상원고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

상원고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 문항이 배치된 단원은 도함수의 활용 · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용입니다. 이 시험의 특징은 중상이 12문항으로 절반을 넘는다는 점, 그리고 두 곡선 사이의 넓이가 세 번(9·16·21번) 나왔다는 점입니다.

핵심 요약

• 21문항 — 1~18번 선택형, 19~21번은 답을 직접 쓰는 형태(19·21번은 소문항 포함)
• 난이도: 하 1 / 중 6 / 중상 12 / 상 2
• 배치 단원: 도함수의 활용 (3) 6 / 정적분 4 / 부정적분 4 / 정적분의 활용 4 / 도함수의 활용 (2) 3
• 세 번 나온 유형: 두 곡선 사이의 넓이(9·16·21번), 함수의 극대·극소(11·14·15번)
• 상 난이도: 19·21번(둘 다 서술형)

상원고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

상원고등학교는 경기도 부천시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항이고, 분석표의 정답 기록을 보면 1~18번은 선택형, 19~21번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

배치 단원으로 묶으면 적분 파트 12문항(부정적분 4 · 정적분 4 · 정적분의 활용 4), 미분 파트 9문항(도함수의 활용 (2) 3 · (3) 6) 입니다. 적분이 조금 더 많습니다.

이 시험은 같은 유형이 여러 번 반복되는 구조입니다. 21문항 중 일곱 개 유형이 두 번 이상 나왔습니다. 유형별로 묶어서 공부하면 효율이 높은 시험입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 12문항

중상이 12문항입니다. 상은 두 문항뿐이지만, 하·중이 합쳐 7문항밖에 안 되니 체감 난도는 높은 시험입니다.

3번이 벌써 중상입니다. 앞쪽부터 긴장해야 하고, 14~18번은 다섯 문항 연속 중상입니다. 하 난이도는 1번 하나뿐이라 확보 구간이 짧습니다. 중 6문항(2·4·5·7·8·13번)은 반드시 지켜야 합니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (3) 6문항

도함수의 활용 (3)이 6문항으로 가장 많고, 나머지 네 단원은 3~4문항씩입니다. 도함수의 활용 (3) 안에는 속도·운동 3문항(5·7·17번)과 방정식·부등식 3문항(12·13·18번) 이 들어 있습니다.

시그니처 유형 — "두 곡선 사이의 넓이" 3회

두 곡선 사이의 넓이가 9번(중상) · 16번(중상) · 21번(상, 서술형) 세 문항에서 나왔습니다.

• 9번은 두 곡선이 세 점에서 만나는 경우입니다. 교점 사이 구간마다 위아래가 바뀌니 구간을 나눠 적분해야 합니다.
• 16번은 구간에 따라 식이 다른 함수와 다른 곡선 사이의 넓이로, 접합점의 연속과 접점 조건이 함께 들어갑니다.
• 21번은 두 접선이 수직이라는 조건으로 점을 정한 뒤, 접선과 곡선이 만드는 영역의 넓이를 구하는 서술형입니다.

세 문항 모두 교점(또는 접점) 찾기 → 위아래 판정 → 구간별 적분이라는 같은 순서를 밟습니다. 이 순서를 몸에 익히면 세 문항을 한꺼번에 대비할 수 있습니다.

그 밖의 반복 유형

• 함수의 극대·극소 — 11·14·15번 (셋 다 중상)
• 속도·가속도와 운동 방향 — 7번 중, 17번 중상
• 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 12·18번 (둘 다 중상)
• 도함수가 주어질 때 함수 구하기 — 2번 중, 15번 중상
• 부정적분과 미분의 관계를 이용하여 함수 구하기 — 19번 상, 20번 중상 (둘 다 서술형)
• 정적분을 포함한 등식(위끝에 변수가 있는 경우) — 4번 중, 10번 중상

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 방정식·부등식 (12·13·18번) — 3문항

12번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 13번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건, 18번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.

12번은 절댓값이 씌워진 함수와 y=k의 교점 개수를 셉니다. 극댓값·극솟값과 0을 경계로 k의 범위를 나눠야 합니다.

18번은 그래프의 세 부분과 모두 만나는 직선의 조건을 다룹니다. 직선의 기울기 범위를 그래프의 꺾이는 점과 비교하는 문항입니다.

2. 속도와 운동 (5·6·7·17번) — 4문항

5번 중 속도, 6번 중상 움직인 거리(정적분의 활용), 7번 중 속도·가속도와 운동 방향, 17번 중상 속도·가속도와 운동 방향.

6번은 속도의 절댓값을 적분하는 움직인 거리입니다. 속도의 부호가 바뀌는 시각에서 구간을 나누는 것을 잊으면 위치의 변화량을 구하게 됩니다.

7번은 두 점의 속도를 각각 적분해 위치 차를 구하는 형태이고, 17번은 두 점이 같은 방향으로 움직이는 구간 조건으로 속도의 계수를 정하는 형태입니다.

3. 극대·극소 (3·11·14·15번) — 4문항, 전부 중상

3번 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 11번 함수의 극대·극소, 14번 함수의 극대·극소, 15번 함수의 극대·극소 · 도함수가 주어질 때 함수 구하기.

네 문항이 모두 중상입니다. 3번은 극대점 조건으로 계수를 정한 뒤 다른 임계점이 극소인지까지 확인하는 형태입니다. 11번은 도함수의 대칭축을, 14번은 두 함수의 교점 개수와 극값을 함께 다룹니다. 15번은 도함수에서 함수를 복원한 뒤 극솟값 후보를 비교하는 문항입니다.

4. 정적분 (1·4·8·10번) — 4문항

1번 하 정적분의 계산, 4번 중 정적분을 포함한 등식(위끝에 변수가 있는 경우), 8번 중 정적분을 포함한 등식(위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우), 10번 중상 4번과 같은 유형.

4번과 10번이 같은 유형입니다. 위끝에 x가 있는 등식에서 x에 아래끝 값을 대입하면 0, 양변을 미분하면 f(x) 라는 두 가지 도구가 기본입니다. 10번은 여기서 구한 함수로 방정식의 실근과 근의 합까지 이어집니다.

5. 부정적분 서술형 (19·20번)

19번 상 부정적분과 미분의 관계를 이용하여 함수 구하기(소문항 포함), 20번 중상 같은 유형.

19번은 중근을 갖는 항등식과 극값 조건으로 계수를 정하는 서술형이고, 20번은 극한 조건으로 함수의 차수와 계수를 정하는 서술형입니다. 두 문항 모두 조건을 식으로 옮기는 과정을 순서대로 써야 합니다.

주의 문항

3번 중상 (극대·극소와 미정계수) — 시험지 앞쪽의 첫 고비입니다.

9번 중상 (세 교점과 넓이) — 구간 분할을 빠뜨리기 쉽습니다.

14~18번 중상 다섯 문항 — 연속으로 이어져 시간 관리가 중요합니다.

19번 상 (항등식과 극값, 서술형) — 소문항을 순서대로 풀어야 합니다.

21번 상 (두 접선과 넓이, 서술형) — 시그니처 유형의 최고 난도입니다.

상원고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 정적분 기본 계산 — 1번. 확보 구간입니다.
2. ★ 도함수가 주어질 때 함수 구하기 — 2·15번.
3. 위끝에 변수가 있는 정적분 등식 — 4·8·10번.
4. 속도와 위치, 움직인 거리 — 5·6·7번.
5. 극대·극소와 미정계수 — 3번.
6. 극대·극소 심화 — 11·14번.
7. ★ 두 곡선 사이의 넓이 — 9·16·21번. 교점 → 위아래 → 구간별 적분.
8. 실근의 개수 — 12·18번.
9. 부등식이 항상 성립할 조건 — 13번.
10. 운동 방향 조건 — 17번.
11. 부정적분과 미분의 관계 — 19·20번 서술형.

자주 나오는 질문

상원고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 21문항입니다. 1~18번은 선택형, 19~21번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 19·21번 서술형 두 문항입니다. 하지만 중상이 12문항이라 선택형도 쉽지 않습니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (3)이 6문항으로 가장 많습니다. 정적분·부정적분·정적분의 활용이 각 4문항, 도함수의 활용 (2)가 3문항입니다.

가장 많이 반복된 유형은 무엇인가요?

두 곡선 사이의 넓이(9·16·21번) 와 함수의 극대·극소(11·14·15번) 가 각 세 번씩 나왔습니다.

과년도 상원고 기출도 볼 수 있나요?

내신판은 확보된 원문만 제공합니다. 찾는 시험지가 없으면 내신판에서 요청할 수 있습니다.

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