양산 양산제일고 2학년 2학기 기말고사 미적분 기출 분석 (2025학년)
양산제일고 2학년 2학기 기말 미적분은 2025학년 기준 총 19문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 · 여러 가지 함수의 적분법 · 치환적분법과 부분적분법 · 정적분의 활용입니다. 이 시험의 특징은 두 가지입니다. 선택형이 10문항, 답을 직접 쓰는 문항이 9문항으로 서답형 비중이 매우 크다는 점, 그리고 19문항 중 15문항이 중 난이도라는 점입니다.
핵심 요약
- 19문항 — 1~10번 선택형, 11~19번 아홉 문항은 답을 직접 쓰는 문항
- 난이도: 하 1 / 중 15 / 중상 3 / 상 0
- 배치 단원: 정적분의 활용 8 / 치환적분법과 부분적분법 5 / 도함수의 활용 (2) 4 / 여러 가지 함수의 적분법 1 / 도함수의 활용 (1) 1
- 적분 파트 14문항, 미분 파트 5문항
- 중상 3문항: 7번(실근의 개수), 9번(곡선과 직선 사이의 넓이), 13번(정적분과 급수의 합의 활용)
양산제일고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
양산제일고등학교는 경상남도 양산시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 미적분은 총 19문항입니다. 정답 기록을 보면 1~10번은 선택형, 11~19번은 답을 직접 쓰는 문항입니다.
답을 직접 쓰는 문항이 거의 절반입니다. 미적분 서답형은 답이 e, π, ln 2 같은 값이 섞인 식으로 나오는 경우가 많아서, 계산 실수를 보기로 걸러 낼 수 없습니다. 이 시험에서 가장 신경 써야 할 부분입니다.
단원 비중은 적분 쪽이 압도적입니다. 도함수의 활용이 5문항, 나머지 14문항은 적분입니다.
2025학년 난이도 분포 — 중 15문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 1 | 5% | 3 |
| 중 | 15 | 79% | 1·2·4·5·6·8·10·11·12·14·15·16·17·18·19 |
| 중상 | 3 | 16% | 7·9·13 |
| 상 | 0 | 0% | — |
하 난이도가 3번 한 문항뿐입니다. 대부분이 중 난이도라, 공식 한 번으로 끝나는 문항은 거의 없고 두 단계 정도의 풀이를 요구하는 문항이 줄지어 나옵니다.
중상 3문항 중 두 개(7·9번)가 선택형에 있습니다. 선택형 후반에서 시간이 걸리고, 바로 뒤에 서답형 아홉 문항이 이어지는 구조입니다.
출제 단원 — 정적분의 활용 8문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 10 정적분의 활용 | 8 | 4·5·9·10·11·13·18·19 |
| 09 치환적분법과 부분적분법 | 5 | 8·12·15·16·17 |
| 07 도함수의 활용 (2) | 4 | 2·3·7·14 |
| 08 여러 가지 함수의 적분법 | 1 | 1 |
| 06 도함수의 활용 (1) | 1 | 6 |
정적분의 활용이 8문항으로 가장 많습니다. 넓이, 부피, 움직인 거리, 곡선의 길이, 정적분과 급수의 합이 모두 이 단원에 들어 있습니다.
치환적분법과 부분적분법 5문항 중 4문항(12·15·16·17번)이 답을 직접 쓰는 문항입니다. 서답형 점수를 지키려면 적분 계산을 끝까지 정확하게 해내는 힘이 필요합니다.
반복되는 주제 — 평면 운동, 부분적분, 정적분과 급수
같은 유형이 그대로 반복되지는 않았지만, 같은 주제가 형태를 바꿔 두 번 이상 나왔습니다.
- 평면 위를 움직이는 점 — 3번(가속도), 4번(움직인 거리)
- 부분적분법 — 15번(두 번 이용), 17번(한 번 이용), 18번(급수의 합을 정적분으로 바꾼 뒤 부분적분)
- 정적분과 급수의 합 — 13번(활용, 중상), 18번(합의 꼴)
- 넓이 — 9번(곡선과 직선 사이), 10번(두 곡선 사이)
부분적분이 세 문항에 걸쳐 쓰인다는 점이 중요합니다. 특히 15번은 부분적분을 두 번 연속 써야 합니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 정적분의 활용 (4·5·9·10·11·13·18·19번) — 8문항
4번 중 평면 위에서 점이 움직인 거리, 5번 중 입체도형의 부피(단면이 밑면과 평행한 경우), 9번 중상 곡선과 직선 사이의 넓이, 10번 중 두 곡선 사이의 넓이, 11번 중 시각에 대한 넓이·부피의 변화율, 13번 중상 정적분과 급수의 합의 활용, 18번 중 정적분과 급수의 합 사이의 관계, 19번 중 곡선 y=f(x)의 길이.
4번과 19번은 근호 안이 완전제곱식이 되는 구조입니다. 속력이나 곡선 길이 공식에서 √ 안을 정리하면 완전제곱이 나오도록 설계된 문항이니, 식을 펼치기 전에 완전제곱 꼴을 먼저 의심해 보세요.
5번은 단면의 넓이를 적분해 부피를 구하는 문항입니다. 단면이 정사각형이라면 한 변의 길이를 제곱한 것이 단면의 넓이입니다.
10번은 원과 포물선으로 둘러싸인 부분의 넓이입니다. 원의 윗부분을 함수로 나타내 적분합니다.
11번은 화병에 물을 채우는 상황에서 시각에 대한 부피의 변화율을 다룹니다. 부피를 높이에 대한 정적분으로 놓고, 연쇄법칙으로 시각에 대해 미분합니다.
2. 치환적분법과 부분적분법 (8·12·15·16·17번) — 5문항
8번 중 음함수로 나타낸 곡선의 접선 · 유리함수의 부정적분, 12번 중 ∫f'(x)/f(x)dx 꼴의 부정적분, 15번 중 부분적분법을 두 번 이용하는 정적분, 16번 중 치환적분법을 이용한 정적분(지수·로그함수), 17번 중 부분적분법을 한 번 이용하는 정적분.
12번은 f'(x)/f(x) 꼴을 알아보는 것이 전부입니다. 이 꼴의 부정적분이 ln|f(x)|라는 것을 바로 떠올려야 합니다.
17번은 역함수가 들어간 정적분입니다. 치환으로 역함수를 원래 함수로 바꾼 뒤 부분적분을 씁니다.
3. 도함수의 활용 (2·3·6·7·14번) — 5문항
2번 중 곡선의 오목과 볼록, 3번 하 평면 위를 움직이는 점의 가속도, 6번 중 접선의 방정식 · 등비급수의 합, 7번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 14번 중 변곡점.
6번은 접선을 반복해서 그었을 때 생기는 점들이 등비수열을 이루는 문항입니다. 미분과 급수가 한 문항에 결합됐습니다.
14번은 변곡점을 구한 뒤 그 점에서의 접선까지 다룹니다. 이계도함수가 0이 되는 점에서 부호가 실제로 바뀌는지 확인해야 합니다.
4. 여러 가지 함수의 적분법 (1번) — 1문항
1번 중 지수함수의 정적분. 첫 문항부터 중 난이도입니다.
주의 문항 — 중상 3문항
7번 중상 (방정식 f(x)=k의 실근의 개수) — 삼각함수가 들어간 함수의 증가·감소를 조사한 뒤 k값에 따른 실근 개수를 따집니다. 실근 개수가 바뀌는 경계의 k값을 빠짐없이 찾아야 합니다.
9번 중상 (곡선과 직선 사이의 넓이) — 넓이를 구한 뒤 극한까지 이어지는 문항입니다. 교점과 위아래 위치를 먼저 확인합니다.
13번 중상 (정적분과 급수의 합의 활용) — 감소함수의 그래프에서 직사각형 넓이의 합과 정적분을 비교하는 부등식 문항입니다. 서답형이라 부등호 방향을 정확히 써야 합니다.
양산제일고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 지수·로그·삼각함수의 정적분 — 1번 대비.
- 곡선의 오목·볼록과 변곡점 — 2·14번 대비.
- 평면 위 점의 속도·가속도·움직인 거리 — 3·4번 대비. 완전제곱 꼴 확인.
- 접선과 등비급수 — 6번 대비.
- 방정식의 실근의 개수 — 7번 대비. 경계 k값 정리.
- f'(x)/f(x) 꼴과 유리함수 적분 — 8·12번 대비.
- ★ 치환적분과 부분적분 — 15·16·17번 대비. 부분적분 두 번까지.
- 넓이(곡선과 직선, 두 곡선) — 9·10번 대비.
- 입체도형의 부피와 변화율 — 5·11번 대비.
- ★ 정적분과 급수의 합 — 13·18번 대비. 리만합 변환과 부등식 비교.
- 곡선의 길이 — 19번 대비.
자주 나오는 질문
양산제일고 2학년 2학기 기말 미적분은 몇 문항인가요?
2025학년 기준 19문항입니다. 1~10번은 선택형, 11~19번은 답을 직접 쓰는 문항입니다.
가장 많이 나온 단원은 어디인가요?
배치 단원 기준 정적분의 활용 8문항, 치환적분법과 부분적분법 5문항, 도함수의 활용 (2) 4문항입니다. 여러 가지 함수의 적분법과 도함수의 활용 (1)은 각 1문항입니다.
난이도는 어떤가요?
중 난이도가 15문항으로 대부분입니다. 하 1문항, 중상 3문항이고 상 난이도는 없습니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 없고, 중상 난이도의 7번(실근의 개수), 9번(곡선과 직선 사이의 넓이), 13번(정적분과 급수의 합의 활용) 이 가장 어렵습니다.
과년도 양산제일고 기출도 볼 수 있나요?
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