풍문고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년, 서울 강남구)

서울 강남구 풍문고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 문항이 배치된 단원은 도함수의 활용 (1)·(2)·(3) · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용으로 2학기 범위 전체입니다. 이 시험의 특징은 선택형 9~14번 여섯 문항이 연속 중상이라는 점, 그리고 답을 직접 쓰는 문항이 8개(15~22번) 나 된다는 점입니다.

핵심 요약

• 22문항 — 1~14번 선택형, 15~22번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 8 / 중 4 / 중상 9 / 상 1
• 배치 단원: 정적분 6 / 정적분의 활용 5 / 도함수의 활용 (3) 4 / 도함수의 활용 (2) 3 / 도함수의 활용 (1) 2 / 부정적분 2
• 두 번 나온 유형: 정적분을 포함한 등식(17·21번), 주어진 구간에서 삼차함수의 증가·감소 조건(18·19번)
• 상 난이도: 22번 서술형(정적분으로 정의된 함수의 최대·최소)

풍문고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

2025학년 풍문고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항이고, 분석표의 정답 기록을 보면 1~14번은 선택형, 15~22번 여덟 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다. 15번은 네 개의 명제를 참·거짓으로 판정하는 소문항형, 17번은 보기 중 옳은 것을 골라 쓰는 형태입니다.

배치 단원으로 묶으면 미분 파트 9문항(도함수의 활용 (1) 2 · (2) 3 · (3) 4), 적분 파트 13문항(부정적분 2 · 정적분 6 · 정적분의 활용 5) 입니다. 적분 쪽이 확실히 무겁습니다.

이 시험은 난이도가 양 끝으로 갈린 구성입니다. 하 8문항과 중상 이상 10문항이 대부분이고, 중은 4문항뿐입니다. 쉬운 문항은 확실히 쉽고, 어려운 문항은 확실히 어렵습니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 8 · 중 4 · 중상 9 · 상 1

선택형 1~8번은 하·중이라 빠르게 넘어갈 수 있습니다. 그런데 9번부터 14번까지 여섯 문항이 연속 중상입니다. 선택형 후반부에서 시간이 크게 들어갑니다.

서술형 19·20번은 하 난이도입니다. 서술형 구간에서 먼저 챙겨야 할 문항입니다. 반대로 17·18·21번은 중상, 22번은 상이라 서술형 후반부도 만만하지 않습니다.

출제 단원 — 정적분 6문항

정적분이 6문항으로 가장 많고, 그중 4문항(17·20·21·22번)이 서술형입니다. 정적분을 포함한 등식, 정적분으로 정의된 함수를 서술형으로 쓰는 연습이 필요한 시험입니다.

정적분의 활용 5문항은 넓이·위치·역함수 정적분까지 고루 나왔습니다.

반복 유형

• 정적분을 포함한 등식; 위끝(아래끝)에 변수가 있는 경우 — 17번 중상, 21번 중상
• 주어진 구간에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건 — 19번 하, 18번 중상

18번과 19번은 같은 유형인데 하와 중상으로 갈립니다. 19번은 닫힌 구간에서 도함수가 0 이하가 되도록 하는 기본형이고, 18번은 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 조건이 함께 얹혀 있습니다. 분석표에서도 18번은 앞 단원 개념이 누적된 문항으로 표시되어 있습니다.

17번과 21번은 양변을 미분해 함수를 구하는 같은 출발점을 갖지만, 17번은 보기 판정형이고 21번은 두 함수를 함께 복원하는 형태입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분 (8·11·17·20·21·22번) — 6문항

8번 중 절댓값이 들어간 정적분, 11번 중상 삼차함수의 증가 조건과 정적분 등식, 17번 중상 정적분을 포함한 등식(보기형 서술), 20번 하 정적분으로 정의된 함수의 극한(서술형), 21번 중상 정적분을 포함한 등식(서술형), 22번 상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소(서술형).

8번은 절댓값을 풀어 구간을 나누면 앞의 정적분과 일부가 지워지는 구조입니다.

11번은 역함수가 존재하는 삼차함수라는 조건에서 도함수의 판별식으로 계수를 정하고, 상수 정적분 조건과 최댓값까지 이어집니다.

20번 서술형은 lim 1/(x−a)∫f(t)dt 꼴을 미분계수로 바꾸는 기본형입니다. 하 난이도라 반드시 가져가야 합니다.

22번은 이 시험의 유일한 상 난이도입니다. 정적분으로 정의된 두 함수의 최대·최소 조건에서 필요조건을 끌어내고, 그 조건이 실제로 성립하는지까지 확인하는 4단계 서술형입니다.

2. 정적분의 활용 (4·5·13·15·16번) — 5문항

4번 하 곡선과 x축 사이의 넓이, 5번 하 위치의 변화량, 13번 중상 함수와 그 역함수의 정적분, 15번 중 미적분의 기본정리와 움직인 거리(참·거짓 서술), 16번 중 곡선과 직선 사이의 넓이(서술형).

13번은 구간별로 정의된 함수의 계수를 미분가능 조건으로 먼저 정하고, 역함수의 정적분을 넓이로 바꿔 계산합니다. 역함수의 그래프가 y=x에 대칭이라는 성질을 그림으로 확인하세요.

15번은 네 명제를 각각 판정하는 서술형입니다. 특히 움직인 거리와 위치의 변화량을 구분하는지를 묻습니다.

16번은 두 영역의 넓이 차를 하나의 정적분으로 처리하는 문항입니다.

3. 방정식과 운동 (6·7·9·10번) — 4문항

6번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 7번 하 시각에 대한 넓이의 변화율, 9번 중상 속도·가속도와 운동 방향, 10번 중상 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건.

7번은 도형의 각 변이 일정한 속도로 늘어날 때 넓이의 변화율을 구하는 기본형입니다.

9번은 운동 방향이 두 번 바뀔 조건에서 정수의 최댓값을 정한 뒤, 위치를 적분으로 구합니다.

10번은 도함수의 범위 조건을 적분해 함숫값의 범위를 끌어내는 문항입니다. 등호가 성립하는 경우까지 따져야 합니다.

4. 증가·감소와 극대·극소 (2·18·19번) — 3문항

2번 하 함수의 극대·극소(그래프에서 극소 개수 세기), 18번 중상 미분가능성과 구간 증가·감소 조건(서술형), 19번 하 주어진 구간에서 삼차함수가 감소하기 위한 조건(서술형).

5. 롤의 정리·평균값 정리 (1·14번) — 2문항

1번 하 롤의 정리, 14번 중상 평균값 정리.

14번은 평균 기울기 방정식을 세운 뒤 세 명제를 판정하는 문항입니다. 1번과 같은 단원이지만 난도 차이가 큽니다.

6. 부정적분 (3·12번) — 2문항

3번 하 부정적분의 정의, 12번 중상 부정적분과 미분의 관계로 함수 구하기.

12번은 곱의 미분을 거꾸로 읽어 다항식을 구한 뒤, 부호 조건에 맞는 경우만 남기는 문항입니다.

주의 문항

9~14번 연속 중상 — 운동 방향(9), 부등식 조건(10), 역함수와 정적분(11), 곱의 미분 역산(12), 역함수의 정적분(13), 평균값 정리(14). 여섯 문항이 모두 다른 단원이라 한 가지 기술로 묶이지 않습니다.

17번 중상 (정적분 등식, 보기형 서술) — 보기 하나하나를 근거와 함께 판정해야 합니다.

18번 중상 (미분가능성과 증가 조건, 서술형) — 앞 단원 개념이 필요합니다.

21번 중상 (정적분 등식으로 두 함수 복원, 서술형)

22번 상 (정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 서술형) — 이 시험의 최고 난도 문항입니다.

풍문고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 롤의 정리, 극대·극소 개수 세기 — 1·2번. 확보 구간입니다.
2. 부정적분의 정의 — 3번.
3. 곡선과 x축 사이 넓이, 위치의 변화량 — 4·5번.
4. 넓이의 변화율 — 7번.
5. 실근의 개수 — 6번.
6. 절댓값이 들어간 정적분 — 8번.
7. 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 20번 서술형.
8. 구간에서의 감소 조건 — 19번 서술형, 그리고 18번.
9. 운동 방향 전환 — 9번.
10. 도함수 범위로 함숫값 범위 구하기 — 10번.
11. 역함수가 존재할 조건과 정적분 — 11·13번.
12. 곱의 미분 역산 — 12번.
13. 평균값 정리 명제 판정 — 14번.
14. 거리와 변위 구분, 넓이 차 — 15·16번.
15. ★ 정적분을 포함한 등식 — 17·21번.
16. ★ 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 22번.

자주 나오는 질문

풍문고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 1~14번은 선택형, 15~22번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 22번 서술형 한 문항입니다. 선택형에서는 9~14번 여섯 문항이 연속 중상입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분이 6문항으로 가장 많습니다. 정적분의 활용 5문항, 도함수의 활용 (3) 4문항, 도함수의 활용 (2) 3문항, 도함수의 활용 (1)과 부정적분 각 2문항입니다.

서술형은 몇 문항인가요?

15~22번 여덟 문항입니다. 19·20번은 하, 15·16번은 중, 17·18·21번은 중상, 22번은 상입니다.

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