미분법 3 / 07 도함수의 활용 (2) 3 / 08 여러 가지 함수의 적분법 2 / 06 도함수의 활용 (1) 1
• 반복 유형: 정적분과 급수의 합(10·19번), 시각에 대한 넓이·부피의 변화율(6·12번)
• 서답형 4문항 중 3문항이 중상

경북여고 고2 2학기 기말 미적분은 어떤 시험인가

경북여자고등학교는 대구광역시 중구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 미적분은 선택형 15문항 + 서답형 4문항, 총 19문항입니다.

대단원으로 나누면 미분법 7문항(3·4·7·11·13·14·15번), 적분법 12문항(1·2·5·6·8·9·10·12·16·17·18·19번) 입니다. 2학기 기말답게 적분 쪽이 훨씬 무겁습니다.

배치 순서도 눈여겨볼 만합니다. 1번이 곡선과 x축 사이의 넓이, 2번이 부분적분으로 시험이 적분으로 시작합니다. 그 뒤로 미분과 적분이 섞여 나오다가 16~19번 서답형은 전부 적분법입니다. 단원 순서대로 공부한 학생이라도 문항마다 미분인지 적분인지 먼저 판단하고 들어가는 연습이 필요합니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 0문항, 중상 7문항

상 난이도 문항은 없습니다. 대신 중상 7문항이 8번 이후에 퍼져 있고, 특히 17·18·19번 서답형 세 문항이 연달아 중상입니다. 선택형에서 시간을 아껴야 마지막 서답형 세 문항을 끝까지 쓸 수 있습니다.

하 난이도는 4번(매개변수로 나타낸 함수의 미분법)과 5번(y=xⁿ의 부정적분) 두 문항뿐입니다. 공식만 알면 바로 풀리는 문항이니 반드시 확보해야 합니다.

출제 단원 — 정적분의 활용 7문항

정적분의 활용이 19문항 중 7문항(37%) 입니다. 넓이, 변화율, 급수의 합, 입체의 부피, 곡선의 길이까지 이 단원의 대표 주제가 거의 다 나왔습니다. 이 단원을 비워두고는 이 시험을 치를 수 없습니다.

반면 도함수의 활용 (1)은 11번 한 문항뿐입니다. 접선 단원은 비중이 작지만 그 한 문항이 중상이라는 점은 기억해 두세요.

시그니처 유형 — 정적분과 급수의 합, 그리고 변화율

이 시험에서 두 번씩 나온 유형은 두 가지입니다.

정적분과 급수의 합이 10번(선택형, 중상) 과 19번(서답형, 중상) 에 나왔습니다. 10번은 합의 꼴을 정적분으로 바꾸는 관계 자체를 묻고, 19번은 단위원 위의 점 좌표로 일반항을 세운 뒤 급수의 합을 정적분으로 바꾸는 활용 문항입니다. Σ 기호를 보면 (1/n)과 k/n을 찾아 적분 구간과 피적분함수로 옮기는 과정을 손에 익혀야 두 문항이 한 번에 열립니다.

시각에 대한 넓이·부피의 변화율은 6번과 12번에 나왔습니다. 6번은 평균비용의 변화율, 12번은 사다리 양 끝이 움직일 때 넓이의 변화율을 다룹니다. 두 문항 모두 "시각 t에 대한 함수로 놓고 미분한다" 는 한 가지 원리로 풀립니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분의 활용 (1·6·10·12·16·18·19번) — 7문항

1번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 6번 중 시각에 대한 변화율, 10번 중상 정적분과 급수의 합(합의 꼴), 12번 중 시각에 대한 변화율, 16번 중(서답형) 입체도형의 부피(단면이 밑면과 수직), 18번 중상(서답형) 곡선 x=f(t), y=g(t)의 길이, 19번 중상(서답형) 정적분과 급수의 합의 활용.

1번은 절댓값이 들어간 넓이라 부호가 바뀌는 지점에서 구간을 나눠야 합니다. 16번은 구의 부피를 단면 적분으로 유도하는 문항입니다. 단면이 원이고 그 반지름을 x로 나타내는 과정을 써야 합니다.

18번은 사이클로이드 형태의 매개변수 곡선입니다. 소문항 (1)에서 곡선의 식을, (2)에서 길이를 구합니다. 곡선의 길이 공식에 넣을 때 근호 안을 삼각함수 공식으로 정리하는 과정이 핵심입니다.

2. 치환적분법과 부분적분법 (2·9·17번) — 3문항

2번 중 부분적분법을 이용한 정적분(한 번 이용), 9번 중 정적분을 포함한 등식(아래끝·위끝이 상수), 17번 중상(서답형) 치환적분법(삼각함수).

9번은 정적분 값을 상수로 놓고 연립하는 유형입니다. 적분 구간이 상수이면 그 정적분은 하나의 수라는 점을 먼저 떠올려야 합니다.

17번은 소문항 두 개로 구성된 삼각함수 치환적분입니다. 서답형이라 치환 과정과 적분 구간 변경을 빠짐없이 써야 합니다.

3. 여러 가지 미분법 (3·4·13번) — 3문항

3번 중 함수의 몫의 미분법, 4번 하 매개변수로 나타낸 함수의 미분법, 13번 중상 역함수의 미분법의 응용.

13번이 이 단원의 고비입니다. 역함수의 미분계수를 구하려면 먼저 역함수에 넣은 값이 원래 함수의 어느 x에서 나왔는지 찾아야 합니다. 원상 찾기 → 합성함수 미분 → 역수, 이 세 단계를 순서대로 밟으세요.

4. 도함수의 활용 (2) (7·14·15번) — 3문항, 전부 중

7번 무리함수의 최대·최소, 14번 최대·최소의 활용, 15번 평면 위를 움직이는 점의 속도.

세 문항 모두 중 난이도입니다. 15번은 좌표평면 위의 운동이라 x 방향, y 방향 속도를 각각 구한 뒤 조건에 맞게 조합해야 합니다.

5. 여러 가지 함수의 적분법 (5·8번) — 2문항

5번 하 함수 y=xⁿ의 부정적분, 8번 중상 부정적분을 포함한 등식에서 함수 구하기.

8번은 구간마다 원시함수가 달라지는 상황을 연속성으로 이어 붙이는 문항입니다. 적분상수를 구간별로 따로 두고, 연속 조건과 초기값으로 결정하는 흐름입니다.

6. 도함수의 활용 (1) (11번) — 1문항, 중상

11번 접선의 방정식(곡선 밖의 한 점이 주어진 경우).

곡선 밖의 점에서 그은 접선은 접점을 (t, f(t))로 놓고 접선이 그 점을 지난다는 식에서 출발합니다. 이 문항은 여기서 나온 t에 대한 방정식의 두 근을 근과 계수의 관계로 다루는 데까지 이어집니다.

주의 문항 — 중상 7문항

8번 중상 (부정적분을 포함한 등식) — 선택형 앞쪽에서 처음 만나는 중상입니다. 적분상수를 놓치면 끝까지 틀립니다.

10번 중상 (정적분과 급수의 합) — 보기 세 개를 모두 판정해야 하는 형태라 시간이 걸립니다.

11번 중상 (곡선 밖의 점에서 그은 접선) — 접선 방정식과 근과 계수의 관계가 결합됐습니다.

13번 중상 (역함수의 미분법의 응용) — 원상을 먼저 찾지 않으면 계산이 꼬입니다.

17번 중상 (삼각함수 치환적분, 서답형) — 소문항 두 개를 모두 써야 합니다.

18번 중상 (매개변수 곡선의 길이, 서답형) — 근호 안 정리가 관건입니다.

19번 중상 (정적분과 급수의 합의 활용, 서답형) — 일반항을 세우는 단계부터 서술해야 합니다.

경북여고 고2 2학기 기말 미적분 대비 학습 순서

1. 몫의 미분법·매개변수 미분법 — 3·4번 대비. 공식 확보 구간.
2. ★ 역함수의 미분법 — 13번 대비. 원상 찾기부터.
3. 곡선 밖의 점에서 그은 접선 — 11번 대비.
4. 무리함수의 최대·최소와 최대·최소의 활용 — 7·14번 대비.
5. 평면 위를 움직이는 점의 속도 — 15번 대비.
6. xⁿ의 부정적분과 구간별 원시함수 잇기 — 5·8번 대비.
7. 부분적분법 — 2번 대비.
8. 정적분을 포함한 등식 — 9번 대비. 정적분을 상수로 놓기.
9. 삼각함수 치환적분 — 17번 서답형 대비.
10. 절댓값 함수의 넓이 — 1번 대비. 구간 나누기.
11. ★ 시각에 대한 변화율 — 6·12번 대비. t의 함수로 놓고 미분.
12. ★ 정적분과 급수의 합 — 10·19번 대비. 이 시험의 시그니처.
13. 단면을 이용한 입체의 부피 — 16번 서답형 대비.
14. 매개변수 곡선의 길이 — 18번 서답형 대비.

자주 나오는 질문

경북여고 2학년 2학기 기말 미적분은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 19문항입니다. 1~15번이 선택형, 16~19번이 서답형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분의 활용이 7문항으로 가장 많습니다. 이어서 치환적분법과 부분적분법, 여러 가지 미분법, 도함수의 활용 (2)가 각 3문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도 문항은 없습니다. 실질적인 최고 난도는 중상 7문항(8·10·11·13·17·18·19번)이고, 그중 세 문항이 마지막 서답형입니다.

서답형은 어떻게 나왔나요?

16번 입체의 부피, 17번 삼각함수 치환적분, 18번 매개변수 곡선의 길이, 19번 정적분과 급수의 합의 활용입니다. 네 문항 모두 적분법이고, 17·18·19번은 소문항이 나뉘어 있습니다.

미분법과 적분법 비중은 어떻게 되나요?

미분법 7문항, 적분법 12문항입니다. 적분법 비중이 약 63%입니다.

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