청구고 2학년 2학기 기말고사 미적분 기출 분석 (2025학년)
대구광역시 동구 청구고 2학년 2학기 기말고사 미적분은 2025학년 기준 총 20문항입니다. 도함수의 활용과 적분법 전체에서 나왔습니다. 이 시험을 한 줄로 요약하면 "1·2번 빼고 전부 중상 이상" 입니다. 20문항 중 중상이 17문항, 상이 1문항입니다.
핵심 요약
- 20문항 — 1~14번 선택형, 15~20번 서답형(6문항)
- 난이도: 하 0 / 중 2 / 중상 17 / 상 1
- 배치 단원: 10 정적분의 활용 5 / 09 치환적분법과 부분적분법 5 / 06 도함수의 활용 (1) 4 / 07 도함수의 활용 (2) 3 / 08 여러 가지 함수의 적분법 3
- 유일한 상: 19번(서답형) 정적분을 포함한 등식
- 반복 유형: 우함수·기함수의 정적분(14·20번)
청구고 고2 2학기 기말 미적분은 어떤 시험인가
청구고등학교는 대구광역시 동구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 미적분은 선택형 14문항 + 서답형 6문항, 총 20문항입니다. 서답형이 여섯 문항으로 많은 편입니다.
대단원으로 나누면 미분(도함수의 활용) 7문항(1·4·5·7·10·16·17번), 적분법 13문항입니다. 미분 쪽은 접선·증가와 감소·극값(도함수의 활용 (1))과 변곡점·그래프·방정식(도함수의 활용 (2))이 나왔고, 몫의 미분·합성함수 미분 같은 여러 가지 미분법 단원 문항은 이번 시험에 따로 배치되지 않았습니다.
서답형 여섯 문항은 15번 치환적분, 16번 삼각함수의 극값, 17번 방정식의 실근, 18번 입체의 부피, 19번 정적분을 포함한 등식, 20번 우함수·기함수의 정적분입니다. 답이 로그, π, e가 섞인 값으로 나오는 문항이 대부분이라 계산 정확도가 그대로 점수입니다.
2025학년 난이도 분포 — 중상 17문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 0 | 0% | — |
| 중 | 2 | 10% | 1·2 |
| 중상 | 17 | 85% | 3~18·20 |
| 상 | 1 | 5% | 19 |
3번부터 18번까지 열여섯 문항이 연속으로 중상이고, 20번도 중상입니다. 상은 19번 한 문항입니다.
중 난이도는 1번(접점이 주어진 접선의 방정식)과 2번(정적분과 급수의 합) 두 문항뿐입니다. 이 두 문항은 반드시 맞혀야 하고, 이후로는 문항마다 2~3단계 사고가 필요한 시험이라고 보고 시간 배분을 해야 합니다.
출제 단원 — 정적분의 활용·치환적분 각 5문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 10 정적분의 활용 | 5 | 2·8·11·13·18 |
| 09 치환적분법과 부분적분법 | 5 | 3·9·12·15·19 |
| 06 도함수의 활용 (1) | 4 | 1·5·10·16 |
| 07 도함수의 활용 (2) | 3 | 4·7·17 |
| 08 여러 가지 함수의 적분법 | 3 | 6·14·20 |
다섯 단원이 3~5문항씩 고르게 나눠 가졌습니다. 어느 한 단원을 버리면 그만큼이 통째로 중상 문항 손실입니다.
정적분의 활용 5문항에는 급수의 합, 두 곡선 사이 넓이, 곡선의 길이, 움직인 거리, 입체의 부피가 한 문항씩 들어 있습니다. 이 단원의 주제 다섯 개가 빠짐없이 나온 셈입니다.
시그니처 유형 — 우함수·기함수와 대칭
우함수·기함수의 정적분이 14번(선택형)과 20번(서답형) 두 번 나왔습니다.
- 구간 [−a, a]에서 기함수의 정적분은 0, 우함수의 정적분은 [0, a] 적분의 2배.
- 14번은 대칭 변환으로 짝수 함수 꼴을 만든 뒤 미지수를 구합니다.
- 20번은 함수를 우함수 부분과 기함수 부분으로 분해하고, 부분적분까지 결합해 값을 구하는 서답형입니다.
대칭을 이용하면 계산량이 크게 줄어드는 문항들입니다. 적분 구간이 원점 대칭인지부터 확인하는 습관을 들이세요.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 정적분의 활용 (2·8·11·13·18번) — 5문항
2번 중 정적분과 급수의 합(합의 꼴), 8번 중상 두 곡선 사이의 넓이의 활용(이등분), 11번 중상 곡선 y=f(x)의 길이, 13번 중상 직선 위에서 점이 움직인 거리, 18번 중상(서답형) 입체도형의 부피(단면이 밑면과 수직).
8번은 넓이를 이등분하는 조건입니다. 전체 넓이를 먼저 구하고, 절반이 되는 경계를 정적분 식으로 세웁니다.
11번은 곡선의 길이와 넓이를 함께 다룹니다. 길이 공식 √(1+{f′(x)}²) 안이 깔끔하게 정리되는 함수가 나왔습니다.
13번은 속도의 부호가 바뀌는 시각에서 구간을 나눠 움직인 거리를 구합니다. 위치의 변화량과 혼동하지 마세요.
18번은 단면이 반원인 입체의 부피를 구하는 서답형입니다. 단면의 넓이를 x에 대한 식으로 쓰고 적분하는데, 이 과정에서 부분적분까지 필요합니다.
2. 치환적분법과 부분적분법 (3·9·12·15·19번) — 5문항
3번 중상 유리함수의 부정적분(분자의 차수 < 분모의 차수), 9번 중상 삼각함수를 이용한 치환적분법, 12번 중상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 15번 중상(서답형) 치환적분법을 이용한 정적분(지수·로그함수), 19번 상(서답형) 정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝에 변수).
3번은 부분분수로 쪼갠 뒤 로그로 적분하는 문항입니다. 정의역의 구간에 따라 절댓값 처리가 달라지니 초기값이 주어진 구간을 확인하세요.
9번은 근호 안을 삼각함수로 치환하는 유형입니다. 치환 후 적분 구간을 바꾸고, 필요하면 다시 원래 변수로 되돌립니다.
19번이 이 시험의 유일한 상입니다. 양변을 미분해 함수를 구하고, 초기값으로 상수를 정한 뒤, 그 함수로 교점과 넓이까지 구하는 4단계 문항입니다.
3. 도함수의 활용 (1) (1·5·10·16번) — 4문항
1번 중 접선의 방정식(접점의 좌표가 주어진 경우), 5번 중상 공통인 접선, 10번 중상 실수 전체에서 함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 16번 중상(서답형) 삼각함수의 극대·극소.
5번은 두 곡선이 한 점에서 접하는 조건입니다. 함숫값이 같고 미분계수가 같다는 두 식을 연립합니다.
10번은 도함수가 항상 0 이상이 되는 조건을 판별식으로 바꾸는 문항입니다. 도함수가 한 점에서만 0이 되는 경계 경우를 포함하는지 주의해야 합니다.
16번은 삼각함수가 섞인 함수의 극댓값들을 찾는 서답형입니다. 도함수의 부호 변화로 극대와 극소를 구별해야 하고, 극소점을 극대점으로 착각하면 틀립니다.
4. 도함수의 활용 (2) (4·7·17번) — 3문항, 전부 중상
4번 변곡점, 7번 함수의 그래프의 성질, 17번(서답형) 방정식 f(x)=g(x)의 실근의 개수.
4번은 극대점과 두 변곡점으로 만든 삼각형의 넓이를 묻습니다. f′과 f″의 부호를 모두 따져야 합니다.
17번은 지수함수가 들어간 방정식에서 변수를 분리해 한쪽을 함수, 한쪽을 상수로 놓고 그래프의 치역을 이용하는 문항입니다.
5. 여러 가지 함수의 적분법 (6·14·20번) — 3문항
6번 중상 부정적분을 포함한 등식에서 함수 구하기, 14번 중상 우함수·기함수의 정적분, 20번 중상(서답형) 우함수·기함수의 정적분.
6번은 잘못 계산한 결과에서 원래 함수를 복원하는 형태입니다. 주어진 식이 f인지 f의 원시함수인지를 먼저 구분해야 합니다.
주의 문항 — 상 1문항과 서답형 6문항
19번 상 (정적분을 포함한 등식, 서답형) — 미분 → 초기값 → 교점 → 넓이의 4단계입니다.
18번 중상 (단면이 반원인 입체의 부피, 서답형) — 단면 넓이 식을 세운 뒤 부분적분까지 이어집니다.
20번 중상 (우함수·기함수 분해, 서답형) — 함수를 두 부분으로 나누는 발상이 열쇠입니다.
16번 중상 (삼각함수의 극대, 서답형) — 극대와 극소를 구분해야 합니다.
5·8·11번 중상 — 공통접선, 넓이 이등분, 곡선의 길이처럼 조건을 식으로 옮기는 단계가 핵심인 문항들입니다.
청구고 고2 2학기 기말 미적분 대비 학습 순서
- 접선의 방정식과 공통인 접선 — 1·5번 대비.
- 증가·감소 조건과 판별식 — 10번 대비. 경계 경우 확인.
- 삼각함수의 극대·극소 — 16번 서답형 대비.
- 변곡점과 그래프의 성질 — 4·7번 대비.
- 변수 분리와 방정식의 실근 개수 — 17번 서답형 대비.
- 부정적분을 포함한 등식 — 6번 대비.
- ★ 우함수·기함수의 정적분 — 14·20번 대비. 이 시험의 시그니처.
- 유리함수의 부정적분(부분분수) — 3번 대비.
- 삼각치환과 지수·로그 치환적분 — 9·15번 대비.
- 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 12번 대비.
- ★ 정적분을 포함한 등식(변수 끝) — 19번(상) 대비.
- 정적분과 급수의 합 — 2번 대비. 확보 구간.
- 넓이 이등분, 곡선의 길이, 움직인 거리 — 8·11·13번 대비.
- 단면을 이용한 입체의 부피 — 18번 서답형 대비.
자주 나오는 질문
청구고 2학년 2학기 기말 미적분은 몇 문항인가요?
2025학년 기준 20문항입니다. 1~14번이 선택형, 15~20번 여섯 문항이 서답형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 정적분의 활용과 치환적분법과 부분적분법이 각 5문항입니다. 나머지 세 단원도 3~4문항씩이라 고르게 나왔습니다.
어려운 시험인가요?
중 난이도는 1·2번 두 문항뿐이고, 중상 17문항, 상 1문항입니다. 난도가 높은 시험입니다.
가장 어려운 문항은 무엇인가요?
유일한 상은 19번(서답형), 정적분을 포함한 등식입니다. 함수를 구한 뒤 교점과 넓이까지 이어집니다.
서답형은 어떻게 나왔나요?
15번 지수·로그 치환적분, 16번 삼각함수의 극대·극소, 17번 방정식의 실근, 18번 입체의 부피, 19번 정적분을 포함한 등식, 20번 우함수·기함수의 정적분입니다.
과년도 청구고 기출도 볼 수 있나요?
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