신성고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
신성고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (1)부터 정적분의 활용까지 여섯 개입니다. 이 시험의 특징은 답을 직접 쓰는 문항이 다섯 개(16~20번) 라는 점, 그리고 정적분의 활용이 7문항으로 가장 많다는 점입니다.
핵심 요약
- 20문항 — 1~15번은 선택형, 16~20번 다섯 문항은 답을 직접 쓰는 형태
- 난이도: 하 7 / 중 5 / 중상 8 / 상 0
- 배치 단원: 정적분의 활용 7 / 정적분 4 / 도함수의 활용 (2) 3 / 도함수의 활용 (3) 3 / 도함수의 활용 (1) 2 / 부정적분 1
- 10~15번 여섯 문항 연속 중상
- 서답형 다섯 문항 중 19·20번은 접선이 핵심
신성고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
신성고등학교는 경기도 안양시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항입니다. 정답 기록을 보면 1~15번은 ①~⑤ 번호, 16~20번은 자연수라 마지막 다섯 문항이 답을 직접 쓰는 형태입니다.
서답형이 다섯 문항이라는 점이 이 시험의 가장 큰 특징입니다. 선택지로 검산할 수 없으니 계산 과정이 처음부터 정확해야 합니다.
범위도 넓습니다. 배치 단원 기준으로 도함수의 활용 (1)(롤의 정리, 접선) 부터 정적분의 활용까지 여섯 단원이 모두 나왔습니다. 미분 쪽 8문항, 적분 쪽 12문항입니다.
2025학년 난이도 분포 — 중상 8문항, 10~15번 연속
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 7 | 35% | 1·2·3·4·5·6·16 |
| 중 | 5 | 25% | 7·8·9·17·18 |
| 중상 | 8 | 40% | 10·11·12·13·14·15·19·20 |
| 상 | 0 | 0% | — |
상 난이도는 없지만 중상이 8문항(40%) 입니다.
배치가 뚜렷합니다. 1~6번은 전부 하, 7~9번은 중, 그리고 10~15번 여섯 문항이 연속으로 중상입니다. 서답형으로 넘어가면 16번(하)과 17·18번(중) 으로 다시 쉬워졌다가, 19·20번에서 다시 중상이 나옵니다.
따라서 선택형 10~15번에서 시간을 다 쓰면 서답형 16~18번을 놓칠 수 있습니다. 선택형 중상 구간에서 막히면 서답형 앞쪽을 먼저 확보하는 순서도 고려할 만합니다.
출제 단원 — 정적분의 활용 7문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 09 정적분의 활용 | 7 | 5·6·8·12·15·16·20 |
| 08 정적분 | 4 | 2·9·14·18 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 3 | 7·13·17 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 3 | 3·10·11 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 2 | 4·19 |
| 07 부정적분 | 1 | 1 |
정적분의 활용이 7문항(35%) 입니다. 넓이 문항이 5개(6·8·12·15·20번), 위치 1개(5번), 역함수의 정적분 1개(16번)입니다. 이 단원에서 중상이 세 문항(12·15·20번) 나왔습니다.
도함수의 활용 (1)은 2문항뿐이지만 4번(롤의 정리)과 19번(곡선과 직선이 접할 때)으로, 19번은 서답형 중상입니다. 범위의 첫 단원이라고 소홀히 하면 안 됩니다.
이 시험의 축 — 넓이, 그리고 접선
넓이 문항이 다섯 개입니다.
- 6번 하 곡선과 x축 사이의 넓이
- 8번 중 두 곡선 사이의 넓이를 이등분하는 조건
- 12번 중상 곡선과 직선 사이의 넓이
- 15번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이
- 20번 중상 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이(서답형)
6번과 15번은 같은 유형("곡선과 x축 사이의 넓이")의 기본형과 응용형입니다. 15번은 절댓값이 들어간 정적분 조건에서 함수를 먼저 결정해야 합니다.
19·20번은 둘 다 접선이 출발점입니다. 19번은 곡선이 두 직선에 접하는 조건에서 계수와 접점을 구하고, 20번은 두 곡선의 공통접선을 구한 뒤 둘러싸인 넓이를 계산합니다. 접선의 방정식을 세우는 속도와 정확도가 마지막 두 문항을 좌우합니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 도함수의 활용 (1) (4·19번)
4번 하 롤의 정리, 19번 중상 곡선과 직선이 접할 때(서답형).
4번은 롤의 정리의 조건 확인입니다. 닫힌 구간 양 끝의 함숫값이 같은지 확인하고, 열린 구간 안에서 도함수가 0이 되는 점을 찾습니다.
2. 도함수의 활용 (2) (7·13·17번)
7번 중 함수의 증가와 감소, 13번 중상 함수의 극대·극소의 활용, 17번 중 최대·최소의 활용(넓이, 서답형).
7번은 증가·감소가 바뀌는 경계에서 도함수의 근을 복원하는 문항입니다.
17번은 삼각형 넓이의 최댓값을 구하는 서답형입니다. 넓이를 한 변수의 함수로 나타낸 뒤 미분합니다.
3. 도함수의 활용 (3) (3·10·11번)
3번 하 가속도, 10번 중상 가속도, 11번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.
3번과 10번은 같은 유형("가속도")의 기본형과 응용형입니다. 3번은 위치함수를 두 번 미분하는 기본 계산이고, 10번은 경사면 그림이 있는 상황 문제에서 거리 조건을 세워야 합니다.
11번은 절댓값이 붙은 함수의 실근 개수입니다. 극댓값·극솟값 조건으로 삼차함수를 복원하는 과정이 포함됩니다.
4. 부정적분 (1번) — 하
1번 하 부정적분의 계산. 선지의 함수를 미분해 피적분함수와 비교하면 바로 확인할 수 있습니다.
5. 정적분 (2·9·14·18번)
2번 하 우함수·기함수의 정적분, 9번 중 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 14번 중상 삼차함수의 증가 조건 + 정적분 계산, 18번 중 주기함수의 정적분(서답형).
2번은 대칭 구간에서 홀수 차수 항이 사라지는 기본형입니다.
9번은 절댓값이 들어간 피적분함수를 구간으로 나눠 적분한 뒤, 닫힌 구간에서 최댓값·최솟값을 구합니다.
18번은 주기 조건이 있는 함수의 정적분을 구하는 서답형입니다.
6. 정적분의 활용 (5·6·8·12·15·16·20번)
5번 하 위치와 위치의 변화량, 6번 하 곡선과 x축 사이의 넓이, 8번 중 두 곡선 사이의 넓이의 활용(이등분), 12번 중상 곡선과 직선 사이의 넓이, 15번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이, 16번 하 함수와 그 역함수의 정적분(서답형), 20번 중상 곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이(서답형).
16번은 서답형이지만 하 난이도입니다. 역함수의 그래프가 y=x에 대해 대칭이라는 성질로 정적분의 합을 직사각형 넓이로 바꾸는 대표 유형이니 반드시 확보해야 합니다.
주의 문항 — 중상 8문항
10번 중상 (가속도) — 그림 속 상황에서 거리 조건을 세워야 합니다.
11번 중상 (실근의 개수) — 절댓값 함수와 삼차함수 복원이 겹칩니다.
12번 중상 (곡선과 직선 사이의 넓이) — 사차함수의 극값 조건으로 함수를 먼저 정합니다.
13번 중상 (극대·극소의 활용) — 극값이 없는 조건과 접선 조건이 결합됩니다.
14번 중상 (증가 조건 + 정적분) — 합성함수의 도함수에서 계수를 비교하는 단계가 있습니다.
15번 중상 (곡선과 x축 사이의 넓이) — 절댓값 정적분 조건으로 함수를 결정합니다.
19번 중상 (곡선과 직선이 접할 때) — 서답형. 두 직선에 동시에 접하는 조건입니다.
20번 중상 (곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이) — 서답형. 공통접선을 먼저 구해야 합니다.
신성고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 롤의 정리와 접선의 방정식 — 4·19번 대비.
- 부정적분 계산, 대칭 구간 정적분 — 1·2번 대비. 확보 구간.
- 속도·가속도 — 3·10번 대비.
- 위치와 위치의 변화량 — 5번 대비.
- 증가·감소와 극값의 활용 — 7·13번 대비.
- 최대·최소의 활용(넓이) — 17번 대비.
- 실근의 개수(절댓값 함수 포함) — 11번 대비.
- 정적분으로 정의된 함수, 주기함수의 정적분 — 9·18번 대비.
- ★ 곡선과 x축·직선·곡선 사이의 넓이 — 6·8·12·15번 대비.
- 역함수의 정적분 — 16번 대비. 서답형 확보 구간.
- ★ 공통접선과 둘러싸인 넓이 — 20번 대비.
자주 나오는 질문
신성고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 20문항입니다. 1~15번은 선택형, 16~20번 다섯 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 정적분의 활용이 7문항으로 가장 많습니다. 이어서 정적분 4문항, 도함수의 활용 (2)·(3) 각 3문항, 도함수의 활용 (1) 2문항, 부정적분 1문항입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 없습니다. 중상이 8문항(10~15번, 19·20번)으로, 특히 10~15번이 연속 중상입니다.
서답형은 어렵나요?
다섯 문항의 난이도가 다릅니다. 16번은 하, 17·18번은 중, 19·20번은 중상입니다. 16~18번은 확보하고 19·20번에 시간을 쓰는 순서가 맞습니다.
과년도 신성고 기출도 볼 수 있나요?
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