압구정고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

압구정고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 25문항입니다. 도함수의 활용부터 정적분의 활용까지 이어지는 시험인데, 문항 수로 보면 적분 쪽이 15문항, 미분 쪽이 10문항으로 적분이 더 무겁습니다. 하 난이도는 3문항뿐이고 중상이 9문항, 상이 1문항입니다.

핵심 요약

• 25문항 — 1~16번 선택형, 17~25번은 답을 직접 쓰는 문항
• 난이도: 하 3 / 중 12 / 중상 9 / 상 1
• 배치 단원: 09 정적분의 활용 8 / 08 정적분 6 / 05 도함수의 활용 (2) 5 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 03 미분계수와 도함수 1 / 07 부정적분 1
• 반복 유형: 그래프에서의 위치와 움직인 거리 4회(17~20번 연속)
• 상 난이도: 25번 정적분을 포함한 등식

압구정고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ는 어떤 시험인가

압구정고등학교는 서울 강남구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 25문항이고, 정답 기록상 1~16번이 선택형, 17~25번 아홉 문항이 답을 직접 쓰는 형태입니다.

하 난이도가 17·18·19번 세 문항뿐이라는 점이 이 시험의 성격을 보여 줍니다. 선택형 1~16번 안에는 하 난이도가 하나도 없습니다. 첫 문항부터 중 난이도로 시작하니, 앞에서 쉽게 시간을 벌 수 있는 시험이 아닙니다.

단원 순서도 섞여 있습니다. 1번 도함수의 활용, 2번 정적분, 3번 정적분의 활용, 4번 다시 정적분으로 오가는 식이라 번호 순서와 단원 순서가 일치하지 않습니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 3, 중상 9, 상 1

중상과 상을 합치면 10문항, 전체의 40% 입니다. 선택형에서는 7번과 12~16번이 중상이고, 답을 직접 쓰는 구간에서는 22·23·24번이 중상, 마지막 25번이 상입니다.

하 3문항(17·18·19번)은 모두 속도 그래프에서 위치와 움직인 거리를 읽는 문항입니다. 세 문항이 연속으로 배치되어 있고, 바로 이어지는 20번도 같은 유형(중)입니다. 이 네 문항은 확실히 가져가야 하는 구간입니다.

출제 단원 — 적분 15문항, 미분 10문항

정적분의 활용이 8문항으로 가장 많습니다. 그중 네 문항이 17~20번의 위치·거리 문항이라, 이 유형 하나가 시험의 큰 덩어리를 차지합니다.

14번은 03 미분계수와 도함수 단원의 곱의 미분법 문항입니다. 분석표에도 앞 단원 누적 문항으로 표시되어 있습니다. 기말 범위만 공부했다면 낯설 수 있지만, 난이도가 중상이라 1학기 미분 기초를 다시 훑어 둘 필요가 있습니다.

시그니처 유형 — 그래프에서의 위치와 움직인 거리 (17~20번)

이 시험에서 가장 많이 반복된 유형은 그래프에서의 위치와 움직인 거리입니다. 17·18·19번이 하, 20번이 중입니다.

핵심은 두 가지입니다.

• 위치의 변화량은 속도를 그대로 적분한 값(넓이에 부호를 붙여 더한 값)
• 움직인 거리는 속도의 절댓값을 적분한 값(넓이를 모두 양수로 더한 값)

20번은 여러 구간으로 나뉜 속도 그래프에서 위치가 0이 되는 시각을 모두 찾는 문항입니다. 구간마다 위치를 이어 붙여야 하니, 앞의 세 문항에서 구한 값을 정확히 쓰는 것이 중요합니다.

여기에 다음 유형들이 두 번씩 나옵니다.

• 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 12·24번
• 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수 — 4·16번

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분의 계산 (2·4·9·16번)

2번 중 피적분함수가 같은 정적분 연결, 4번 중 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분, 9번 중 정적분을 포함한 등식 (아래끝과 위끝이 상수), 16번 중상 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분.

4번과 16번이 같은 유형인데 난이도가 다릅니다. 4번은 절댓값 안의 부호가 바뀌는 지점에서 구간을 나눠 적분하면 끝나고, 16번은 미분이 안 되는 점의 조건으로 계수를 먼저 복원한 뒤 같은 작업을 합니다.

2. 넓이 (3·11·15·24번)

3번 중 두 곡선 사이의 넓이, 11번 중 두 곡선 사이 넓이의 최솟값, 15번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이 (그래프 꼴), 24번 중상 실근의 개수와 두 도형의 넓이가 같을 조건.

두 곡선 사이 넓이는 교점부터, 위아래 판단은 그다음입니다. 11번은 넓이를 하나의 함수로 놓고 최솟값을 찾는 문항이라 미분까지 이어집니다.

24번은 두 영역의 넓이가 같다는 조건을 부호 있는 정적분 = 0으로 바꾸는 발상이 필요합니다. 여기에 실근의 개수 조건이 겹쳐 있습니다.

3. 증가·감소와 최대·최소 (1·6·8·22·23번)

1번 중 함수의 그래프와 증가·감소, 6번 중 함수의 최대·최소, 8번 중 삼차함수가 실수 전체에서 증가 또는 감소하기 위한 조건, 22번 중상 최대·최소의 활용 (부피), 23번 중상 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정.

8번은 도함수의 판별식 D ≤ 0 하나로 정리되는 대표 유형입니다. 등호 포함 여부를 놓치지 마세요.

22번은 입체의 부피를 함수로 놓고 최댓값을 구하는 문항입니다. 단면 조건에서 변수 하나로 부피를 표현하는 첫 식 세우기가 가장 어렵습니다.

4. 방정식·부등식과 운동 (5·7·10·12번)

5번 중 시각에 대한 넓이의 변화율, 7번 중상 속도·가속도와 운동 방향, 10번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건, 12번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.

7번은 보기를 하나씩 판정하는 문항입니다. 운동 방향이 바뀌는 시각은 속도가 0이 되면서 부호가 바뀌는 시각이라는 점, 속도가 0이어도 부호가 안 바뀌면 방향은 그대로라는 점을 구분해야 합니다.

12번은 절댓값이 씌워진 그래프와 수평선의 교점을 세는 문항입니다. 극값을 먼저 구하고 그래프를 그려야 실근의 개수가 보입니다.

5. 정적분으로 정의된 함수 (13·25번)

13번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극한, 25번 상 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 정적분 등식.

25번이 이 시험의 유일한 상 난이도입니다. 등식의 양변을 미분해 f(x)를 끌어내고, 차수와 최고차항 계수의 부호를 정한 뒤, 원래 등식에 다시 넣어 검증하는 4단계 풀이로 기록되어 있습니다. 양변 미분 후 원래 식에 x값을 대입해 상수를 정하는 단계를 빼먹는 실수가 가장 흔합니다.

6. 미분의 기초와 부정적분 (14·21번)

14번 중상 곱의 미분법 (앞 단원 누적), 21번 중 부정적분의 계산.

21번은 답을 직접 쓰는 문항이니 적분상수 C를 빠뜨리지 않는지가 관건입니다.

주의 문항 — 중상 9문항과 상 1문항

7번 중상 (운동 방향) — 보기 판정형이라 하나라도 잘못 보면 틀립니다.

12번 중상 (실근의 개수) — 절댓값 그래프를 정확히 그려야 합니다.

13번 중상 (정적분으로 정의된 함수의 극한) — 구간별로 정의된 함수를 먼저 복원합니다.

14번 중상 (곱의 미분법) — 범위 밖 단원에서 나왔습니다.

15·16번 중상 (넓이, 절댓값 정적분) — 선택형 마지막 두 문항입니다.

22·23·24번 중상 — 부피 최대, 미정계수 결정, 넓이 조건과 실근 개수.

25번 상 (정적분을 포함한 등식) — 마지막 문항이자 최고 난도입니다.

12~16번 다섯 문항이 연속으로 중상이라는 점을 기억하세요. 선택형 후반부에서 시간이 가장 많이 듭니다.

압구정고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서

1. 곱의 미분법 복습 — 14번 대비. 1학기 내용입니다.
2. 증가·감소와 판별식 — 1·8번 대비.
3. 최대·최소와 그 활용 — 6·22번 대비. 부피 함수 세우기.
4. 극값으로 미정계수 결정 — 23번 대비.
5. ★ f(x)=k의 실근의 개수 — 12·24번 대비. 그래프부터 그리기.
6. 부등식이 항상 성립할 조건 — 10번 대비.
7. 속도·가속도와 운동 방향 — 7번 대비.
8. 부정적분과 적분상수 — 21번 대비.
9. 절댓값 함수의 정적분 — 4·16번 대비.
10. 정적분을 포함한 등식 — 9·25번 대비. 양변 미분과 대입.
11. 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 13번 대비.
12. 두 곡선 사이의 넓이 — 3·11·15번 대비.
13. ★ 위치의 변화량과 움직인 거리 — 17~20번 대비. 확보 구간.

자주 나오는 질문

압구정고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 25문항입니다. 1~16번은 선택형, 17~25번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분의 활용 8문항이 가장 많고, 정적분 6문항, 도함수의 활용 (2) 5문항이 뒤를 잇습니다. 적분 단원을 합치면 15문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

25번 한 문항이 상 난이도입니다. 정적분을 포함한 등식에서 함수를 복원하는 문항입니다. 중상도 9문항이나 됩니다.

쉬운 문항은 어디에 있나요?

하 난이도는 17·18·19번 세 문항뿐이고, 모두 속도 그래프에서 위치와 움직인 거리를 읽는 문항입니다.

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