계성고(대구 서구) 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

대구광역시 서구 계성고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 19문항입니다. 도함수의 활용 일부와 적분 단원 전체가 나왔고, 비중은 적분 쪽(부정적분·정적분·정적분의 활용) 12문항이 압도적입니다. 이 시험의 가장 큰 특징은 하 난이도가 한 문항도 없고 상 난이도가 3문항이라는 점입니다.

핵심 요약

• 19문항 — 1~15번 선택형, 16~19번 서답형
• 난이도: 하 0 / 중 8 / 중상 8 / 상 3
• 배치 단원: 08 정적분 5 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 09 정적분의 활용 4 / 07 부정적분 3 / 06 도함수의 활용 (3) 2 / 03 미분계수와 도함수 1
• 상 3문항: 13번(주기함수의 정적분), 15번(극대·극소의 활용), 18번(서답형, 극대·극소)
• 접선 단원(도함수의 활용 (1))은 이번 시험에 0문항

계성고라는 이름의 학교는 다른 지역에도 있습니다. 이 글은 대구광역시 서구 계성고등학교 시험 기준입니다.

계성고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ는 어떤 시험인가

2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 선택형 15문항 + 서답형 4문항, 총 19문항입니다. 서답형 18번은 극댓값과 극솟값을 모두 구하는 형태입니다.

대단원으로 나누면 미분 7문항(3·4·6·12·15·17·18번), 적분 12문항(1·2·5·7·8·9·10·11·13·14·16·19번) 입니다. 미분 쪽은 극대·극소와 그 활용에 집중돼 있고, 접선의 방정식이나 평균값 정리를 다루는 도함수의 활용 (1)은 한 문항도 나오지 않았습니다.

12번은 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성으로, 1학기 미분계수와 도함수 단원 문항입니다. 분석표에도 범위 밖 누적 출제로 표시돼 있습니다. 2학기 기말이라도 1학기 미분 기초를 손에서 놓으면 안 된다는 뜻입니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 0문항, 상 3문항

쉬운 문항으로 숨 돌릴 구간이 없는 시험입니다. 1번부터 중 난이도로 시작하고, 3번에서 바로 중상이 나옵니다.

중 8문항은 1·2·4·5·6·7·9번과 16번입니다. 앞쪽 아홉 문항 중 일곱 문항이 중이므로, 1~9번을 빠르고 정확하게 처리하는 것이 1차 목표입니다. 10번부터는 중상·상만 남습니다(16번 제외).

출제 단원 — 정적분 5문항, 적분 파트 12문항

정적분 단원 5문항 중 4문항이 중상 이상입니다(9번만 중). 그중 13번은 상입니다. 점수 차이는 정적분 단원에서 가장 크게 납니다.

도함수의 활용 (2)는 4문항 중 2문항이 상입니다(15·18번). 극대·극소를 묻는 문항이 선택형과 서답형에 모두 최고 난도로 배치됐습니다.

시그니처 유형 — 극대·극소, 그리고 구간별로 정의된 함수

이 시험의 미분 문항은 거의 전부 극대·극소로 모입니다.

• 3번 중상 삼차함수가 주어진 구간에서 극값을 가질 조건
• 14번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소
• 15번 상 함수의 극대·극소의 활용
• 17번 중상(서답형) 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정
• 18번 상(서답형) 함수의 극대·극소

도함수 f′(x)=0의 근과 부호 변화를 읽는 힘이 다섯 문항을 관통합니다. 14번처럼 함수가 정적분으로 정의돼 있어도 미분하면 피적분함수가 나온다는 점만 알면 같은 문제가 됩니다.

또 하나는 구간에 따라 다르게 정의된 함수입니다. 2번(정적분의 계산) 과 12번(미분가능성) 이 이 형태입니다. 경계점에서 함숫값이 이어지는지(연속), 미분계수가 같은지(미분가능) 를 확인하는 습관이 있어야 합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분 (2·9·10·13·14번) — 5문항

2번 중 정적분의 계산(구간에 따라 다르게 정의된 함수), 9번 중 우함수·기함수의 정적분(피적분함수가 주어지지 않은 경우), 10번 중상 정적분을 포함한 등식(아래끝과 위끝이 상수), 13번 상 주기함수의 정적분, 14번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소.

13번이 정적분 단원의 최고 난도입니다. 경계에서의 연속 조건으로 함수를 확정하고, 주기 단위로 반복되는 구간의 적분을 합산하는 여러 단계 문항입니다. 한 주기의 적분값을 먼저 구하고 몇 번 반복되는지 세는 순서로 접근하세요.

10번은 정적분 값을 상수로 놓는 유형에 절댓값이 결합돼 있습니다. 주어진 조건으로 부호를 먼저 확정해야 식이 풀립니다.

2. 도함수의 활용 (2) (3·15·17·18번) — 4문항

3번 중상 삼차함수가 주어진 구간에서 극값을 가질 조건, 15번 상 함수의 극대·극소의 활용, 17번 중상(서답형) 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 18번 상(서답형) 함수의 극대·극소.

3번은 판별식 조건과 구간 경계 조건을 동시에 따지는 문항입니다. 경계값을 포함하느냐 제외하느냐에서 실수가 납니다.

18번은 사차함수의 증감표를 그리고 극댓값·극솟값을 모두 구하는 서답형입니다. 도함수 인수분해 → 증감표 → 극값 계산의 과정이 그대로 채점 대상이니 표를 꼭 써두세요.

17번은 끝점과 극점을 모두 비교해야 최댓값 위치가 확정됩니다. 극댓값이 곧 최댓값이라고 단정하면 틀립니다.

3. 정적분의 활용 (5·7·11·19번) — 4문항

5번 중 함수와 그 역함수의 정적분, 7번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 11번 중상 두 도형의 넓이가 같을 조건, 19번 중상(서답형) 움직인 거리.

11번은 "넓이가 같다 = 정적분 값이 0" 이라는 변환이 핵심입니다. 두 영역이 x축 위아래에 있을 때 전체 구간의 정적분이 0이 된다는 조건으로 미지수를 구합니다.

19번은 위치의 변화량이 아니라 움직인 거리를 묻습니다. 운동 방향이 바뀌는 시각에서 구간을 나눠 속도의 절댓값을 적분해야 합니다.

4. 부정적분 (1·8·16번) — 3문항

1번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 8번 중상 부정적분과 미분의 관계를 이용하여 함수 구하기, 16번 중(서답형) 같은 유형.

8번과 16번이 같은 유형입니다. 주어진 등식을 미분하거나, 곱의 미분 형태를 알아보고 적분해 함수를 복원하는 문항입니다. 적분상수를 초기값으로 결정하는 마지막 단계를 빠뜨리지 마세요.

5. 도함수의 활용 (3) (4·6번) — 2문항, 둘 다 중

4번 위로 던진 물체의 위치와 속도, 6번 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건.

4번은 속도가 0인 순간이 최고 높이라는 한 문장으로 풀립니다. 6번은 함수의 최댓값(또는 최솟값)을 구해 부등식 조건으로 바꾸는 표준 유형입니다.

6. 미분계수와 도함수 (12번) — 1문항, 중상

12번 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성.

연속 조건과 미분가능 조건 두 개를 세우고, 거기에 극값 조건까지 확인하는 문항입니다.

주의 문항 — 상 3문항과 서답형

13번 상 (주기함수의 정적분) — 선택형 최고 난도입니다. 연속 조건과 주기 반복을 모두 처리해야 합니다.

15번 상 (극대·극소의 활용) — 정수 조건까지 붙어 후보를 하나씩 검증해야 하는 문항입니다.

18번 상 (서답형, 극대·극소) — 사차함수 증감표를 정확히 그리는 것이 전부입니다.

3·10·11·12·14번 중상 — 선택형 중반부를 채운 중상 문항들입니다. 조건이 두세 개 겹치는 형태가 많습니다.

17·19번 중상 (서답형) — 끝점 비교, 방향 전환점 나누기를 빠뜨리지 마세요.

계성고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서

1. 구간별 함수의 연속·미분가능성 — 12번 대비. 1학기 내용 복습.
2. ★ 삼차·사차함수의 극대·극소 — 3·15·18번 대비. 증감표 그리기.
3. 최대·최소와 미정계수 — 17번 서답형 대비. 끝점 비교.
4. 위로 던진 물체, 부등식이 항상 성립할 조건 — 4·6번 대비.
5. 도함수로 함수 구하기와 적분상수 — 1·8·16번 대비.
6. 구간별로 정의된 함수의 정적분 — 2번 대비.
7. 우함수·기함수의 정적분 — 9번 대비.
8. 정적분을 포함한 등식 — 10번 대비. 정적분을 상수로 놓기.
9. ★ 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 14번 대비.
10. 주기함수의 정적분 — 13번(상) 대비.
11. 역함수의 정적분과 곡선과 x축 사이의 넓이 — 5·7번 대비.
12. 두 도형의 넓이가 같을 조건 — 11번 대비.
13. 움직인 거리와 위치의 변화량 구분 — 19번 서답형 대비.

자주 나오는 질문

계성고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 19문항입니다. 1~15번이 선택형, 16~19번이 서답형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분이 5문항으로 가장 많습니다. 도함수의 활용 (2)와 정적분의 활용이 각 4문항으로 뒤를 잇습니다. 적분 파트 전체로는 12문항입니다.

어려운 시험인가요?

하 난이도가 한 문항도 없고 상이 3문항입니다. 중상까지 합치면 19문항 중 11문항이 중상 이상이라 쉬운 시험은 아닙니다.

접선 문제는 나왔나요?

나오지 않았습니다. 도함수의 활용 (1)(접선·평균값 정리) 단원은 0문항이고, 미분 문항은 극대·극소와 그 활용에 집중됐습니다.

서답형은 어떻게 나왔나요?

16번 부정적분과 미분의 관계로 함수 구하기, 17번 최대·최소를 이용한 미정계수, 18번 사차함수의 극대·극소, 19번 움직인 거리입니다.

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