대건고 1학년 2학기 기말고사 수학(공통수학2) 기출 분석 (2025)

대구광역시 달서구 대건고 1학년 2학기 기말 수학(공통수학2)은 2025학년 기준 총 18문항, 100점 만점입니다. 출제는 명제 · 함수 · 유리함수 · 무리함수 네 단원에서 나왔고, 가장 큰 특징은 명제 7문항과 서답형 4문항이 34점을 차지한다는 점입니다.

핵심 요약

• 18문항 — 1~14번 선택형(66점), 15~18번 서답형(34점)
• 난이도: 하 5 / 중 6 / 중상 6 / 상 1
• 배치 단원: 07 명제 7 / 08 함수 6 / 09 유리식과 유리함수 3 / 10 무리식과 무리함수 2
• 반복 유형: 명제가 참이 되도록 하는 상수 구하기(2·12번), 무리함수의 합성함수와 역함수(7·17번)
• 서답형 16번은 귀류법 증명

대건고 고1 2학기 기말은 어떤 시험인가

정답 기록 기준 1~14번은 선택형, 15~18번은 서답형입니다. 배점은 선택형이 4점부터 5.4점까지 번호 순서대로 0.1점씩 올라가고, 서답형은 8·8·9·9점입니다. 합계가 정확히 100점입니다.

서답형 네 문항이 34점입니다. 서답형 한 문항이 선택형 두 문항에 가까운 무게라, 서답형 하나를 통째로 놓치면 선택형 두 개를 틀린 것과 비슷한 손실이 납니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 5문항, 상은 18번 하나

하 난이도가 5문항으로 시험의 4분의 1이 넘습니다. 1·3번은 명제, 4·5·10번은 함수 단원의 기본 문항입니다. 이 다섯 문항은 반드시 지켜야 할 구간입니다.

상 난이도는 마지막 18번 하나뿐입니다. 대신 중상이 6문항이고, 그중 세 문항(12·13·14번)이 선택형 끝에 연속으로 붙어 있습니다. 서답형도 16·17번이 중상, 18번이 상이라 시험 후반부에 난도가 몰리는 구조입니다.

출제 단원 — 명제 7문항이 최다

명제와 함수 두 단원이 13문항(72%) 입니다. 유리함수와 무리함수는 합쳐서 5문항입니다.

다만 유리·무리함수 5문항 중 세 문항(14·17·18번)이 중상 이상이고, 17·18번은 9점짜리 서답형입니다. 문항 수는 적어도 배점과 난이도로 보면 가볍지 않은 단원입니다.

반복 유형 — 두 유형이 선택형과 서답형에 한 번씩

같은 유형이 두 번 쓰인 경우는 두 가지입니다.

• 명제가 참이 되도록 하는 상수 구하기 — 2번(중), 12번(중상)
• 무리함수의 합성함수와 역함수 — 7번(중상), 17번(중상, 서답형 9점)

7번과 17번은 같은 유형이 선택형과 서답형으로 각각 나온 경우입니다. 분석표 기준 두 문항 모두 증가하는 무리함수와 그 역함수의 교점을 y=x 위에서 찾는 흐름이고, 제곱해서 얻은 근을 원래 식의 정의역으로 다시 검증해야 합니다. 이 과정을 선택형에서 익혀 두면 서답형 9점까지 함께 챙길 수 있습니다.

2번과 12번은 명제가 참이 되는 상수의 범위를 구합니다. 2번은 구간 포함 관계만으로 끝나는 2단계 문항이고, 12번은 "어떤 x에 대하여"(존재)와 "모든 x에 대하여"(전칭) 명제가 동시에 나오는 3단계 문항입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 명제 (1·2·3·9·12·13·16번) — 7문항

1번 하 명제와 역, 대우의 참, 거짓, 2번 중 명제가 참이 되도록 하는 상수 구하기, 3번 하 진리집합, 9번 중 충분·필요·필요충분조건과 진리집합, 12번 중상 명제가 참이 되도록 하는 상수 구하기, 13번 중상 산술평균과 기하평균의 관계; 도형에서의 활용, 16번 중상(서답형) 귀류법.

1·3번은 확보 문항입니다. 명제와 대우의 참·거짓은 항상 같고, 역은 따로 확인해야 한다는 것만 정확히 알면 됩니다.

9번은 다섯 쌍의 조건을 놓고 충분·필요 관계를 판별하는 문항입니다. 역방향이 거짓임을 보일 반례를 빠르게 찾는 연습이 필요합니다.

13번은 도형에서 산술·기하평균을 쓰는 문항입니다. 절편이 양수라는 조건을 먼저 확인하고, 최솟값을 구한 뒤 등호가 실제로 성립하는지까지 확인해야 합니다.

16번 서답형은 √3이 무리수임을 귀류법으로 증명하는 문항입니다. √3을 서로소인 두 자연수의 분수로 놓고 모순을 끌어내는 교과서 대표 증명입니다. 8점짜리 서답형이므로 "서로소라고 가정 → 둘 다 3의 배수 → 모순" 의 흐름을 빠짐없이 쓸 수 있도록 교과서 증명을 그대로 연습해 두세요.

2. 함수 (4·5·8·10·11·15번) — 6문항

4번 하 서로 같은 함수, 5번 하 합성함수의 함숫값 구하기, 8번 중 역함수가 존재하기 위한 조건, 10번 하 합성함수와 역함수, 11번 중 함수의 개수, 15번 중(서답형) 함수의 정의역, 공역, 치역.

함수 단원 6문항은 하 3문항, 중 3문항으로 중상 이상이 없습니다. 이 시험에서 점수를 가장 안정적으로 모을 수 있는 단원입니다.

8번 역함수 존재 조건은 구간별로 다른 직선으로 정의된 함수가 일대일대응이 되도록 기울기 조건을 맞추는 문항입니다. 두 직선의 기울기 부호가 같아야 한다는 것이 출발점입니다.

11번 함수의 개수는 가능한 함수를 나열해 종류별로 세는 문항입니다.

15번 서답형(8점) 은 양의 약수를 이용해 정의된 함수의 함숫값과 치역을 구하는 소문항 두 개짜리입니다. 약수 개수를 셀 때 1과 자기 자신을 빠뜨리지 않는 것이 기본입니다.

3. 유리함수 (6·14·18번) — 3문항

6번 중 유리함수의 그래프의 점근선, 14번 중상 유리함수의 그래프와 직선의 위치 관계, 18번 상(서답형) 유리함수의 역함수.

6번은 두 점근선으로 계수를 정하고 한 점을 대입하는 기본형입니다.

14번은 절댓값이 포함된 유리함수와 직선의 교점을 다룹니다. 절댓값 안의 부호에 따라 두 경우로 나누고, 각 경우에서 나온 근이 그 범위에 맞는지 걸러내야 합니다.

18번은 이 시험의 유일한 상 문항(9점 서답형) 입니다. 소문항 (1)에서 유리함수의 역함수를 일반식으로 구하고, (2)에서 조건을 만족하는 함수를 확정하는 구조입니다. (1)이 (2)의 재료이므로 (1)을 정확히 구하는 것이 부분 점수의 출발점입니다.

4. 무리함수 (7·17번) — 2문항

7번 중상 무리함수의 합성함수와 역함수, 17번 중상(서답형) 무리함수의 합성함수와 역함수.

앞서 정리한 대로 두 문항이 같은 유형입니다. 증가하는 무리함수에서 f(x)와 역함수의 교점은 f(x)=x를 풀어 구할 수 있고, 양변을 제곱하면 생기는 근을 정의역으로 걸러내는 단계가 감점이 가장 자주 나는 곳입니다.

주의 문항 — 중상·상 7문항

7번 중상 (무리함수와 역함수의 교점) — 선택형이지만 17번 서답형과 같은 유형입니다.

12번 중상 (명제가 참이 되도록 하는 상수) — 존재 명제와 전칭 명제의 조건을 동시에 맞춰야 합니다.

13번 중상 (산술·기하평균의 도형 활용) — 등호 성립 확인까지 해야 합니다.

14번 중상 (절댓값 유리함수와 직선) — 경우 나누기 후 근 걸러내기.

16번 중상, 8점 (귀류법) — 증명 서술형입니다.

17번 중상, 9점 (무리함수와 역함수) — 제곱 후 정의역 검증.

18번 상, 9점 (유리함수의 역함수) — 소문항 연결형입니다.

대건고 고1 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 명제의 역·대우와 진리집합 — 1·3번 대비. 확보 구간.
2. 서로 같은 함수, 합성함수와 역함수의 함숫값 — 4·5·10번 대비. 확보 구간.
3. 유리함수의 점근선 — 6번 대비.
4. 충분·필요조건과 반례 찾기 — 9번 대비.
5. ★ 명제가 참이 되도록 하는 상수(존재·전칭) — 2·12번 대비.
6. 역함수가 존재하기 위한 조건, 함수의 개수 — 8·11번 대비.
7. 정의역·공역·치역과 약수 — 15번 서답형 대비.
8. 산술·기하평균의 도형 활용 — 13번 대비. 등호 조건까지.
9. 절댓값이 포함된 유리함수와 직선 — 14번 대비.
10. ★ 귀류법 증명(√2, √3이 무리수) — 16번 서답형 대비. 교과서 증명 그대로.
11. ★ 무리함수와 역함수의 교점 — 7·17번 대비. 제곱 후 근 검증.
12. 유리함수의 역함수 일반식 — 18번 서답형 대비.

자주 나오는 질문

대건고 1학년 2학기 기말 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 18문항, 100점 만점입니다. 1~14번이 선택형(66점), 15~18번이 서답형(34점)입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 명제 7문항이 가장 많고, 함수 6문항, 유리함수 3문항, 무리함수 2문항 순입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 18번(유리함수의 역함수, 9점 서답형) 한 문항입니다. 중상은 6문항입니다.

서답형에서 증명 문제도 나오나요?

네. 16번(8점)이 √3이 무리수임을 귀류법으로 증명하는 문항입니다. 교과서에 나오는 증명 흐름을 그대로 쓸 수 있어야 합니다.

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