서울 강남구 영동고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

서울 강남구 영동고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 문항이 배치된 단원은 도함수의 활용 · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용입니다. 이 시험의 가장 큰 특징은 정적분 한 단원에서 8문항이 나왔다는 점, 그리고 상 난이도 3문항이 11·16·21번에 흩어져 있다는 점입니다.

핵심 요약

• 21문항 — 1~16번은 선택지 번호, 17~21번은 수치로 정답이 기록됨
• 난이도: 하 3 / 중 6 / 중상 9 / 상 3
• 배치 단원: 정적분 8 / 정적분의 활용 5 / 도함수의 활용 (3) 4 / 도함수의 활용 (2) 2 / 부정적분 1 / 도함수의 활용 (1) 1
• 두 번씩 나온 유형: 실근의 개수(11·16번, 둘 다 상), 위치와 위치의 변화량(3·10번), 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분(12·20번)
• 적분 파트 14문항 vs 미분 파트 7문항

영동고라는 이름의 고등학교는 충북 영동군, 경북 영천시 등에도 있습니다. 이 글은 서울 강남구 영동고의 시험을 다룹니다.

영동고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

영동고등학교는 서울 강남구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항입니다. 분석표 정답 기록을 보면 1~16번은 선택지 번호, 17~21번은 수치로 적혀 있어 뒤쪽 5문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

배치 단원으로 묶으면 적분 파트 14문항(부정적분 1 · 정적분 8 · 정적분의 활용 5), 미분 파트 7문항(도함수의 활용 (1)·(2)·(3)) 입니다. 적분이 미분의 두 배입니다.

특히 부정적분은 6번 한 문항뿐이고 정적분에 8문항이 몰렸습니다. 부정적분 계산 자체보다 정적분의 성질(대칭, 구간별 정의, 정적분으로 정의된 함수) 을 깊게 묻는 시험입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 9, 상 3

중상 이상이 12문항으로 절반이 넘습니다. 하 난이도 3문항(1·3·17번)은 반드시 확보해야 할 자리입니다.

상 난이도는 11·16·21번으로 시험지 앞·중간·끝에 하나씩 있습니다. 11번에서 막히면 그대로 넘어가고 12~15번을 먼저 처리하는 편이 낫습니다. 12~15번은 네 문항 연속 중상입니다.

답을 직접 쓰는 17~21번은 하(17) → 중(18·19) → 중상(20) → 상(21) 순서로 난도가 올라갑니다.

출제 단원 — 정적분 8문항

정적분 8문항이 1번(하)부터 21번(상)까지 고르게 퍼져 있습니다. 이 단원 하나가 시험의 40% 가까이를 차지합니다.

도함수의 활용 (3) 4문항 중 두 문항(11·16번)이 상입니다. 문항 수는 적지만 킬러 두 개가 이 단원에서 나왔습니다.

반복 유형 — 실근의 개수가 두 번 모두 상

방정식 f(x)=k의 실근의 개수가 11·16번 두 문항에서 나왔고, 둘 다 상입니다. 이 시험에서 가장 어려운 유형이 두 번 반복된 셈입니다. 그래프와 직선 y=k의 교점을 세되, 극값의 높이와 k가 같아지는 경계값을 빠짐없이 따지는 연습이 필요합니다.

여기에 다음 유형이 두 번씩 나왔습니다.

• 위치와 위치의 변화량 — 3번 하, 10번 중상
• 정적분의 계산; 구간에 따라 다르게 정의된 함수 — 12번 중상, 20번 중상
• 우함수·기함수의 정적분 — 4번(피적분함수가 주어지지 않은 경우, 중상), 14번(피적분함수가 주어진 경우, 중상)

우함수·기함수 성질이 두 문항이라는 점도 기억하세요. -a부터 a까지의 정적분에서 홀수 차수 항은 0, 짝수 차수 항은 0부터 a까지의 두 배라는 성질이 기본입니다. 4번처럼 식이 주어지지 않으면 조건에서 함수가 우함수인지 기함수인지부터 판단해야 합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분 (1·4·5·12·14·15·20·21번) — 8문항

1번 하 정적분의 계산(피적분함수가 같은 경우), 4번 중상 우함수·기함수의 정적분(피적분함수가 주어지지 않은 경우), 5번 중 정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝에 변수), 12번 중상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분, 14번 중상 우함수·기함수의 정적분(피적분함수가 주어진 경우), 15번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 20번 중상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분, 21번 상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소.

1번은 피적분함수가 같은 정적분끼리 구간을 이어 붙이는 확보 문항입니다. 위끝과 아래끝을 바꾸면 부호가 바뀐다는 점만 주의하면 됩니다.

5번은 위끝에 x가 있는 등식입니다. 양변을 미분하면 f(x)가 나오고, x에 아래끝 값을 넣으면 좌변이 0이 되어 상수가 정해집니다.

12·20번은 구간마다 식이 다른 함수의 정적분입니다. 적분 구간을 경계점에서 쪼개 각 식으로 따로 계산합니다. 20번은 답을 직접 쓰는 문항이라 계산 실수가 그대로 감점입니다.

15·21번은 정적분으로 정의된 함수입니다. g(x)=∫f(t)dt 꼴이면 g′(x)=f(x) 이므로, f(x)의 부호 변화로 g(x)의 극대·극소와 최대·최소를 읽습니다. 21번은 같은 문자가 적분의 끝과 다른 조건에 동시에 등장하는 구조라 상으로 분류됐습니다.

2. 정적분의 활용 (3·7·10·13·19번) — 5문항

3번 하 위치와 위치의 변화량, 7번 중상 두 곡선 사이의 넓이의 활용(이등분), 10번 중상 위치와 위치의 변화량, 13번 중상 두 곡선 사이의 넓이, 19번 중 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이.

3번은 처음 위치에 속도의 정적분을 더해 위치를 구하는 기본형입니다.

7번은 넓이를 이등분하는 조건입니다. 전체 넓이의 절반이 되도록 식을 세워 미지수를 구합니다.

19번은 역함수의 넓이입니다. 역함수를 직접 구하지 말고 y=x 대칭으로 원래 함수 쪽 넓이로 바꾸는 것이 표준 풀이입니다.

3. 방정식·부등식·운동 (2·11·16·18번) — 4문항

2번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건, 11번 상 실근의 개수, 16번 상 실근의 개수, 18번 중 속도·가속도와 운동 방향.

2번은 f(x)≥0이 항상 성립하려면 최솟값이 0 이상이라는 원리입니다. 도함수의 영점이 중근이면 극값이 아니라는 점까지 확인해야 합니다.

18번은 운동 방향이 바뀌는 시각입니다. 속도가 0이 되면서 부호가 바뀌는 시각만 세야 합니다. 중근이면 방향이 바뀌지 않습니다.

4. 증가·감소와 극값 (8·17번) — 2문항

8번 중 주어진 구간에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 17번 하 함수의 극대·극소.

17번은 도함수 부호가 양에서 음으로 바뀌는 점이 극대라는 기본 확인입니다. 답을 직접 쓰는 구간의 첫 문항이라 확실히 가져가야 합니다.

5. 부정적분·접선 (6·9번)

6번 중 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기. 다항식의 차수를 비교해 f(x)의 차수부터 정하는 흐름입니다.

9번 중상 접선이 곡선과 다시 만나는 점. 곡선과 접선의 차를 인수분해하면 접점은 중근으로 나오고, 나머지 근이 다시 만나는 점입니다.

주의 문항 — 상 3문항과 12~15번 연속 중상

11번 상 (실근의 개수) — 시험지 중간에 나오는 첫 킬러입니다.

16번 상 (실근의 개수) — 11번과 같은 유형입니다. 경계값 분류를 끝까지 해야 합니다.

21번 상 (정적분으로 정의된 함수의 최대·최소) — 마지막 문항, 답을 직접 써야 합니다.

12~15번 네 문항 연속 중상 — 구간별 정의 함수, 넓이, 우함수·기함수, 정적분으로 정의된 함수가 이어집니다.

영동고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 정적분의 기본 계산과 구간 합치기 — 1번.
2. 위치와 위치의 변화량 — 3·10번.
3. 극대·극소의 판정 — 17번. 확보 구간입니다.
4. 부정적분 관계식과 차수 비교 — 6번.
5. 위끝에 변수가 있는 정적분 등식 — 5번.
6. 부등식이 항상 성립할 조건 — 2번.
7. 구간에서 증가·감소할 조건 — 8번.
8. 운동 방향과 속도의 부호 — 18번.
9. ★ 우함수·기함수의 정적분 — 4·14번.
10. ★ 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분 — 12·20번.
11. 접선과 곡선의 교점 — 9번.
12. 두 곡선 사이의 넓이와 이등분 — 7·13번.
13. 역함수와 y=x 대칭 넓이 — 19번.
14. ★ 정적분으로 정의된 함수의 극대·최대 — 15·21번.
15. ★ 실근의 개수 경계값 분류 — 11·16번.

자주 나오는 질문

영동고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 21문항입니다. 1~16번은 선택지 번호, 17~21번은 수치로 정답이 기록돼 있습니다.

킬러 문항은 몇 개인가요?

상 난이도는 11·16·21번 3문항입니다. 그중 11·16번이 모두 실근의 개수 유형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분이 8문항으로 가장 많습니다. 정적분의 활용 5문항, 도함수의 활용 (3) 4문항이 뒤를 잇습니다.

부정적분은 공부 안 해도 되나요?

부정적분 단원 문항은 6번 하나지만, 정적분 계산은 모두 부정적분 위에서 이루어집니다. 따로 비중이 작을 뿐 기본 계산은 반드시 익혀야 합니다.

과년도 영동고 기출도 볼 수 있나요?

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