성문고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

성문고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (3) · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용이 중심이고, 19번 한 문항이 도함수의 활용 (2) 에 배치됐습니다. 이 시험의 특징은 "위끝에 변수가 있는 정적분 등식"이 네 번(5·14·18·20번) 나왔다는 점, 그리고 1~6번이 전부 하, 13번 이후 8문항 중 7문항이 중상으로 난이도가 번호 순서를 그대로 따른다는 점입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 정답 기록이 모두 ①~⑤ 번호인 선택형
• 난이도: 하 6 / 중 7 / 중상 7 / 상 0
• 배치 단원: 도함수의 활용 (3) 7 / 정적분 7 / 정적분의 활용 4 / 부정적분 1 / 도함수의 활용 (2) 1
• 최다 반복 유형: 정적분을 포함한 등식(위끝에 변수) 4회(5·14·18·20번)
• 속도·위치 관련 문항이 5개(3·8·9·12·13번)

성문고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

성문고등학교는 경기도 안양시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항이고, 정답 기록이 모두 ①~⑤ 번호라 전 문항 선택형입니다.

단원 비중은 도함수의 활용 (3)과 정적분이 7문항씩으로 같습니다. 여기에 정적분의 활용 4문항, 부정적분 1문항, 도함수의 활용 (2) 1문항이 더해집니다.

분석표에서 19번(함수의 최대·최소)은 앞 단원 누적 문항으로 표시돼 있습니다. 시험 범위가 도함수의 활용 (3)부터라도, 도함수의 활용 (2)의 최대·최소 개념까지 다시 정리해 두는 편이 안전합니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 0문항, 중상 7문항

난이도가 번호 순서를 거의 그대로 따릅니다. 1~6번은 전부 하, 7~12번은 전부 중, 13번부터는 17번 하나를 빼고 모두 중상입니다.

이런 구조에서는 1~12번을 얼마나 빨리, 정확하게 끝내느냐가 승부입니다. 중상 7문항이 뒤에 몰려 있으니, 앞에서 아낀 시간이 그대로 뒷문항 풀이 시간이 됩니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (3)과 정적분 7문항씩

정적분 7문항 중 3문항(14·18·20번)이 중상이고, 세 문항 모두 정적분을 포함한 등식입니다.

도함수의 활용 (3) 7문항은 방정식의 실근, 부등식, 속도·가속도가 섞여 있습니다. 중상은 13·15번 두 문항입니다.

시그니처 유형 — 위끝에 변수가 있는 정적분 등식 4회

정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우가 5번(하) · 14번(중상) · 18번(중상) · 20번(중상) 네 문항에 쓰였습니다. 여기에 11번(중)은 피적분함수에도 변수가 있는 경우라, 사실상 같은 계열이 다섯 문항입니다.

기본 절차는 두 가지입니다.

• 양변을 x로 미분해 f(x)를 구한다
• 위끝과 아래끝이 같아지는 x를 대입해 정적분 값이 0이 되는 조건을 쓴다

5번은 이 두 단계로 끝나는 기본형이고, 14·18·20번은 여기에 다른 조건이 하나씩 얹혀 중상이 됐습니다. 14번은 곱의 미분으로 원래 함수를 복원, 18번은 정적분 값의 부호와 미분가능성 조건, 20번은 삼차방정식의 근의 판별이 결합된 형태입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 부정적분 (1번) — 하

1번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기. 주어진 함숫값으로 적분상수를 정하는 기본형입니다.

2. 도함수의 활용 (3) (2·7·8·9·13·15·17번)

2번 하 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 7번 중 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건, 8번 중 정지하는 물체의 속도와 움직인 거리, 9번 중 속도, 13번 중상 속도·가속도와 운동 방향, 15번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 17번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건.

2번과 15번은 같은 유형의 기본형과 응용형입니다. 2번은 극값에서 중근이 생겨 서로 다른 실근이 두 개가 되는 경계를 묻고, 15번은 사차함수의 대칭성과 감소 구간 조건을 이용해 함수를 먼저 결정한 뒤 실근 네 개의 조건을 따집니다.

13번은 ㄱ·ㄴ·ㄷ 판별형입니다. 두 점의 속도, 만나는 시각의 가속도, 운동 방향을 보기마다 따로 계산해야 합니다.

17번은 한쪽이 열린 구간에서 부등식이 성립할 조건입니다. 구간 끝에서 최솟값이 생기는지, 내부에서 생기는지를 구분해야 합니다.

3. 정적분 (4·5·10·11·14·18·20번)

4번 하 적분 구간이 같은 경우, 5번 하 위끝에 변수가 있는 등식, 10번 중 피적분함수가 같은 경우, 11번 중 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 등식, 14번 중상 위끝에 변수가 있는 등식, 18번 중상 위끝에 변수가 있는 등식, 20번 중상 삼차방정식의 근의 판별 + 위끝에 변수가 있는 등식.

10번은 적분 구간을 합쳐서 계산하는 문항입니다. 공통 구간을 소거한 뒤 남은 정적분이 0이 되는 조건에서 a 값을 고릅니다.

11번은 피적분함수 안의 x를 밖으로 꺼낸 뒤 두 번 미분하는 유형입니다.

4. 정적분의 활용 (3·6·12·16번)

3번 하 위치와 위치의 변화량, 6번 하 곡선과 x축 사이의 넓이(그래프 꼴), 12번 중 위치와 위치의 변화량, 16번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이.

3번과 12번은 같은 유형입니다. 3번은 초기 위치에 속도의 정적분을 더하는 기본형이고, 12번은 두 점의 속도가 같아지는 시각을 먼저 구한 뒤 두 점 사이의 거리를 계산합니다.

16번은 도함수가 짝함수라는 조건에서 함수의 계수를 정하고 넓이를 구하는 문항입니다.

5. 도함수의 활용 (2) (19번) — 중상, 앞 단원 누적

19번 중상 함수의 최대·최소. 구간에 따라 직선과 곡선으로 이어진 함수가 열린 구간에서 최댓값을 가질 조건을 묻습니다. 직선 부분의 기울기 조건과 내부 극댓값 조건을 함께 따져야 합니다.

주의 문항 — 중상 7문항

13번 중상 (속도·가속도와 운동 방향) — ㄱ·ㄴ·ㄷ 판별형입니다.

14번 중상 (정적분 등식) — 곱의 미분 형태를 알아봐야 원래 함수가 나옵니다.

15번 중상 (실근의 개수) — 사차함수를 먼저 결정해야 합니다.

16번 중상 (곡선과 x축 사이의 넓이) — 대칭 조건으로 계수를 정한 뒤 넓이를 구합니다.

18번 중상 (정적분 등식) — 정적분 값의 부호와 미분가능성 조건이 함께 나옵니다.

19번 중상 (함수의 최대·최소) — 앞 단원 누적 문항입니다.

20번 중상 (근의 판별 + 정적분 등식) — 중근이 생기는 경우를 빠짐없이 나눠야 합니다.

성문고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 도함수로 함수 구하기, 적분상수 — 1번 대비. 확보 구간.
2. 정적분 계산, 구간 합치기 — 4·10번 대비.
3. ★ 위끝에 변수가 있는 정적분 등식 — 5·14·18·20번 대비. 이 시험의 시그니처.
4. 피적분함수에 변수가 있는 등식 — 11번 대비. 두 번 미분까지.
5. 방정식의 실근 개수와 극값 — 2·15번 대비.
6. 부등식이 항상 성립할 조건(전체·구간) — 7·17번 대비.
7. 속도·가속도·움직인 거리 — 8·9·13번 대비.
8. 위치와 위치의 변화량 — 3·12번 대비.
9. 곡선과 x축 사이의 넓이 — 6·16번 대비.
10. 함수의 최대·최소(앞 단원) — 19번 대비. 열린 구간 조건.

자주 나오는 질문

성문고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항이고, 정답 기록이 모두 ①~⑤ 번호인 선택형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (3)과 정적분이 각 7문항으로 가장 많습니다. 이어서 정적분의 활용 4문항, 부정적분 1문항, 도함수의 활용 (2) 1문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 중상 7문항(13·14·15·16·18·19·20번)이 모두 13번 이후에 있습니다.

시험 범위 밖 문항이 있나요?

분석표에서 19번(함수의 최대·최소)이 앞 단원 누적 문항으로 표시돼 있습니다. 도함수의 활용 (2) 내용입니다.

과년도 성문고 기출도 볼 수 있나요?

내신판은 확보된 원문만 제공합니다. 찾는 시험지가 없으면 내신판에서 요청할 수 있습니다.

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