성화여고 1학년 2학기 기말고사 수학(공통수학2) 기출 분석 (2025)

대구광역시 북구 성화여자고등학교(성화여고) 1학년 2학기 기말 수학(공통수학2)은 2025학년 기준 총 23문항, 100점 만점입니다. 배점 구조가 독특합니다. 서답형 세 문항이 35점이고, 그중 마지막 23번 한 문항이 15점입니다.

핵심 요약

• 23문항 — 1~20번 선택형(65점), 21~23번 서답형(35점)
• 난이도: 하 0 / 중 9 / 중상 11 / 상 3
• 배치 단원: 08 함수 9 / 07 명제 8 / 10 무리식과 무리함수 4 / 09 유리식과 유리함수 2
• 반복 유형: 역함수가 존재하기 위한 조건(15·23번), 합성함수와 역함수(16·19번), 산술·기하평균의 도형 활용(20·21번)
• 최고 배점: 23번 15점(상, 역함수가 존재하기 위한 조건)

성화여고 고1 2학기 기말은 어떤 시험인가

정답 기록 기준 1~20번은 선택형, 21~23번은 서답형입니다. 배점은 선택형이 2·3·4·5점으로 계단식으로 올라가고(1~6번 2점, 7~12번 3점, 13~17번 4점, 18~20번 5점), 서답형은 10·10·15점입니다. 합계는 정확히 100점입니다.

서답형 세 문항이 35점이라는 것이 핵심입니다. 선택형 20문항이 65점이니, 서답형 한 문항이 선택형 서너 문항과 맞먹습니다. 특히 23번 15점은 1~6번 2점짜리 여섯 문항을 모두 합친 12점보다 큽니다. 서답형을 비워 두면 선택형을 아무리 잘 풀어도 점수가 크게 깎입니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 0, 중상 11

1~6번 여섯 문항은 모두 중 난이도, 각 2점입니다. 명제의 부정, 충분·필요조건, 서로 같은 함수, 역함수 구하기, 유리함수 점근선, 무리함수 평행이동으로 범위 전체의 기본 개념을 하나씩 묻습니다.

7번부터는 중상이 본격적으로 섞입니다. 상 3문항은 18번(선택형)과 22·23번(서답형) 이고, 22·23번 두 문항만 합쳐도 25점입니다.

출제 단원 — 함수 9문항, 명제 8문항

함수와 명제 두 단원이 17문항(74%) 입니다. 유리함수는 2문항, 무리함수는 4문항입니다.

배점으로 보면 차이가 더 벌어집니다. 함수 단원에는 15점짜리 23번과 상 난이도 18번이 있고, 명제 단원에는 10점짜리 21번이 있습니다. 무리함수도 10점짜리 22번(상) 이 있어 문항 수에 비해 무게가 큽니다.

반복 유형 — 세 쌍, 그리고 산술·기하평균 3문항

같은 유형이 두 번 나온 경우가 세 쌍입니다.

• 역함수가 존재하기 위한 조건 — 15번(중상, 4점), 23번(상, 15점)
• 합성함수와 역함수 — 16번(중상, 4점), 19번(중상, 5점)
• 산술평균과 기하평균의 관계; 도형에서의 활용 — 20번(중상, 5점), 21번(중상, 10점)

여기에 14번(산술평균과 기하평균의 관계; 합 또는 곱이 일정할 때)까지 더하면 산술·기하평균이 14·20·21번 세 문항입니다. 세 문항 배점 합이 19점입니다.

가장 중요한 쌍은 15번과 23번입니다. 15번은 구간별로 정의된 함수의 치역과 기울기로 일대일대응 조건을 맞춰 정수의 최댓값을 구하는 4점 문항이고, 23번은 같은 유형을 공역 조건, 구간별 전사·단사, 이차함수의 꼭짓점과 최솟값까지 확장한 15점 서답형입니다. 15번을 풀 때 쓰는 논리가 그대로 23번의 뼈대가 되므로, 이 유형을 깊게 연습하는 것이 이 시험 대비의 최우선 과제입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 함수 (3·4·9·10·15·16·18·19·23번) — 9문항

3번 중 서로 같은 함수, 4번 중 역함수 구하기, 9번 중 항등함수와 상수함수, 10번 중 합성함수의 함숫값 구하기, 15번 중상 역함수가 존재하기 위한 조건, 16번 중상 합성함수와 역함수, 18번 상 역함수의 그래프의 성질, 19번 중상 합성함수와 역함수, 23번 상(서답형) 역함수가 존재하기 위한 조건.

3·4·9·10번은 중 난이도로 확보 구간입니다. 9번은 항등함수의 고정점(f(x)=x인 x) 과 부분집합을 연결하는 문항이라 정의를 정확히 알아야 합니다.

16·19번은 유한집합에서 정의된 함수들의 합성과 역함수를 다룹니다. 분석표에는 16번이 함수 쌍 36가지, 19번이 일대일대응 120가지를 전수로 따지는 구조로 기록돼 있습니다. 조건을 하나씩 적용해 가능한 경우를 줄여 나가는 방식이 필요합니다.

18번 상은 함수와 역함수의 그래프가 y=x에 대해 대칭이라는 성질로 교점과 넓이를 구하는 4단계 문항입니다. 대칭인 두 영역의 넓이가 같다는 점을 이용해 계산을 줄일 수 있습니다.

23번(15점) 은 이 시험에서 가장 무거운 문항입니다. 일대일대응이 되려면 각 구간에서 증가(또는 감소)를 유지하고, 구간별 치역이 겹치지 않으면서 합쳐서 공역 전체가 되어야 합니다. 이차함수가 포함된 구간에서는 꼭짓점이 정의역 밖에 있어야 단조성이 유지됩니다. 단계별로 조건을 식으로 남겨 두면, 최종 답을 못 구해도 부분 점수를 받을 수 있습니다.

2. 명제 (1·2·7·8·13·14·20·21번) — 8문항

1번 중 명제와 조건의 부정, 2번 중 충분·필요·필요충분조건과 진리집합, 7번 중상 명제가 참이 되도록 하는 상수 구하기, 8번 중상 충분·필요조건과 명제의 참, 거짓, 13번 중 삼단논법과 명제의 추론, 14번 중상 산술평균과 기하평균의 관계; 합 또는 곱이 일정할 때, 20번 중상 산술평균과 기하평균의 관계; 도형에서의 활용, 21번 중상(서답형) 산술평균과 기하평균의 관계; 도형에서의 활용.

1번은 드모르간 법칙으로 조건을 부정하는 문항입니다. "그리고"는 "또는"으로, 부등호는 등호 포함 여부가 바뀝니다.

7번은 "어떤 x에 대하여 ~"가 거짓이 되는 조건을 부정해 "모든 x에 대하여 ~"로 바꾸고, 완전제곱식으로 최솟값을 구해 상수의 범위를 정합니다.

13번 삼단논법은 주어진 명제들과 그 대우를 연결해 반드시 참인 명제를 고르는 문항입니다. 대우를 먼저 모두 써 두면 연쇄가 보입니다.

20·21번은 그림 속 도형에서 산술·기하평균을 쓰는 같은 유형입니다. 21번은 10점짜리 서답형으로, 직선의 두 절편과 부호 조건을 정리하고, 삼각형의 넓이를 식으로 세운 뒤, 최솟값과 등호 조건을 구합니다. 20번을 풀며 익힌 흐름을 21번에서 그대로 서술하면 됩니다.

3. 무리함수 (6·12·17·22번) — 4문항

6번 중 무리함수의 그래프의 평행이동과 대칭이동, 12번 중상 무리함수의 그래프와 직선의 위치 관계, 17번 중상 무리함수의 그래프의 활용; 도형의 넓이, 22번 상(서답형) 무리함수의 합성함수와 역함수.

12번은 무리함수와 직선이 만나기 위한 최솟값 조건을 묻습니다. 두 함수의 증가·감소와 무리함수의 시작점 위치를 비교하는 것이 출발점입니다.

17번은 무리함수를 대칭이동한 그래프로 둘러싸인 넓이를 구합니다. 분석표에는 넓이가 서로 상쇄되는 도형으로 바꿔 계산하는 단계가 기록돼 있습니다. 곡선으로 둘러싸인 넓이를 직접 구하기 어려우니 같은 넓이의 다른 도형으로 옮기는 발상이 필요합니다.

22번(10점, 상) 은 증가하는 무리함수와 그 역함수의 교점을 y=x 위에서 찾고, 제곱으로 생긴 근을 제외한 뒤 두 교점 사이의 거리를 구합니다. 제곱 후 근을 검증하는 단계가 빠지면 답이 틀어집니다.

4. 유리함수 (5·11번) — 2문항

5번 중 유리함수의 그래프의 점근선, 11번 중상 유리함수의 합성함수와 역함수.

5번은 유리함수를 분해해 두 점근선을 읽는 기본형이고, 11번은 합성함수의 역함수를 구하면서 정의되지 않는 값을 제외하는 단계까지 확인합니다.

주의 문항 — 상 3문항과 서답형

18번 상, 5점 (역함수의 그래프의 성질) — 선택형 최고 난도. y=x 대칭과 넓이.

21번 중상, 10점 (산술·기하평균 도형 활용) — 20번과 같은 유형. 등호 조건 필수.

22번 상, 10점 (무리함수와 역함수의 교점) — 제곱 후 근 검증.

23번 상, 15점 (역함수가 존재하기 위한 조건) — 시험 최고 배점. 15번과 같은 유형의 확장판.

성화여고 고1 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 조건의 부정, 충분·필요조건 기본 — 1·2번 대비. 확보 구간.
2. 서로 같은 함수, 역함수 구하기 — 3·4번 대비. 확보 구간.
3. 유리함수 점근선, 무리함수 평행이동 — 5·6번 대비. 확보 구간.
4. 항등함수·상수함수, 합성함수의 함숫값 — 9·10번 대비.
5. 삼단논법과 대우 — 13번 대비.
6. 존재 명제의 부정과 상수 — 7·8번 대비.
7. ★ 산술·기하평균(합·곱 일정, 도형 활용) — 14·20·21번 대비. 세 문항 19점.
8. 유리함수의 합성과 역함수 — 11번 대비.
9. 무리함수와 직선, 무리함수 그래프와 넓이 — 12·17번 대비.
10. 유한집합 함수의 합성과 역함수 — 16·19번 대비.
11. ★ 역함수가 존재하기 위한 조건(구간별 함수, 꼭짓점 위치) — 15·23번 대비. 23번 15점의 뼈대.
12. 역함수의 그래프와 y=x 대칭 넓이 — 18번 대비.
13. 무리함수와 역함수의 교점, 두 점 사이 거리 — 22번 서답형 대비.

자주 나오는 질문

성화여고 1학년 2학기 기말 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 23문항, 100점 만점입니다. 1~20번이 선택형(65점), 21~23번이 서답형(35점)입니다.

서답형 배점은 어떻게 되나요?

21번 10점, 22번 10점, 23번 15점입니다. 23번 한 문항이 1~6번 2점짜리 여섯 문항 합계(12점)보다 큽니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도 3문항(18·22·23번) 입니다. 22·23번은 서답형으로 두 문항 합계 25점입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 함수 9문항, 명제 8문항입니다. 명제 8문항 중 세 문항(14·20·21번)이 산술평균과 기하평균입니다.

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