이서고 2학년 2학기 기말고사 기하 기출 분석 (2025학년)

경북 청도군 이서고 2학년 2학기 기말 기하는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 배치 단원은 벡터의 성분과 내적 · 공간도형 · 공간좌표 세 개입니다. 이 시험의 특징은 20문항이 전부 하·중 난이도라는 점, 그리고 단원 순서대로 8·6·6문항이 깔끔하게 나뉘어 배치됐다는 점입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 정답 기록이 모두 ①~⑤ 번호인 선택형
• 난이도: 하 7 / 중 13 / 중상 0 / 상 0
• 배치 단원: 벡터의 성분과 내적 8 / 공간도형 6 / 공간좌표 6
• 배치 순서: 1~8번 벡터, 9~14번 공간도형, 15~20번 공간좌표
• 두 번 나온 유형: 두 벡터가 이루는 각의 크기(내적의 성질 이용) — 4·5번

이서고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

이서고등학교는 경상북도 청도군에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 기하는 총 20문항이고, 정답 기록이 모두 ①~⑤ 번호로 되어 있어 전 문항 선택형입니다.

이 시험은 구조가 단순합니다. 1~8번이 평면벡터의 성분과 내적, 9~14번이 공간도형, 15~20번이 공간좌표로, 교과서 단원 순서 그대로 배치돼 있습니다. 단원이 섞이지 않으니 파트별로 시간을 미리 나눠 두기 좋은 시험지입니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 7, 중 13, 그 이상 없음

중상과 상이 한 문항도 없습니다. 대신 중 난이도가 13문항(65%) 입니다. 손을 못 댈 문항은 없지만, 그만큼 실수 하나가 그대로 등급 차이가 되는 시험입니다.

하 7문항은 세 파트에 고루 퍼져 있습니다. 벡터 파트 1·3·7번, 공간도형 파트 9·10·13번, 공간좌표 파트 15번입니다. 반대로 16~20번 다섯 문항은 연속으로 중이라, 시험 끝부분에서 집중력이 떨어지지 않도록 해야 합니다.

출제 단원 — 벡터 8, 공간도형 6, 공간좌표 6

벡터의 성분과 내적이 8문항(40%) 으로 가장 많습니다. 내적 계산, 두 벡터가 이루는 각, 수직 조건, 벡터로 나타낸 자취까지 이 단원의 대표 유형이 고루 나왔습니다.

공간도형과 공간좌표는 6문항씩 동일합니다. 공간도형에서는 위치 관계·삼수선 정리·이면각·정사영이, 공간좌표에서는 두 점 사이의 거리·내분점·구가 나왔습니다.

이 시험의 축 — 내적과 각, 정사영

두 벡터가 이루는 각의 크기 유형이 4·5·6번 세 문항 연속으로 나왔습니다. 4·5번은 내적의 성질을 이용하는 경우, 6번은 성분이 주어진 경우입니다.

• 4번 — 직각삼각형에서 중점을 잇는 벡터와 변 벡터가 이루는 각
• 5번 — 벡터의 합이 영벡터라는 조건을 제곱해서 각의 코사인 구하기
• 6번 — 두 직선의 방향벡터가 이루는 각

세 문항 모두 cosθ = (내적) ÷ (크기의 곱) 이라는 한 공식으로 풀립니다. 6번은 두 직선이 이루는 각이라 예각을 택하기 위해 내적에 절댓값을 씌운다는 점만 다릅니다.

공간도형 파트에서는 정사영이 13·14번 두 문항입니다. 13번은 정사영의 길이, 14번은 정사영의 넓이를 묻습니다. 정사영의 넓이 = 원래 넓이 × cosθ 공식을 정확히 쓰는 것이 핵심입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 벡터의 성분과 내적 (1~8번)

1번 하 평면벡터가 서로 같을 조건, 2번 중 성분으로 주어진 벡터의 내적의 활용, 3번 하 평면벡터의 내적, 4번 중 두 벡터가 이루는 각(내적의 성질), 5번 중 두 벡터가 이루는 각(내적의 성질), 6번 중 두 벡터가 이루는 각(성분), 7번 하 평면벡터의 수직, 8번 중 자취의 방정식(평면벡터).

2번은 벡터의 크기의 최솟값을 구하는 문항입니다. 크기의 제곱을 이차식으로 정리한 뒤 완전제곱식으로 바꿔 최솟값을 찾습니다.

7번은 수직 조건(내적 = 0) 의 기본형입니다. 다만 해를 구한 뒤 분모가 0이 되는 값은 제외해야 하는 점을 주의하세요.

8번은 벡터 조건이 원을 나타내는 경우입니다. 위치벡터의 크기가 일정하다는 조건에서 원을 확인하고, 접선은 반지름에 수직이라는 성질로 마무리합니다.

2. 공간도형 (9~14번)

9번 하 평면의 결정 조건, 10번 하 공간에서의 위치 관계, 11번 중 삼수선 정리의 활용, 12번 중 이면각, 13번 하 정사영의 길이, 14번 중 정사영의 넓이(각이 주어지지 않은 경우).

9·10번은 개념 판별 문항입니다. 꼬인 위치의 두 직선은 한 평면을 결정하지 못한다는 것, 한 평면에 평행한 두 직선이 서로 평행하지 않을 수도 있다는 것처럼 반례를 떠올릴 수 있어야 합니다.

11번은 삼수선 정리로 공간에서의 높이를 구한 뒤 넓이를 계산합니다. 평면 위의 수선과 공간의 수선을 구별하는 그림 읽기가 중요합니다.

12번은 정사면체에서의 이면각입니다. 모서리의 중점을 잡아 수직인 단면을 만들고, 그 단면 삼각형에서 코사인 값을 구합니다.

13번은 원기둥을 비스듬히 자른 단면의 정사영입니다. 단면 타원의 정사영이 밑면 원이 된다는 관계를 이용합니다.

3. 공간좌표 (15~20번)

15번 하 두 점 사이의 거리로 좌표 구하기, 16번 중 선분의 길이의 합의 최솟값, 17번 중 선분의 내분점, 18번 중 내분점의 사각형에의 활용, 19번 중 구와 좌표평면의 교선, 20번 중 점과 구 사이의 거리의 최댓값과 최솟값.

16번은 좌표평면에 대한 대칭이동을 이용하는 대표 유형입니다. 한 점을 xy평면에 대해 대칭이동한 뒤 두 점을 직선으로 잇는 것이 최단 경로입니다.

18번은 평행사변형의 두 대각선이 서로를 이등분한다는 성질로 꼭짓점 좌표를 구합니다.

19번은 구가 세 좌표평면과 만나서 생기는 원을 다룹니다. 구의 중심에서 각 좌표평면까지의 거리를 이용해 단면 원의 반지름을 구합니다.

20번은 이 시험의 마지막 문항입니다. 구와 관련된 거리의 최댓값·최솟값을 찾는 문항으로, 구의 중심까지의 거리에 반지름을 더하고 빼서 범위를 정하는 원리가 쓰입니다.

주의 문항 — 중 난이도 중 실수가 잦은 곳

2번 중 (벡터 크기의 최솟값) — 완전제곱식 변형에서 상수항 실수가 잦습니다.

6번 중 (두 직선이 이루는 각) — 내적에 절댓값을 씌우지 않으면 둔각을 답으로 고르게 됩니다.

12번 중 (이면각) — 단면을 잘못 잡으면 다른 각을 구하게 됩니다.

14번 중 (정사영의 넓이) — 각이 직접 주어지지 않아 좌표나 길이에서 먼저 구해야 합니다.

19·20번 중 (구) — 시험 끝부분에 연속으로 배치된 구 문항입니다. 중심과 반지름을 정확히 읽는 것이 출발점입니다.

이서고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 벡터의 성분, 같을 조건 — 1번 대비. 확보 구간.
2. 내적 계산과 크기의 최솟값 — 2·3번 대비.
3. ★ 두 벡터가 이루는 각 — 4·5·6번 대비. 이 시험의 축.
4. 수직 조건 — 7번 대비. 분모 0 제외.
5. 벡터로 나타낸 원과 접선 — 8번 대비.
6. 평면의 결정 조건, 위치 관계 반례 — 9·10번 대비.
7. 삼수선 정리 — 11번 대비.
8. 이면각 — 12번 대비. 수직 단면 만들기.
9. ★ 정사영의 길이와 넓이 — 13·14번 대비.
10. 두 점 사이의 거리, 대칭이동과 최솟값 — 15·16번 대비.
11. 내분점과 평행사변형 — 17·18번 대비.
12. 구의 방정식과 단면, 거리의 최대·최소 — 19·20번 대비.

자주 나오는 질문

이서고 2학년 2학기 기말 기하는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항이고, 정답 기록이 모두 ①~⑤ 번호인 선택형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 벡터의 성분과 내적이 8문항으로 가장 많습니다. 공간도형과 공간좌표가 각 6문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

중상·상 난이도는 한 문항도 없습니다. 하 7문항, 중 13문항으로 구성돼 있어, 실수를 줄이는 것이 가장 중요한 시험입니다.

문항 배치는 어떻게 되나요?

단원 순서 그대로입니다. 1~8번 벡터, 9~14번 공간도형, 15~20번 공간좌표로 나뉩니다.

과년도 이서고 기출도 볼 수 있나요?

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