부천고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

부천고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 문항이 배치된 단원은 미분계수와 도함수 · 도함수의 활용 · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용입니다. 이 시험의 특징은 적분 파트가 13문항으로 미분(7문항)의 거의 두 배라는 점, 그리고 상 난이도가 5문항이라는 점입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 1~17번 선택형, 18~20번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 2 / 중 9 / 중상 4 / 상 5
• 배치 단원: 정적분 6 / 부정적분 5 / 도함수의 활용 (3) 4 / 정적분의 활용 2 / 도함수의 활용 (2)·(1)·미분계수와 도함수 각 1
• 세 번 나온 유형: 부정적분과 극대·극소(15·17·19번)
• 상 난이도: 14·15·18·19·20번

부천고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

부천고등학교는 경기도 부천시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항이고, 분석표의 정답 기록을 보면 1~17번은 선택형, 18~20번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

배치 단원으로 묶으면 적분 파트 13문항(부정적분 5 · 정적분 6 · 정적분의 활용 2), 미분 파트 7문항(미분계수와 도함수 1 · 도함수의 활용 6) 입니다. 적분 쪽이 확실히 무겁습니다.

다만 적분 문항 안에도 극대·극소, 미분가능성, 실근의 개수 같은 미분 개념이 계속 섞여 나옵니다. 부정적분으로 함수를 구한 다음 그 함수의 극값을 묻는 식입니다. 단원 경계를 나눠서 공부하기보다 미분과 적분을 오가는 연습이 필요한 시험입니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 5문항

1~11번은 하·중으로만 구성돼 있습니다. 여기서 실수 없이 빠르게 넘어가는 것이 기본입니다.

12번부터 20번까지 아홉 문항은 전부 중상 이상이고, 그중 다섯 개가 상입니다. 선택형 안에서도 14·15번이 이미 상이고, 답을 직접 쓰는 18~20번 세 문항이 모두 상입니다. 이 시험의 등급은 후반 아홉 문항에서 갈립니다.

출제 단원 — 적분 13문항

정적분 6문항이 1~10번 앞쪽에 몰려 있고, 모두 하·중 난이도입니다. 반대로 부정적분 5문항은 2번을 빼면 전부 중상 이상입니다. 같은 적분이라도 정적분은 확보 구간, 부정적분은 승부 구간입니다.

도함수의 활용 (2)는 5번 한 문항뿐입니다. 극대·극소 개념은 부정적분 문항(15·17·19번) 안에서 주로 쓰였습니다.

시그니처 유형 — "부정적분과 극대·극소" 3회

부정적분과 극대·극소가 15번(상) · 17번(중상) · 19번(상, 서술형) 세 문항에서 쓰였습니다. 이 시험의 핵심 유형입니다.

세 문항의 공통 흐름은 도함수(또는 적분식)에서 원래 함수를 복원하고, 그 함수의 극대·극소 조건으로 미지수를 정하는 것입니다. 17번은 적분으로 정의된 함수를 미분해 인수의 부호를 따지고, 19번은 적분식의 대칭을 이용해 짝함수임을 밝히는 단계가 들어갑니다.

여기에 다음 유형이 두 번씩 겹칩니다.

• 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 — 12·20번
• 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 16·20번

20번 서술형은 미분가능성과 실근의 개수가 한 문항에 묶인 상 난이도입니다. 12번과 16번에서 쓴 개념이 마지막에 합쳐져 나온 셈입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분 (1·4·6·8·9·10번) — 6문항, 하·중

1번 하 정적분의 계산(적분 구간이 같은 경우), 4번 중 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분, 6번 중 우함수·기함수의 정적분, 8번 중 정적분을 포함한 등식(위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우), 9번 중 미적분의 기본정리, 10번 중 그래프와 정적분으로 정의된 함수.

8번은 피적분함수 안의 x를 적분 기호 밖으로 빼낸 뒤 양변을 미분하는 유형입니다. 이 정리 단계를 빠뜨리면 미분이 틀어집니다.

9번은 정적분으로 정의된 함수의 성질을 판정하는 문항이고, 10번은 도함수 그래프에서 양수 영역과 음수 영역의 넓이를 읽어 함숫값을 구하는 문항입니다. 둘 다 미적분의 기본정리를 정확히 이해하고 있는지를 봅니다.

2. 부정적분 (2·13·15·17·19번) — 5문항

2번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 13번 중상 부정적분과 미분의 관계를 이용하여 함수 구하기, 15번 상 부정적분과 극대·극소, 17번 중상 부정적분과 극대·극소, 19번 상 부정적분과 극대·극소(서술형).

13번은 두 다항함수의 차수를 먼저 비교해 정하는 문항입니다. 차수를 정하면 계수 비교가 훨씬 단순해집니다.

15번은 절댓값이 씌워진 함수의 극소점 개수 조건으로 함수를 결정합니다. 그래프의 대칭성을 찾아야 풀리는 문항입니다.

3. 운동·방정식·부등식 (3·7·16·20번) — 4문항

3번 하 속도·가속도와 운동 방향, 7번 중 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건, 16번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 20번 상 미분가능성 · 실근의 개수(서술형).

7번은 두 함수의 차를 하나로 놓고 그 최솟값이 양수인지 보는 표준 유형입니다. 구간이 x≥0으로 제한된 경우라 끝점과 내부 극소를 함께 비교해야 합니다.

16번은 원점 대칭인 삼차함수에서 y=k와의 교점 개수를 따지는 문항입니다.

20번은 |f(x)−t| 꼴 함수가 미분가능하지 않은 점의 개수를 다루며, 조건을 만족하는 경우를 모두 찾아 서술해야 하는 문항입니다.

4. 정적분의 활용 (11·18번) — 2문항

11번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 18번 상 곡선과 직선 사이의 넓이(서술형).

18번은 접선과 곡선 사이의 넓이입니다. 먼저 접선의 방정식을 구하고, 주어진 구간에서 접선과 곡선 중 어느 쪽이 위에 있는지 확인한 뒤 적분합니다. 서술형이라 위아래 판정 근거까지 써야 합니다.

5. 그 밖의 미분 문항 (5·12·14번)

5번 중 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 12번 중상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성, 14번 상 접선이 곡선과 다시 만나는 점.

5번은 그래프가 x축에 접한다는 조건을 함숫값=0, 미분계수=0 두 식으로 바꾸는 문항입니다.

14번은 선택형 안의 상 난이도입니다. 곡선 위 점에서 그은 접선이 곡선과 다시 만나는 점을 구하고, 그 점에서 다시 접선을 긋는 과정이 이어지며, 넓이 계산까지 들어갑니다. 단계가 많아 시간이 오래 걸립니다.

주의 문항 — 상 5문항

14번 상 (접선이 곡선과 다시 만나는 점) — 단계가 길어 선택형 중 시간 소모가 가장 큽니다.

15번 상 (부정적분과 극대·극소) — 절댓값 함수의 극소점 조건이 핵심입니다.

18번 상 (접선과 곡선 사이 넓이, 서술형) — 위아래 판정 근거를 써야 합니다.

19번 상 (부정적분과 극대·극소, 서술형) — 시그니처 유형의 서술형입니다.

20번 상 (미분가능성 · 실근의 개수, 서술형) — 경우를 모두 찾아야 하는 마지막 문항입니다.

부천고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 정적분 기본 계산 — 1번. 확보 구간입니다.
2. 속도와 운동 방향 — 3번.
3. 도함수가 주어질 때 함수 구하기 — 2번.
4. 절댓값 함수의 정적분, 우함수·기함수 — 4·6번.
5. x축에 접할 조건과 미정계수 — 5번.
6. 부등식이 항상 성립할 조건 — 7번.
7. ★ 정적분을 포함한 등식과 미적분의 기본정리 — 8·9·10번.
8. 곡선과 x축 사이의 넓이 — 11번.
9. 구간별 함수의 미분가능성 — 12번, 그리고 20번의 토대.
10. 부정적분과 미분의 관계(차수 비교) — 13번.
11. 접선이 곡선과 다시 만나는 점 — 14번.
12. ★ 부정적분과 극대·극소 — 15·17·19번. 이 시험의 시그니처.
13. 원점 대칭 삼차함수와 실근의 개수 — 16번.
14. 접선과 곡선 사이 넓이 — 18번 서술형.
15. 절댓값 함수의 미분가능성과 실근의 개수 — 20번 서술형.

자주 나오는 질문

부천고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 1~17번은 선택형, 18~20번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도가 5문항(14·15·18·19·20번) 입니다. 선택형에 둘, 서술형에 셋입니다. 12번부터 20번까지 아홉 문항이 모두 중상 이상입니다.

미분과 적분 중 어디가 더 많이 나왔나요?

배치 단원 기준 적분 13문항, 미분 7문항입니다. 정적분 6문항, 부정적분 5문항이 가장 많습니다.

가장 많이 반복된 유형은 무엇인가요?

부정적분과 극대·극소가 15·17·19번 세 문항에서 나왔습니다.

과년도 부천고 기출도 볼 수 있나요?

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