과천고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

과천고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 미분 파트와 적분 파트가 정확히 10문항씩 나왔습니다. 이 시험의 가장 큰 특징은 9번부터 17번까지 아홉 문항이 연속으로 중상이라는 점입니다. 상 난이도는 19번 한 문항뿐이지만, 중상이 절반입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 전 문항 선택형
• 난이도: 하 1 / 중 8 / 중상 10 / 상 1
• 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 5 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 09 정적분의 활용 4 / 07 부정적분 3 / 08 정적분 3
• 반복 개념: 속도·위치·움직인 거리 4문항(6·7·9·14번)
• 최고 난도: 19번 상 — 도함수가 주어질 때 함수 구하기

과천고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

과천고등학교는 경기도 과천시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항입니다. 정답 기록을 보면 20문항 모두 선택형이고, 답을 직접 쓰는 문항은 없습니다.

대단원으로 묶으면 미분 10문항(05·06), 적분 10문항(07·08·09) 으로 정확히 반반입니다. 미분 쪽은 도함수의 활용 (2)와 (3)이 5문항씩입니다. 미분계수와 도함수, 도함수의 활용 (1) 단원에 배치된 문항은 없습니다.

2025학년 난이도 분포 — 9~17번 연속 중상

난이도 배치가 아주 뚜렷합니다. 1~8번은 하·중만, 9~17번은 전부 중상, 그리고 18번 중, 19번 상, 20번 중상입니다.

18번은 뒤쪽에 있지만 중 난이도(구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분) 입니다. 9~17번에서 시간을 많이 썼더라도 18번은 반드시 확인하고 넘어가야 합니다.

출제 단원 — 미분 10 · 적분 10

05 도함수의 활용 (2) 는 증가·감소와 극대·극소, 최대·최소입니다. 1번(하)으로 시작해 12·16번 중상으로 끝납니다. 06 도함수의 활용 (3) 은 속도·가속도와 방정식·부등식 활용으로, 앞쪽 6~8번은 중, 13·17번은 중상입니다.

적분 쪽에서는 정적분의 활용 4문항 중 세 개(9·10·14번)가 중상, 20번도 중상입니다. 넓이와 움직인 거리 문항이 모두 쉽지 않게 나왔습니다.

반복 출제 — 속도·위치·움직인 거리 4문항

같은 유형코드가 두 번 쓰인 문항은 없습니다. 대신 수직선 위의 운동이 미분과 적분 양쪽에서 네 번 나왔습니다.

• 6번 중 속도·가속도와 운동 방향(도함수의 활용)
• 7번 중 정지하는 물체의 속도와 움직인 거리(도함수의 활용)
• 9번 중상 그래프에서의 위치와 움직인 거리(정적분의 활용)
• 14번 중상 움직인 거리(정적분의 활용)

위치를 미분하면 속도, 속도를 적분하면 위치의 변화량이라는 관계를 양방향으로 쓸 수 있어야 합니다. 움직인 거리는 속도의 절댓값을 적분한다는 점도 9·14번에서 반복됩니다.

극대·극소도 여러 형태로 나왔습니다. 4번(극대·극소로 미정계수 결정), 11번(부정적분과 극대·극소), 16번(사차함수가 극값을 가질 조건) 입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 증가·감소와 극값 (1·4·5·12·16번) — 5문항

1번 하 함수의 그래프와 증가·감소, 4번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 5번 중 함수의 최대·최소, 12번 중상 실수 전체의 집합에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 16번 중상 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 가질 조건.

12번은 도함수의 판별식 조건으로 상수의 범위를 구하고 정수 개수를 세는 유형입니다. 판별식이 0인 경계를 포함하는지가 답을 가릅니다. 16번은 사차함수의 도함수가 중근을 가질 때 극값이 어떻게 달라지는지를 묻습니다.

2. 방정식·부등식과 운동 (6·7·8·13·17번) — 5문항

6번 중 속도·가속도와 운동 방향, 7번 중 정지하는 물체의 속도와 움직인 거리, 8번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건, 13번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 17번 중상 두 그래프의 교점의 개수.

13번과 17번은 극값과 수평선의 위치 관계로 근의 개수를 세는 같은 계열입니다. 17번은 여기에 조건을 만족하는 모든 k의 합을 구하는 단계가 더 붙습니다.

3. 부정적분 (2·11·19번) — 3문항

2번 중 부정적분과 접선의 기울기, 11번 중상 부정적분과 극대·극소, 19번 상 도함수가 주어질 때 함수 구하기.

19번이 이 시험의 유일한 상 문항입니다. 도함수를 적분한 뒤 접합점에서 연속이 되도록 적분상수를 맞추고, 증감을 따져 극값과 교점까지 구합니다.

4. 정적분 (3·15·18번) — 3문항

3번 중 정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우), 15번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극한, 18번 중 정적분의 계산(구간에 따라 다르게 정의된 함수).

15번은 lim 1/(x−a)∫f(t)dt 꼴로, 극한값이 f(a)가 된다는 성질을 씁니다. 분모가 0으로 가는 조건에서 계수를 먼저 정하는 단계가 있습니다.

5. 정적분의 활용 (9·10·14·20번) — 4문항, 전부 중상

9번 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 10번 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이, 14번 움직인 거리, 20번 두 곡선 사이의 넓이.

10번은 역함수를 직접 구하지 않고 y=x에 대한 대칭으로 넓이를 옮겨 계산하는 유형입니다. 14번은 두 점의 위치를 각각 적분해 만나는 시각을 구한 뒤 움직인 거리를 계산합니다. 20번은 두 곡선의 교점 세 개를 기준으로 넓이를 나눠 구합니다.

주의 문항

19번 상 (도함수가 주어질 때 함수 구하기) — 연속 조건으로 적분상수를 맞추는 과정이 핵심입니다.

13·17번 중상 (실근·교점의 개수) — 극값의 위치를 그림으로 그려 놓고 세는 습관이 필요합니다.

10번 중상 (역함수와 y=x 대칭 넓이) — 대칭을 쓰지 않으면 계산이 길어집니다.

14번 중상 (두 점의 움직인 거리) — 위치의 변화량과 움직인 거리를 구분해야 합니다.

과천고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 증가·감소와 극대·극소의 기본 — 1·4·5번 대비. 확보 구간.
2. 속도·가속도와 운동 방향 — 6·7번 대비.
3. 부정적분의 계산과 접선의 기울기 — 2번 대비.
4. 정적분의 계산, 구간별 함수의 정적분 — 18번 대비.
5. 정적분을 포함한 등식 — 3번 대비.
6. 부등식이 항상 성립할 조건 — 8번 대비.
7. ★ 삼차함수가 증가할 조건(판별식) — 12번 대비.
8. ★ f(x)=k의 실근 개수, 두 그래프의 교점 개수 — 13·17번 대비.
9. 사차함수의 극값 조건 — 16번 대비.
10. 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 15번 대비.
11. ★ 위치와 움직인 거리 — 9·14번 대비.
12. 역함수 대칭 넓이, 두 곡선 사이의 넓이 — 10·20번 대비.
13. 도함수의 적분과 연속 조건 — 19번 대비.

자주 나오는 질문

과천고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항이고, 전 문항 선택형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

도함수의 활용 (2)와 (3)이 각 5문항으로 가장 많습니다. 정적분의 활용 4문항, 부정적분 3문항, 정적분 3문항입니다. 미분과 적분이 10문항씩 나왔습니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 19번 한 문항입니다. 대신 중상이 10문항이고, 그중 아홉 개가 9~17번에 연속으로 배치되어 있습니다.

쉬운 문항은 어디에 있나요?

1~8번이 하 1문항, 중 7문항입니다. 여기에 18번(중)까지 아홉 문항이 확보 구간입니다.

과년도 과천고 기출도 볼 수 있나요?

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