가운고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

가운고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 문항이 배치된 단원은 도함수의 활용 · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용입니다. 이 시험의 특징은 중 난이도가 13문항으로 절반을 넘는다는 점, 그리고 상 난이도 두 문항이 모두 마지막 서술형(20·21번) 이라는 점입니다.

핵심 요약

• 21문항 — 1~18번 선택형, 19~21번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 0 / 중 13 / 중상 6 / 상 2
• 배치 단원: 도함수의 활용 (2) 5 / 도함수의 활용 (3) 5 / 정적분 4 / 부정적분 3 / 정적분의 활용 3 / 도함수의 활용 (1) 1
• 두 번씩 나온 유형: 속도·가속도와 운동 방향(5·14번), 위치와 위치의 변화량(10·13번), 함수의 최대·최소(12·21번)
• 상 난이도: 20·21번(둘 다 서술형)

가운고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

가운고등학교는 경기도 남양주시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항이고, 분석표의 정답 기록을 보면 1~18번은 선택형, 19~21번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

배치 단원으로 묶으면 미분 파트 11문항(도함수의 활용 (1)·(2)·(3)), 적분 파트 10문항(부정적분 3 · 정적분 4 · 정적분의 활용 3) 입니다. 미분과 적분이 거의 반반입니다.

1번이 롤의 정리로 시작합니다. 도함수의 활용 (1) 단원에서 나온 유일한 문항입니다. 이후 2~4번은 적분 계산, 5·6번은 운동으로 넘어가며 번호마다 파트가 바뀝니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 13문항, 상 2문항

1~8번 여덟 문항이 전부 중입니다. 하 난이도는 없지만 앞부분이 고르게 중이라, 여기서 실수 없이 빠르게 넘어가는 것이 이 시험의 첫 번째 목표입니다.

중상 6문항(9·12·13·16·18·19번)은 중간중간 흩어져 있습니다. 한 구간에 몰려 있지 않아서, 앞에서 막히면 그 자리에서 시간이 새기 쉽습니다. 막히는 중상 문항은 표시해 두고 넘어갔다가 돌아오는 편이 낫습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 11문항

도함수의 활용 (2)·(3)이 각 5문항으로 가장 많습니다. 극대·극소와 운동·방정식이 시험의 뼈대입니다.

정적분 4문항 중 21번이 상 난이도 서술형입니다. 함수의 최대·최소로 새 함수를 정의한 뒤 정적분하는 복합형이라, 미분과 적분을 모두 써야 합니다.

반복 유형

• 속도·가속도와 운동 방향 — 5·14번 (둘 다 중)
• 위치와 위치의 변화량 — 10번 중, 13번 중상
• 함수의 최대·최소 — 12번 중상, 21번 상(서술형)

운동 관련 문항이 5·6·10·13·14번 다섯 개입니다. 속도·가속도(미분 쪽)와 위치·거리(적분 쪽)가 단원을 넘어 이어지니, 위치 → 미분 → 속도 → 미분 → 가속도, 속도 → 적분 → 위치 흐름을 한 번에 정리해 두면 다섯 문항을 함께 대비할 수 있습니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 극대·극소와 최대·최소 (8·9·11·12·20번) — 5문항

8번 중 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 9번 중상 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소, 11번 중 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 가질 조건, 12번 중상 함수의 최대·최소, 20번 상 최대·최소의 활용(부피, 서술형).

9번은 두 함수의 도함수 차가 주어진 형태로 기록돼 있습니다. 도함수 그래프에서 부호가 바뀌는 점을 읽어 극대·극소를 판정하는 것이 핵심입니다.

12번은 닫힌 구간에서 최대·최소입니다. 구간 끝점의 함숫값과 내부 극값을 모두 비교해야 하고, 끝점을 빠뜨리는 실수가 잦습니다.

20번은 정사각뿔 안에 직육면체를 넣었을 때 부피의 최댓값을 묻는 서술형입니다. 단면의 닮음비로 높이를 밑변 길이로 나타내 부피를 한 변수의 함수로 만드는 것이 첫 단계입니다. 공간도형 그림을 단면으로 옮기는 연습이 필요합니다.

2. 운동과 방정식·부등식 (5·6·14·15·16번) — 5문항

5번 중 속도·가속도와 운동 방향, 6번 중 가속도, 14번 중 속도·가속도와 운동 방향, 15번 중 부등식이 항상 성립할 조건(최대·최소의 활용), 16번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.

5번은 그래프를 보고 가속도가 0인 시각과 운동 방향이 바뀌는 시각을 구별하는 문항입니다. 14번은 운동 방향이 두 번 바뀌려면 속도가 서로 다른 두 양수 근을 가져야 한다는 조건이 핵심이고, 중근이면 방향이 바뀌지 않는다는 점을 놓치면 안 됩니다.

16번은 절댓값이 씌워진 함수의 극대를 이용하는 실근 개수 문제입니다. |f(x)| 그래프를 그려 x축 아래 부분을 위로 접어 올린 뒤 직선 y=k와의 교점을 세는 순서로 접근합니다.

3. 정적분 (2·4·18·21번) — 4문항

2번 중 정적분의 계산(피적분함수가 같은 경우), 4번 중 정적분을 포함한 등식(아래끝과 위끝이 상수인 경우), 18번 중상 정적분의 계산(절댓값 기호를 포함한 함수), 21번 상 함수의 최대·최소 · 정적분의 계산(구간에 따라 다르게 정의된 함수, 서술형).

2번은 적분 구간의 위끝과 아래끝이 뒤바뀐 경우의 부호까지 처리해야 합니다. 구간을 합칠 때 순서를 잘못 맞추면 부호가 뒤집힙니다.

18번은 절댓값 함수의 정적분입니다. 절댓값 안이 0이 되는 점에서 구간을 나누는 것이 기본입니다.

21번은 움직이는 구간에서 최댓값을 함수로 정의하고, 그 함수를 구간별로 정적분하는 서술형입니다. 최댓값이 어느 점에서 나오는지 경우를 나누는 단계가 가장 어렵습니다.

4. 부정적분 (3·17·19번) — 3문항

3번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 17번 중 부정적분과 극대·극소, 19번 중상 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기(서술형).

19번 서술형은 함수와 그 부정적분 사이 관계식을 미분해 다항식 항등식으로 바꾸는 유형입니다. 계수 비교와 적분상수 결정까지 과정을 모두 써야 합니다.

5. 정적분의 활용 (7·10·13번) — 3문항

7번 중 곡선과 직선 사이의 넓이, 10번 중 위치와 위치의 변화량, 13번 중상 위치와 위치의 변화량.

10번과 13번은 구간별 속도를 적분해 위치나 거리를 구하는 문항입니다. 분석표 기록상 두 문항 모두 선지 단위(m, km/min 등)를 확인해야 하는 형태였습니다. 답을 구한 뒤 단위를 선지와 맞춰 보는 습관이 필요합니다.

6. 롤의 정리 (1번) — 중

1번 중 롤의 정리. 정리가 직접 적용되는 형태입니다. 조건(닫힌 구간 연속, 열린 구간 미분가능, 양 끝 함숫값이 같음)을 확인하고 도함수가 0이 되는 점을 구하면 됩니다.

주의 문항

9번 중상 (도함수 그래프와 극대·극소) — 앞쪽에 있는 첫 중상입니다.

12번 중상 (닫힌 구간의 최대·최소) — 끝점 비교를 빠뜨리기 쉽습니다.

16번 중상 (절댓값 함수와 실근의 개수) — 그래프를 접어 올리는 과정이 필요합니다.

18번 중상 (절댓값 함수의 정적분) — 구간 분할이 핵심입니다.

20번 상 (부피의 최댓값, 서술형) — 공간도형을 단면으로 옮기는 문항입니다.

21번 상 (최댓값 함수의 정적분, 서술형) — 경우 나누기와 구간별 적분이 이어집니다.

가운고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 롤의 정리 — 1번. 확보 구간입니다.
2. 정적분 계산과 구간의 부호 — 2번.
3. 도함수가 주어질 때 함수 구하기 — 3번.
4. 상수인 정적분을 k로 놓기 — 4번.
5. ★ 속도·가속도와 운동 방향 — 5·6·14번.
6. 곡선과 직선 사이의 넓이 — 7번.
7. 극대·극소와 미정계수 — 8·11번.
8. 도함수 그래프 해석 — 9번.
9. ★ 속도로 위치·거리 구하기 — 10·13번. 단위 확인까지.
10. 닫힌 구간의 최대·최소 — 12·15번.
11. 절댓값 함수와 실근의 개수 — 16번.
12. 부정적분과 극대·극소 — 17번.
13. 절댓값 함수의 정적분 — 18번.
14. 함수와 부정적분의 관계식 — 19번 서술형.
15. 부피의 최댓값 — 20번 서술형.
16. 최댓값 함수의 구간별 정적분 — 21번 서술형.

자주 나오는 질문

가운고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 21문항입니다. 1~18번은 선택형, 19~21번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 20·21번 서술형 두 문항입니다. 선택형에는 상이 없고 중상이 5문항(9·12·13·16·18번)입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (2)와 (3)이 각 5문항으로 가장 많습니다. 이어서 정적분 4문항, 부정적분 3문항, 정적분의 활용 3문항, 도함수의 활용 (1) 1문항입니다.

서술형은 어떤 단원에서 나왔나요?

19번은 부정적분, 20번은 도함수의 활용 (2)(부피의 최댓값), 21번은 정적분(최댓값 함수의 정적분)입니다.

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