영복여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

영복여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 문항이 배치된 단원은 미분계수와 도함수 · 도함수의 활용 · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용입니다. 이 시험의 특징은 하 5문항 · 중 11문항으로 앞부분이 무난한 대신, 상 난이도 세 문항이 19번과 마지막 서술형 21·22번에 놓여 있다는 점입니다.

핵심 요약

• 22문항 — 1~20번 선택형, 21·22번은 답을 직접 쓰는 형태(21번은 소문항 포함)
• 난이도: 하 5 / 중 11 / 중상 3 / 상 3
• 배치 단원: 정적분 6 / 도함수의 활용 (2) 6 / 도함수의 활용 (3) 5 / 부정적분 2 / 정적분의 활용 2 / 미분계수와 도함수 1
• 두 번 나온 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(17·20번)
• 상 난이도: 19·21·22번

영복여고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

영복여자고등학교는 경기도 수원시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항이고, 분석표의 정답 기록을 보면 1~20번은 선택형, 21·22번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

배치 단원으로 묶으면 미분 파트 12문항(미분계수와 도함수 1 · 도함수의 활용 11), 적분 파트 10문항(부정적분 2 · 정적분 6 · 정적분의 활용 2) 입니다.

정적분의 활용(넓이·거리)은 11번과 21번 두 문항뿐입니다. 대신 정적분 자체를 다루는 문항이 6개로 많습니다. 넓이 계산보다 정적분의 성질과 계산을 더 꼼꼼히 준비해야 하는 시험입니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 5 · 중 11 · 중상 3 · 상 3

1~12번은 하·중으로만 구성돼 있습니다. 하 5문항이 모두 이 구간에 있어 초반에 점수를 쌓기 좋습니다.

13번부터는 중상과 중이 섞여 나오다가, 18~22번 다섯 문항이 모두 중상 이상입니다. 19번은 선택형 안의 상 난이도이고, 21·22번 서술형도 둘 다 상입니다. 마지막 다섯 문항에 시간을 충분히 남겨 두는 것이 핵심입니다.

출제 단원 — 정적분·도함수의 활용 (2) 각 6문항

정적분과 도함수의 활용 (2)가 각 6문항으로 가장 많습니다. 정적분 6문항 중 1·12번은 하, 18번은 중상이라 난도 폭이 넓습니다.

도함수의 활용 (2)의 19번이 상입니다. 극대·극소 단원이 선택형의 최고 난도를 맡은 셈입니다.

반복 유형 — 실근의 개수 2회

22문항 중 두 번 나온 유형은 "방정식 f(x)=k의 실근의 개수" 하나입니다(17번 중, 20번 중상). 나머지는 모두 다른 유형이라 유형이 넓게 퍼진 시험입니다.

17번은 원점 대칭인 삼차함수에 절댓값을 씌운 그래프에서 실근이 4개가 되는 조건을, 20번은 대칭축이 있는 사차함수에서 조건을 만족하는 정수 k를 다룹니다. 두 문항 모두 그래프의 대칭성을 먼저 찾고 y=k를 위아래로 움직여 보는 방식으로 풉니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분 (1·6·8·9·12·18번) — 6문항

1번 하 정적분의 계산(적분 구간이 같은 경우), 6번 중 정적분을 포함한 등식(위끝에 변수가 있는 경우), 8번 중 정적분의 계산(피적분함수가 같은 경우), 9번 중 우함수·기함수의 정적분, 12번 하 정적분을 포함한 등식(위끝과 아래끝이 상수인 경우), 18번 중상 주기함수의 정적분.

8번은 피적분함수가 같은 여러 정적분을 구간끼리 합치는 문항입니다. 적분 구간의 위끝과 아래끝이 뒤바뀐 경우 부호를 바꿔 주는 것을 잊지 마세요.

9번은 그래프에서 극점·절편·극솟값을 읽어 함수를 정한 뒤 우함수·기함수 성질로 적분하는 형태입니다.

18번은 주기함수의 정적분으로, 각 구간의 접합점에서 연속 조건을 쓰고 구간별 적분값을 더해 가는 문항입니다.

2. 극대·극소와 증가·감소 (3·4·7·13·14·19번) — 6문항

3번 중 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 4번 하 함수의 증가와 감소, 7번 중 함수의 극대·극소, 13번 중상 삼차함수가 주어진 구간에서 극값을 가질 조건, 14번 중 최대·최소의 활용(부피), 19번 상 함수의 극대·극소의 활용.

7번은 극대·극소에 관한 진술을 판정하는 문항입니다. 극댓값이 극솟값보다 항상 크다는 착각을 반례로 깨는 내용이 들어 있습니다.

13번은 주어진 구간 안에서 극값을 가질 조건입니다. 도함수(이차식)가 그 구간에서 서로 다른 두 근을 갖도록 판별식 · 축의 위치 · 양 끝 함숫값의 부호 세 조건을 모두 세워야 합니다.

14번은 원뿔 안에 원기둥을 넣는 부피 최대입니다. 닮음비로 높이를 반지름으로 나타내는 것이 첫 단계입니다.

19번은 열린 구간에서 극값의 개수가 바뀌는 조건으로 도함수를 결정하는 상 난이도 문항입니다. 구간을 움직이며 극값이 들어오고 나가는 순간을 추적해야 합니다.

3. 운동·방정식·부등식 (5·10·17·20·22번) — 5문항

5번 하 속도, 10번 하 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건(증가·감소의 활용), 17번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 20번 중상 같은 유형, 22번 상 접선의 개수(서술형).

22번은 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선이 세 개가 되는 조건을 서술하는 문항입니다. 접점의 x좌표를 t로 놓으면 t에 대한 삼차방정식이 되고, 그 방정식이 서로 다른 세 실근을 갖는 조건으로 바뀝니다. 접선 문제가 실근의 개수 문제로 바뀌는 과정을 서술해야 합니다.

4. 부정적분 (2·16번) — 2문항, 둘 다 중

2번 부정적분과 미분의 관계를 이용하여 함수 구하기, 16번 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기. 양변을 미분해 다항식 항등식으로 바꾸고 계수를 비교하는 같은 원리입니다.

5. 정적분의 활용 (11·21번)

11번 중 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 21번 상 움직인 거리(서술형, 소문항 포함).

21번은 두 점의 위치를 속도의 적분으로 구하고, 두 점이 만나는 시각과 움직인 거리까지 이어지는 서술형입니다. 속도의 부호가 바뀌는 시각에서 구간을 나눠야 움직인 거리가 맞게 나옵니다.

6. 미분가능성 (15번) — 중

15번 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성. 사차함수로 만든 함수에서 미분가능하지 않은 점의 개수를 따지는 형태로 기록돼 있습니다.

주의 문항

13번 중상 (구간 안에서 극값을 가질 조건) — 조건 세 개를 모두 세워야 합니다.

18번 중상 (주기함수의 정적분) — 구간별 연속 조건이 핵심입니다.

19번 상 (극값 개수의 변화) — 선택형 최고 난도입니다.

20번 중상 (사차함수와 실근의 개수) — 17번의 심화형입니다.

21번 상 (두 점의 만남과 움직인 거리, 서술형) — 소문항을 순서대로 풀어야 합니다.

22번 상 (접선의 개수, 서술형) — 접선 문제를 실근 문제로 바꾸는 과정을 써야 합니다.

영복여고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 정적분 기본 계산과 상수 정적분 — 1·12번. 확보 구간입니다.
2. 증가·감소, 속도 — 4·5번.
3. 부등식이 항상 성립할 조건 — 10번.
4. 부정적분과 미분의 관계 — 2·16번.
5. 극대·극소와 미정계수 — 3·7번.
6. 위끝에 변수가 있는 정적분 등식 — 6번.
7. 정적분 구간 합치기와 우함수·기함수 — 8·9번.
8. 곡선과 접선 사이 넓이 — 11번.
9. 구간 안에서 극값을 가질 조건 — 13번.
10. 부피의 최댓값 — 14번.
11. 미분가능하지 않은 점 찾기 — 15번.
12. ★ 실근의 개수 — 17·20번. 대칭성 먼저.
13. 주기함수의 정적분 — 18번.
14. 극값 개수의 변화 — 19번.
15. 두 점의 위치와 움직인 거리 — 21번 서술형.
16. ★ 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 개수 — 22번 서술형.

자주 나오는 질문

영복여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 1~20번은 선택형, 21·22번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 19·21·22번 세 문항입니다. 선택형에 하나, 서술형에 둘입니다. 18~22번 다섯 문항이 모두 중상 이상입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분과 도함수의 활용 (2)가 각 6문항으로 가장 많습니다. 도함수의 활용 (3) 5문항, 부정적분 2문항, 정적분의 활용 2문항, 미분계수와 도함수 1문항입니다.

미분과 적분 중 어디가 더 많이 나왔나요?

배치 단원 기준 미분 12문항, 적분 10문항입니다.

과년도 영복여고 기출도 볼 수 있나요?

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