장안고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

장안고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (2) · 도함수의 활용 (3) · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용 다섯 개입니다. 이 시험의 특징은 상 난이도가 없고 중 난이도가 10문항으로 절반이라는 점, 그리고 "방정식 f(x)=k의 실근의 개수"가 세 번(10·12·20번) 나왔다는 점입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 1~18번은 선택형, 19·20번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 5 / 중 10 / 중상 5 / 상 0
• 배치 단원: 도함수의 활용 (3) 6 / 정적분 5 / 도함수의 활용 (2) 4 / 정적분의 활용 3 / 부정적분 2
• 최다 반복 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 3회(10·12·20번)
• 가장 까다로운 구간: 17~20번 네 문항이 전부 중상

장안고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

장안고등학교는 경기도 수원시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항입니다. 정답 기록을 보면 1~18번은 ①~⑤ 번호, 19·20번은 분수와 자연수로 적혀 있어 마지막 두 문항이 답을 직접 쓰는 형태입니다.

미분과 적분이 한 시험지에 섞여 있습니다. 미분 쪽(도함수의 활용 (2)·(3))이 10문항, 적분 쪽(부정적분·정적분·정적분의 활용)이 10문항으로 정확히 반반입니다.

배치 순서는 단원 순이 아닙니다. 1·2번이 정적분, 3번이 부정적분으로 시작한 뒤 4번부터 다시 도함수로 돌아갑니다. 이후에도 8번 정적분, 13번 정적분의 활용, 16번 부정적분처럼 단원이 계속 교차합니다. 어느 단원을 먼저 끝내 두고 들어가는 전략이 통하지 않는 배치입니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 0문항, 중 10문항

상 난이도가 한 문항도 없습니다. 대신 중 난이도가 절반을 차지합니다. 손도 못 댈 문항은 없지만, 중 난이도 10문항에서 실수 한두 개가 그대로 등급 차이로 이어지는 구조입니다.

하 난이도 5문항은 전부 7번 이전에 있습니다. 그리고 중상 5문항 중 4개가 17~20번에 몰려 있습니다. 앞에서 시간을 아끼고 뒤 네 문항에 집중하는 흐름이 맞습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (3)이 6문항으로 최다

도함수의 활용 (3) 이 6문항으로 가장 많습니다. 이 단원에는 방정식의 실근 개수, 부등식이 항상 성립할 조건, 속도와 거리 같은 "미분을 도구로 쓰는" 유형이 들어 있습니다. 그리고 마지막 20번도 이 단원입니다.

적분 쪽에서는 정적분이 5문항으로 가장 무겁습니다. 정적분을 포함한 등식, 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소와 극대·극소가 모두 이 단원에서 나왔습니다.

시그니처 유형 — "방정식 f(x)=k의 실근의 개수" 3회

이 시험에서 가장 자주 쓰인 유형은 방정식 f(x)=k의 실근의 개수입니다. 10·12·20번 세 문항에 들어 있습니다.

• 10번 중 — 도함수의 그래프를 이용한 극대·극소와 결합
• 12번 중 — 절댓값이 붙은 함수에서 실근 개수 경계 찾기
• 20번 중상 — 답을 직접 쓰는 마지막 문항

세 문항 모두 핵심은 같습니다. y=f(x)의 그래프와 직선 y=k의 교점 개수로 바꿔 생각하고, 극댓값·극솟값이 경계가 된다는 것입니다. 극값을 정확히 구하는 계산력이 세 문항을 한꺼번에 좌우합니다.

여기에 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건이 7번(하)과 17번(중상) 두 번 나왔습니다. 같은 유형이 난이도만 바꿔 앞뒤로 배치된 경우입니다. 7번에서 두 함수의 차를 하나의 함수로 놓고 최솟값을 따지는 절차를 익혀 두면 17번에서 그대로 확장할 수 있습니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (2) — 증가·감소와 극값 (4·5·6·9번)

4번 하 함수의 증가와 감소, 5번 하 실수 전체에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 6번 중 극대·극소를 이용한 미정계수 결정, 9번 중 최대·최소의 활용(부피).

5번은 판별식 문제입니다. 삼차함수가 실수 전체에서 감소하려면 도함수(이차식)의 판별식이 0 이하여야 합니다. 등호 포함 여부를 놓치지 않는 것이 포인트입니다.

9번은 입체도형 안에 원기둥을 넣고 부피의 최댓값을 구하는 활용 문제입니다. 길이 사이의 관계를 식으로 세운 뒤 부피를 한 변수의 함수로 만들고 미분합니다.

2. 도함수의 활용 (3) — 방정식·부등식·속도 (7·10·11·12·17·20번)

7번 하 부등식이 항상 성립할 조건, 10번 중 도함수의 그래프 + 실근의 개수, 11번 중 정지하는 물체의 속도와 움직인 거리, 12번 중 실근의 개수, 17번 중상 부등식이 항상 성립할 조건, 20번 중상 실근의 개수.

11번은 속도 그래프를 해석하는 문항입니다. 가속·등속·감속 구간이 나뉜 상황에서 움직인 거리 = 속도 그래프 아래 넓이라는 관계로 식을 세웁니다.

17번은 부등식이 두 방향에서 걸린 형태입니다. 위쪽 경계와 아래쪽 경계를 각각 따로 구한 뒤, 조건을 만족하는 정수의 개수를 세는 3단계 구조입니다.

3. 부정적분 (3·16번)

3번 하 부정적분과 미분의 관계, 16번 중 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기.

3번은 ㄱ·ㄴ·ㄷ 판별형입니다. 부정적분 기호와 미분 기호의 순서가 바뀌면 적분상수가 남는지 사라지는지가 핵심입니다.

4. 정적분 (1·2·8·14·18번)

1번 하 적분 구간이 같은 경우의 계산, 2번 중 위끝에 변수가 있는 정적분 등식, 8번 중 아래끝·위끝이 상수인 정적분 등식, 14번 중 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 18번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소.

2번과 8번은 정적분 등식의 두 대표 유형입니다. 2번처럼 위끝에 x가 있으면 양변을 미분하고, 8번처럼 구간이 상수이면 정적분 값을 상수로 놓고 풉니다. 두 방법을 구분하지 못하면 둘 다 막힙니다.

18번은 구간에 따라 식이 달라지는 함수를 다룹니다. 정적분으로 정의된 함수를 미분하면 원래 함수가 나오고, 그 부호 변화로 극값을 판단합니다.

5. 정적분의 활용 (13·15·19번) — 3문항 중 2문항이 중상

13번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이, 15번 중 함수와 역함수의 그래프의 대칭을 이용한 넓이, 19번 중상 두 곡선 사이의 넓이(서답형).

15번은 역함수의 대칭성을 이용합니다. 함수와 역함수의 그래프는 직선 y=x에 대해 대칭이므로, 넓이를 직접 적분하지 않고 대칭으로 옮겨 계산합니다.

19번은 답을 직접 쓰는 넓이 문제입니다. 두 곡선의 교점을 먼저 구하고, 구간마다 어느 곡선이 위에 있는지 확인한 뒤 나눠서 적분합니다.

주의 문항 — 중상 5문항

13번 중상 (곡선과 x축 사이의 넓이) — 도함수의 그래프에서 원래 함수를 복원한 뒤 넓이를 구하는 3단계입니다.

17번 중상 (부등식이 항상 성립할 조건) — 위·아래 두 방향의 경계를 모두 구해야 합니다.

18번 중상 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 구간별로 식이 바뀌는 함수라 경우 나누기가 필요합니다.

19번 중상 (두 곡선 사이의 넓이) — 서답형이라 계산 실수가 바로 감점입니다.

20번 중상 (실근의 개수) — 극한 조건에서 함숫값과 미분계수를 읽어낸 뒤 실근 개수 조건을 적용합니다.

장안고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 도함수의 부호와 증가·감소 — 4·5번 대비. 판별식 등호 처리까지.
2. 극대·극소를 이용한 미정계수 결정 — 6번 대비.
3. 최대·최소의 활용(도형) — 9번 대비. 한 변수 함수로 만드는 연습.
4. ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 10·12·20번 대비. 이 시험의 시그니처.
5. ★ 부등식이 항상 성립할 조건 — 7·17번 대비. 차함수의 최솟값.
6. 속도 그래프와 움직인 거리 — 11번 대비.
7. 부정적분과 미분의 관계 — 3·16번 대비. 적분상수 처리.
8. 정적분 등식 두 유형 구분 — 2·8번 대비. 미분할지, 상수로 놓을지.
9. 정적분으로 정의된 함수의 극값·최대최소 — 14·18번 대비.
10. 곡선과 x축, 두 곡선 사이의 넓이 — 13·19번 대비.
11. 역함수 대칭을 이용한 넓이 — 15번 대비.

자주 나오는 질문

장안고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 1~18번은 선택형, 19·20번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (3)이 6문항으로 가장 많습니다. 이어서 정적분 5문항, 도함수의 활용 (2) 4문항, 정적분의 활용 3문항, 부정적분 2문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 한 문항도 없습니다. 실질적인 최고 난도는 중상 5문항(13·17·18·19·20번)이고, 그중 네 개가 17번 이후에 있습니다.

미분과 적분 중 어디가 더 많이 나오나요?

정확히 10문항씩 반반입니다. 미분 쪽은 도함수의 활용 (2)·(3), 적분 쪽은 부정적분·정적분·정적분의 활용입니다.

과년도 장안고 기출도 볼 수 있나요?

내신판은 확보된 원문만 제공합니다. 찾는 시험지가 없으면 내신판에서 요청할 수 있습니다.

장안고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ 기출 받아보기

2025학년 장안고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 원문은 내신판에서 바로 확인할 수 있습니다. 원문과 함께 같은 유형·다른 숫자의 변형 문제도 제공됩니다.

📚 장안고 전체 기출이 궁금하다면?

👉 내신판에서 장안고등학교 기출 전체 보기

가입만 해도 무료 20 크레딧 지급, 바로 다운로드 가능합니다.

(경기 수원시 지역 학원 강사·학원장이시라면 인근 고등학교 기출을 한 번에 확보해 수업 준비 시간을 줄일 수 있습니다.)