개포고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년, 서울 강남구)

서울 강남구 개포고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 문항이 배치된 단원은 도함수의 활용 (2)·(3) · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용입니다. 이 시험의 특징은 하 난이도가 한 문항도 없고, 20문항 중 16문항이 중상 이상이라는 점입니다. 난도가 매우 높은 시험입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 1~18번 선택형, 19·20번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 0 / 중 4 / 중상 12 / 상 4
• 배치 단원: 도함수의 활용 (2) 6 / 정적분의 활용 6 / 도함수의 활용 (3) 4 / 정적분 3 / 부정적분 1
• 두 번 나온 유형: 정적분을 포함한 등식(6·15번), 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정(12·14번)
• 상 4문항: 14·15·18·20번

개포고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

2025학년 개포고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항이고, 분석표의 정답 기록을 보면 1~18번은 선택형, 19·20번 두 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

배치 단원으로 묶으면 미분 파트 10문항(도함수의 활용 (2) 6 · (3) 4), 적분 파트 10문항(부정적분 1 · 정적분 3 · 정적분의 활용 6) 으로 정확히 반반입니다.

가장 중요한 특징은 난이도입니다. 중 난이도는 1·2·4·5번 네 문항뿐이고, 3번과 6번부터는 끝까지 중상 이상입니다. "쉬운 문항으로 점수를 쌓는" 구간이 사실상 없습니다. 앞 네 문항을 빠르게 끝낸 뒤, 남은 시간을 16문항에 어떻게 나눌지가 승부입니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 0 · 중 4 · 중상 12 · 상 4

중상이 60% 입니다. 거의 모든 문항이 2단계 이상의 조건을 연결해야 풀립니다.

상 4문항(14·15·18·20번) 은 분석표 기준 4~5단계 사고가 필요한 문항입니다. 특히 18번은 5단계로, 이 시험에서 가장 긴 풀이를 요구합니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (2)와 정적분의 활용이 6문항씩

도함수의 활용 (2)와 정적분의 활용이 각 6문항입니다. 도함수의 활용 (2)는 극대·극소와 최대·최소, 정적분의 활용은 넓이와 위치 문항입니다.

구간에 따라 다르게 정의된 함수의 접합점(12·14번) 이나 함숫값이 끊기는 점(18번) 을 다루는 문항이 여러 개입니다. 연속·미분가능·극한 존재 조건을 세우는 연습이 이 시험의 공통 준비물입니다.

반복 유형

• 정적분을 포함한 등식; 위끝(아래끝)에 변수가 있는 경우 — 6번 중상, 15번 상
• 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 12번 중상, 14번 상

12번과 14번은 둘 다 구간에 따라 정의된 함수의 접합점에서 출발합니다. 12번은 접합점에서의 연속·미분가능 조건과 극솟값으로 계수를 정하고, 14번은 여기에 최댓값 조건과 역검증까지 붙어 4단계가 됩니다.

6번과 15번은 양변을 미분해 함수를 복원하는 같은 유형입니다. 6번은 미분 후 초기값으로 함수를 정하고 원래 등식을 검증하는 3단계이고, 15번은 미분가능성 조건과 근의 개수 조건을 함께 따지는 4단계입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 극대·극소와 최대·최소 (4·7·10·12·14·16번) — 6문항

4번 중 삼차함수가 극값을 갖지 않을 조건, 7번 중상 최대·최소의 활용(넓이), 10번 중상 도함수의 그래프의 해석, 12번 중상 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 14번 상 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 16번 중상 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정.

4번은 도함수의 판별식 ≤ 0 조건을 쓰는 기본형입니다. 이 시험에서 얼마 안 되는 중 난이도이니 등호 포함 여부까지 정확히 확인하세요.

7번은 곡선 아래 직사각형의 넓이를 t·f(t)로 세워 최댓값을 찾습니다.

10번은 도함수 그래프가 대칭인 그림에서 함수의 성질을 판정합니다. 경계에서 반례가 생기는지 확인하는 단계가 있습니다.

16번은 길이가 일정한 구간에서의 최댓값을 함수로 놓고, 그 최댓값이 일정하게 유지되는 구간에서 극대점을 찾아 계수를 정하는 문항입니다.

2. 정적분의 활용 (8·9·11·13·17·20번) — 6문항

8번 중상 위치와 위치의 변화량, 9번 중상 함수와 그 역함수의 정적분, 11번 중상 두 곡선 사이의 넓이, 13번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이, 17번 중상 두 도형의 넓이가 같을 조건, 20번 상 두 곡선 사이의 넓이의 최솟값(서술형).

8번은 같은 위치에서 출발한 두 점의 속도 차를 적분해, 두 번 만나는 조건으로 계수를 구합니다.

9번은 역함수의 정적분을 직사각형 넓이의 차로 바꾸는 문항입니다. 역함수를 직접 구하지 않고 그래프 대칭을 쓰는 것이 핵심입니다.

13번은 우함수인 사차함수가 두 극솟값이 0이라는 조건에서 중근을 복원하고, 도함수 쪽 넓이 조건과 연결합니다.

17번은 두 넓이가 같다 = 정적분 값이 0이라는 변환이 출발점입니다.

20번 서술형은 세 교점에서 두 곡선의 차를 복원한 뒤, 두 영역 넓이의 합을 t에 대한 함수로 세우고 닫힌 구간에서 최대·최소를 구합니다.

3. 방정식·부등식과 운동 (1·3·18·19번) — 4문항

1번 중 속도, 3번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 부호, 18번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 19번 중상 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건(서술형).

3번은 음의 실근 두 개, 양의 실근 한 개가 되는 정수 k를 찾습니다. 극댓값과 f(0)을 비교하는 것이 열쇠입니다.

18번은 이 시험에서 단계가 가장 많은 문항입니다. 극한이 존재하는 점의 조건, 함숫값이 뛰는 차 조건, 직선과의 교점 조건을 차례로 연결해야 합니다.

19번 서술형은 접선의 y절편을 t에 대한 함수로 세우고, t² 치환 후 최댓값을 구해 부등식 조건으로 옮기는 문항입니다.

4. 정적분과 부정적분 (2·5·6·15번) — 4문항

2번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 5번 중 주기함수의 정적분, 6번 중상 정적분을 포함한 등식, 15번 상 정적분을 포함한 등식.

5번은 대칭 조건 두 개에서 주기를 끌어내는 문항입니다. 원점 대칭과 직선 대칭을 합치면 주기가 나옵니다.

주의 문항

14번 상 (접합점과 극대·극소) — 최댓값 조건을 역검증해야 합니다.

15번 상 (정적분 등식과 미분가능성) — 근의 개수 조건까지 연결됩니다.

18번 상 (실근의 개수) — 5단계, 이 시험의 최고 난도 문항입니다.

20번 상 (넓이의 최솟값, 서술형) — 넓이 함수를 세우는 과정 전체를 답안에 써야 합니다.

3·6번 중상 — 선택형 앞쪽부터 중상이 나오므로 시간 배분에 주의하세요.

개포고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 속도, 도함수로 함수 복원 — 1·2번.
2. 극값을 갖지 않을 조건(판별식) — 4번.
3. 주기함수의 정적분 — 5번.
4. 실근의 부호 — 3번.
5. ★ 정적분을 포함한 등식 — 6번, 그리고 15번.
6. 직사각형 넓이의 최댓값 — 7번.
7. 두 점의 위치 차와 만나는 조건 — 8번.
8. 역함수의 정적분 — 9번.
9. 도함수 그래프 해석 — 10번.
10. 두 곡선 사이의 넓이 — 11번.
11. ★ 접합점의 연속·미분가능 조건 — 12·14번.
12. 우함수 사차함수와 넓이 — 13번.
13. 구간 최댓값 함수 — 16번.
14. 넓이가 같을 조건 — 17번.
15. 실근의 개수(복합 조건) — 18번.
16. 접선의 y절편과 부등식 — 19번 서술형.
17. 넓이의 최대·최소 — 20번 서술형.

자주 나오는 질문

개포고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 1~18번은 선택형, 19·20번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

많이 어려운 시험인가요?

하 난이도가 없고 중상 이상이 16문항입니다. 중 난이도는 1·2·4·5번 네 문항뿐입니다.

킬러 문항은 몇 개인가요?

상 난이도가 4문항(14·15·18·20번) 입니다. 20번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (2)와 정적분의 활용이 각 6문항입니다. 도함수의 활용 (3) 4문항, 정적분 3문항, 부정적분 1문항입니다.

과년도 개포고 기출도 볼 수 있나요?

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