용인 청덕고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

청덕고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용입니다. 미분 파트 10문항, 적분 파트 10문항으로 정확히 반반이고, 상 난이도 2문항이 17번(넓이)과 20번(정적분으로 정의된 함수) 에 있습니다.

핵심 요약

• 20문항 — 1~17번 선택형, 18~20번은 답을 직접 쓰는 문항(20번은 소문항 (1)·(2))
• 난이도: 하 4 / 중 10 / 중상 4 / 상 2
• 배치 단원: 도함수의 활용 (2) 6 / 정적분 5 / 도함수의 활용 (3) 4 / 정적분의 활용 4 / 부정적분 1
• 배점: 선택형 17문항 80점, 18번 6점, 19·20번 각 7점
• 반복 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 2회(5·18번)

청덕고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

청덕고등학교는 경기도 용인시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항입니다. 정답 기록을 보면 1~17번은 선택형, 18~20번은 답을 직접 쓰는 문항이고 20번은 (1)·(2) 소문항으로 나뉩니다.

배치 순서는 비교적 단원 순서를 따릅니다. 1~8번이 도함수의 활용, 9~17번이 부정적분·정적분·정적분의 활용입니다. 그리고 뒤쪽 18·19번에서 다시 도함수의 활용으로 돌아가고, 20번은 정적분입니다.

즉 미분 파트를 앞에서 끝냈다고 방심하면 안 됩니다. 답을 직접 쓰는 세 문항 중 두 문항(18·19번)이 미분 파트입니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 2문항, 중 10문항

중 난이도가 절반입니다. 하 난이도 4문항은 1번(함수의 증가와 감소), 9번(도함수가 주어질 때 함수 구하기), 10번(정적분의 계산), 14번(곡선과 x축 사이의 넓이)으로 각 파트의 가장 기본 계산입니다.

상 2문항은 둘 다 적분 쪽입니다. 17번은 정적분의 활용, 20번은 정적분 단원입니다. 미분 파트의 최고 난도는 중상(4·18번)에서 멈춥니다.

배점 구조 — 뒤 세 문항이 20점

선택형 중 가장 배점이 큰 문항은 17번(5.4점), 가장 작은 문항은 10번(4.0점) 입니다. 선택형은 문항 간 배점 차가 크지 않으니 한 문항에 오래 붙잡히지 않는 것이 중요합니다.

반면 18~20번 세 문항이 합계 20점입니다. 특히 19·20번은 각 7점이라, 선택형 한두 문항보다 무겁습니다. 시간 배분을 할 때 뒤 세 문항에 쓸 시간을 먼저 떼어 두는 편이 낫습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 10문항, 적분 10문항

단원별로는 도함수의 활용 (2)가 6문항으로 가장 많습니다. 증가·감소, 극대·극소, 최대·최소가 여기 들어갑니다.

부정적분은 9번 한 문항뿐입니다. 부정적분 자체를 묻기보다는, 정적분 계산과 넓이 문제의 재료로 쓰는 구성입니다.

반복 유형 — 실근의 개수, 그리고 미정계수의 결정

방정식 f(x)=k의 실근의 개수가 5번(중)과 18번(중상) 두 번 나왔습니다. 5번은 선택형, 18번은 답을 직접 쓰는 6점 문항입니다. 같은 유형이 선택형과 단답형에 한 번씩 놓였으니, 그래프의 극값 높이와 직선 y=k를 비교하는 습관이 두 문항을 함께 해결합니다.

또 미정계수의 결정 유형이 두 번 나왔습니다.

• 4번(중상) 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정
• 8번(중) 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정

4번은 극값과 구간 양 끝 값을 후보로 모두 계산해 비교해야 하는 문항입니다. 극값만 보고 최댓값이라고 단정하면 틀립니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (2) (1·2·3·4·8·19번) — 6문항

1번 하 함수의 증가와 감소, 2번 중 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소, 3번 중 최대·최소의 활용(부피), 4번 중상 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 8번 중 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 19번 중 함수의 최대·최소.

2번은 도함수의 그래프가 주어지는 문항입니다. 도함수의 부호가 바뀌는 지점에서 극값이 생기고, 부호가 바뀌지 않으면 극값이 아니라는 것을 그래프에서 바로 읽어야 합니다.

3번은 원뿔 안에 원기둥이 들어간 부피 최대 문제입니다. 닮음으로 반지름과 높이의 관계식을 세운 뒤 부피를 한 변수 함수로 만드는 순서입니다.

19번은 움직이는 구간에서의 최댓값을 다룹니다. 구간이 움직이면 최댓값을 주는 위치도 바뀌니, 구간 안에서 함수가 증가하는지 감소하는지를 먼저 판단해야 합니다.

2. 도함수의 활용 (3) (5·6·7·18번) — 4문항

5번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 6번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건, 7번 중 속도·가속도와 운동 방향, 18번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.

6번은 열린구간에서 부등식이 항상 성립할 조건입니다. 두 함수의 차를 하나의 함수로 놓고 그 최솟값을 구하는 표준 풀이인데, 등호가 들어가는지 아닌지에서 답이 갈립니다.

7번은 두 점이 반대 방향으로 움직이는 구간을 묻습니다. 두 점의 속도를 각각 구한 뒤 부호가 서로 다른 구간을 찾으면 됩니다.

3. 정적분 (10·11·13·16·20번) — 5문항

10번 하 정적분의 계산(적분 구간이 같은 경우), 11번 중 정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우), 13번 중 정적분의 계산(피적분함수가 같은 경우), 16번 중 정적분을 포함한 등식(아래끝과 위끝이 상수인 경우), 20번 상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소.

정적분을 포함한 등식이 두 유형(11·16번) 으로 나왔습니다. 16번처럼 적분 구간이 상수이면 그 정적분 값을 상수 하나로 놓고 풀고, 11번처럼 끝에 변수가 있으면 양변을 미분합니다. 두 풀이를 구분하는 것이 이 파트의 핵심입니다.

13번은 적분 구간을 쪼개고 합치는 문항입니다. 구하는 구간을 주어진 구간들의 합과 차로 표현하는 연습이 필요합니다.

4. 정적분의 활용 (12·14·15·17번) — 4문항

12번 중상 곡선과 직선 사이의 넓이, 14번 하 곡선과 x축 사이의 넓이, 15번 중상 위치와 위치의 변화량, 17번 상 두 도형의 넓이가 같을 조건.

15번은 두 점이 만나는 시각을 구한 뒤 이동 거리를 묻는 문항입니다. 위치의 변화량과 움직인 거리는 다르다는 점, 즉 속도의 부호가 바뀌는지 확인하는 단계를 빼먹으면 안 됩니다.

5. 부정적분 (9번) — 1문항

9번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기. 적분한 뒤 주어진 함숫값으로 적분상수를 결정하는 기본 문항입니다.

주의 문항 — 상 2문항과 중상 4문항

17번 상 (두 도형의 넓이가 같을 조건) — 선택형 중 배점이 가장 큰 문항(5.4점)입니다. 넓이가 같다는 조건을 정적분 값이 0이라는 식으로 바꾸고, 함수를 복원하는 단계까지 이어집니다.

20번 상 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 7점, 소문항 (1)·(2)로 나뉩니다. 정적분으로 정의된 함수를 미분해 도함수의 부호 변화를 따지는 것이 출발점입니다.

4번 중상 (최대·최소를 이용한 미정계수) — 앞쪽 자리에 있는 중상이라 시간을 뺏기기 쉽습니다.

12번 중상 (곡선과 직선 사이의 넓이) — 삼차함수를 조건으로 복원한 뒤 넓이를 구합니다. 어느 쪽이 위에 있는지 확인하는 것이 핵심입니다.

15번 중상 (위치와 위치의 변화량) — 만나는 시각부터 구해야 합니다.

18번 중상 (실근의 개수) — 6점 단답형입니다. k값마다 실근 개수를 세는 과정이 길어 계산 실수가 나오기 쉽습니다.

청덕고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 함수의 증가·감소와 극값 판정 — 1·2번 대비. 도함수의 부호 변화 읽기.
2. 최대·최소와 구간 양 끝 비교 — 4·19번 대비. 후보를 빠짐없이 계산하기.
3. 최대·최소의 활용(부피) — 3번 대비. 닮음으로 변수 하나 줄이기.
4. 극대·극소를 이용한 미정계수 결정 — 8번 대비.
5. ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 5·18번 대비. 극값 높이와 y=k 비교.
6. 부등식이 항상 성립할 조건 — 6번 대비. 차함수의 최솟값과 등호 처리.
7. 속도·가속도와 운동 방향 — 7번 대비.
8. 부정적분과 적분상수 결정 — 9번 대비. 확보 구간.
9. 정적분의 계산과 구간 분할 — 10·13번 대비.
10. ★ 정적분을 포함한 등식 두 가지 — 11·16번 대비. 상수로 놓기와 양변 미분 구분.
11. 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 20번 대비.
12. 곡선과 x축, 곡선과 직선 사이의 넓이 — 12·14번 대비.
13. 위치와 움직인 거리 — 15번 대비.
14. 두 도형의 넓이가 같을 조건 — 17번 대비.

자주 나오는 질문

청덕고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 1~17번은 선택형, 18~20번은 답을 직접 쓰는 문항입니다.

배점은 어떻게 되나요?

선택형 17문항이 합계 80점이고, 18번 6점, 19번 7점, 20번 7점입니다. 선택형 중에서는 17번이 5.4점으로 가장 큽니다.

가장 많이 나온 단원은 어디인가요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (2)가 6문항으로 가장 많습니다. 이어서 정적분 5문항, 도함수의 활용 (3) 4문항, 정적분의 활용 4문항, 부정적분 1문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도 2문항이 있습니다. 17번(두 도형의 넓이가 같을 조건)과 20번(정적분으로 정의된 함수의 극대·극소)입니다.

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