대구혜화여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

대구 수성구 대구혜화여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 문항이 배치된 단원은 도함수의 활용 (2) · 도함수의 활용 (3) · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용입니다. 이 시험의 특징은 상 난이도가 한 문항도 없는 대신 중 난이도가 11문항으로 절반을 차지한다는 점, 그리고 "방정식 f(x)=k의 실근의 개수"가 세 번(12·16·18번) 나왔다는 점입니다.

핵심 요약

• 22문항 — 1~18번 선택형, 19~22번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 5 / 중 11 / 중상 6 / 상 0
• 배치 단원: 도함수의 활용 (2) 6 / 도함수의 활용 (3) 6 / 정적분 4 / 정적분의 활용 4 / 부정적분 2
• 최다 반복 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 3회(12·16·18번)
• 가장 까다로운 구간: 14~18번 다섯 문항 중 네 문항이 중상

대구혜화여고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

2025학년 대구혜화여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항이고, 분석표의 정답 기록을 보면 1~18번은 선택형, 19~22번 네 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

배치 단원으로 묶으면 미분 파트 12문항(도함수의 활용 (2) 6 · (3) 6), 적분 파트 10문항(부정적분 2 · 정적분 4 · 정적분의 활용 4) 입니다. 미분과 적분이 거의 반반입니다.

번호 배치는 단원 순서를 따르지 않습니다. 1번이 정적분, 2번이 정적분의 활용, 3번이 도함수의 활용으로 시작부터 단원이 섞여 있습니다. 한 단원만 몰아서 공부하면 시험장에서 낯설게 느껴질 수 있으니 미분과 적분을 번갈아 푸는 연습이 필요합니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 0문항, 중 11문항

상 난이도는 없습니다. 손도 못 댈 문항은 없다는 뜻이지만, 중 11문항에서 하나씩 흘리면 그대로 등급이 갈리는 구조입니다.

눈여겨볼 점은 서술형 첫 두 문항(19·20번)이 하 난이도라는 것입니다. 서술형이라고 겁먹고 건너뛰면 손해입니다. 반대로 21·22번 서술형은 중상이라 서술형 안에서도 난도 차이가 큽니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (2)·(3)이 6문항씩

도함수의 활용 (2)와 (3)이 각 6문항으로 가장 많습니다. (2)는 증가·감소와 극대·극소, (3)은 방정식·부등식과 속도 쪽입니다.

중상 6문항 중 3문항(14·16·18번)이 도함수의 활용 (3) 에 있습니다. 실근의 개수와 부호를 다루는 문항들이라, 이 단원이 사실상 점수를 가르는 곳입니다.

반복 유형

• 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 12번 중, 16번 중상, 18번 중상
• 도함수가 주어질 때 함수 구하기 — 11번 중, 12번 중
• 정적분의 계산; 피적분함수가 같은 경우 — 1번 하, 15번 중상

실근의 개수가 세 번 나온 것이 이 시험의 가장 뚜렷한 특징입니다. 12번은 도함수 그래프에서 함수를 복원한 뒤 교점을 세고, 16번은 조건에 따라 두 경우로 나눠 따지며, 18번은 절댓값이 붙은 함수와 연속 조건까지 얹혀 있습니다. 같은 유형이 단계적으로 어려워지는 배치입니다.

1번과 15번도 같은 유형인데 하와 중상으로 갈립니다. 1번은 다항함수의 정적분을 바로 계산하는 문항이고, 15번은 조건으로 두 이차함수를 먼저 결정한 뒤 적분 구간에 대한 방정식까지 풀어야 합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 증가·감소와 극대·극소 (3·7·9·17·19·21번) — 6문항

3번 하 주어진 구간에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 7번 중 최대·최소의 활용(길이), 9번 중 실수 전체에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 17번 중 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 19번 하 함수의 극대·극소(서술형), 21번 중상 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정(서술형).

3번과 9번은 짝으로 공부하세요. 3번은 주어진 구간에서만 감소하면 되므로 도함수의 구간 끝값을 확인하고, 9번은 실수 전체에서 증가해야 하므로 도함수의 판별식을 씁니다. 9번은 조건을 만족하는 정수의 개수까지 세야 합니다.

7번은 두 그래프 사이의 세로 길이를 함수로 세운 뒤 최솟값을 찾는 문항입니다.

21번 서술형은 극한 조건과 극값 조건을 모두 식으로 옮겨 삼차함수를 결정합니다. 조건 네 개를 빠짐없이 식으로 쓰는 것이 감점을 막는 방법입니다.

2. 방정식·부등식과 속도 (4·6·8·14·16·18번) — 6문항

4번 하 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건, 6번 중 속도, 8번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건, 14번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 부호, 16번 중상 실근의 개수, 18번 중상 실근의 개수.

4번은 식을 정리하면 완전제곱 꼴이 나와 바로 끝나는 문항입니다. 6번은 두 점의 속도가 같아지는 시각을 구하는 문항이라 속도 식 두 개를 같다고 놓는 것이 출발점입니다.

14번은 세 실근이 존재할 조건과 근의 곱의 부호를 함께 따진 뒤, 조건을 만족하는 정수를 모두 찾는 문항입니다.

18번은 이 시험에서 가장 조건이 많은 선택형입니다. 절댓값이 붙은 함수의 그래프를 그리고, 연속 조건과 y=t의 교점 개수를 동시에 따져야 합니다.

3. 정적분 (1·13·15·20번) — 4문항

1번 하 정적분의 계산, 13번 중 미적분의 기본정리의 활용, 15번 중상 정적분의 계산(1번과 같은 유형), 20번 하 정적분을 포함한 등식(서술형).

13번은 극한 조건으로 다항함수의 차수와 계수를 먼저 정한 뒤 기본정리를 씁니다. 20번 서술형은 양변을 미분해 함수를 구하는 기본형입니다. 하 난이도이니 반드시 가져가야 합니다.

4. 정적분의 활용 (2·5·10·22번) — 4문항

2번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 5번 중 두 곡선 사이의 넓이, 10번 중 위치와 위치의 변화량, 22번 중상 움직인 거리(서술형).

5번은 두 곡선이 만드는 영역이 둘이라 각각의 넓이를 더해야 합니다. 한 구간만 계산하면 틀립니다.

10번은 두 점이 출발 후 다시 만나는 시각을 위치 차의 적분으로 구합니다. 시각은 양수만 남긴다는 점을 확인하세요.

22번 서술형은 운동 방향이 바뀌는 시각을 먼저 찾고, 구간별 이동 거리를 더해 누적 거리를 구하는 흐름입니다. 원점에서 가장 멀어지는 시각을 묻는 단계도 포함되어 있습니다.

5. 부정적분 (11·12번) — 2문항

11번 중 도함수의 그래프가 주어질 때 함수 구하기, 12번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기와 실근의 개수.

두 문항 모두 도함수 그래프에서 출발합니다. 그래프의 x절편과 y절편으로 도함수의 식을 정하고, 부정적분해 원래 함수를 복원하는 절차가 공통입니다.

주의 문항

14번 중상 (실근의 부호) — 근의 곱 부호와 정수 개수를 함께 따집니다.

15번 중상 (정적분 계산) — 1번과 같은 유형이지만 함수 결정 단계가 앞에 붙어 있습니다.

16번 중상 (실근의 개수) — 조건에 따라 두 경우를 모두 확인해야 합니다.

18번 중상 (절댓값과 실근의 개수) — 선택형 마지막 문항이자 가장 조건이 많은 문항입니다.

21번 중상 (극값 조건으로 삼차함수 결정, 서술형) — 식 세우는 과정을 빠짐없이 써야 합니다.

22번 중상 (움직인 거리, 서술형) — 방향 전환 시각을 놓치면 거리 계산이 통째로 틀립니다.

대구혜화여고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 다항함수의 정적분 계산 — 1번. 확보 구간입니다.
2. 완전제곱 꼴로 보는 부등식 — 4번.
3. 주어진 구간에서의 증가·감소 조건 — 3번.
4. 극대·극소 기본 계산 — 19번 서술형.
5. 정적분을 포함한 등식(양변 미분) — 20번 서술형.
6. 곡선과 x축, 두 곡선 사이의 넓이 — 2·5번.
7. 속도와 위치의 변화량 — 6·10번.
8. 세로 길이의 최솟값 — 7번.
9. 구간에서 부등식이 성립할 조건 — 8번.
10. ★ 실수 전체 증가 조건(판별식) — 9번.
11. 도함수 그래프에서 함수 복원 — 11·12번.
12. 극한 조건과 미적분의 기본정리 — 13번.
13. ★ 실근의 부호와 실근의 개수 — 14·16·18번.
14. 조건으로 함수 정한 뒤 정적분 — 15번.
15. 최솟값 조건과 미정계수 — 17번.
16. 극값 조건으로 삼차함수 결정 — 21번 서술형.
17. 방향 전환과 움직인 거리 — 22번 서술형.

자주 나오는 질문

대구혜화여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 1~18번은 선택형, 19~22번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 가장 어려운 구간은 중상 6문항(14·15·16·18·21·22번)이고, 그중 네 문항이 14~18번에 몰려 있습니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (2)와 (3)이 각 6문항으로 가장 많습니다. 정적분 4문항, 정적분의 활용 4문항, 부정적분 2문항입니다.

서술형은 어려운가요?

19·20번은 하, 21·22번은 중상입니다. 앞의 두 문항은 기본 계산이라 반드시 챙기고, 뒤의 두 문항은 풀이 과정을 단계별로 쓰는 연습이 필요합니다.

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