서울 강남구 중산고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

서울 강남구 중산고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 문항이 배치된 단원은 도함수의 활용 · 정적분 · 정적분의 활용이고, 앞 단원 미분법 문항이 하나 섞였습니다. 이 시험의 특징은 세 번씩 반복된 유형이 두 개라는 점입니다.

핵심 요약

• 22문항 — 1~16번은 선택지 번호, 17~22번은 답을 직접 쓰는 형태로 기록됨
• 난이도: 하 4 / 중 6 / 중상 9 / 상 3
• 배치 단원: 정적분 5 / 정적분의 활용 5 / 도함수의 활용 (2) 5 / 도함수의 활용 (3) 4 / 도함수의 활용 (1) 2 / 미분계수와 도함수 1
• 세 번 나온 유형: 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소(8·14·22번), 곡선과 x축 사이의 넓이(11·15·19번)
• 상 난이도: 16·19·21번

중산고라는 이름의 고등학교는 경기 고양시에도 있습니다. 이 글은 서울 강남구 중산고의 시험을 다룹니다.

중산고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

중산고등학교는 서울 강남구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항입니다. 분석표 정답 기록을 보면 1~16번은 선택지 번호, 17~22번은 수치·분수·집합 등으로 적혀 있어 뒤쪽 6문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

배치 단원으로 묶으면 미분 파트 12문항(미분계수와 도함수 1 · 도함수의 활용 11), 적분 파트 10문항(정적분 5 · 정적분의 활용 5) 입니다. 미분과 적분이 거의 반반입니다.

부정적분 단원에 배치된 문항은 없습니다. 적분 파트 10문항이 모두 정적분과 그 활용입니다.

18번은 분석표에 범위 밖(앞 단원 누적) 으로 표시된 곱의 미분법 문항입니다. 난이도는 하라서 미분법을 알고 있으면 바로 풀리지만, 시험 범위만 공부했다면 낯설 수 있습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 9, 상 3

하 4문항 중 3문항(1·3·6번)이 시험 첫머리에 있습니다. 1~9번은 중상이 4·7번 두 개뿐이라 초반 확보 구간입니다.

10번부터는 분위기가 바뀝니다. 10~16번 일곱 문항 중 중 난이도는 13번 하나뿐이고, 나머지는 중상과 상입니다.

상 3문항은 16·19·21번입니다. 답을 직접 쓰는 구간(17~22번)에 상 두 문항(19·21번)이 들어 있어 마지막까지 시간을 남겨야 합니다.

출제 단원 — 세 단원이 5문항씩

정적분, 정적분의 활용, 도함수의 활용 (2)가 5문항씩 나눠 가졌습니다. 한 단원에 쏠리지 않은 배치입니다.

상 3문항은 세 단원에 하나씩입니다. 16번은 도함수의 활용 (3), 19번은 정적분의 활용, 21번은 정적분입니다.

반복 유형 — 두 유형이 세 번씩

정적분으로 정의된 함수의 극대·극소가 8번(중), 14번(중상), 22번(중상) 세 문항에 나왔습니다. g(x)=∫f(t)dt 꼴의 함수는 g′(x)=f(x) 이므로, f(x)의 부호가 바뀌는 점이 g(x)의 극값이 됩니다. 이 한 줄이 세 문항을 관통합니다.

곡선과 x축 사이의 넓이(f(x)≥0 또는 f(x)≤0인 경우) 도 11번(중상), 15번(중상), 19번(상) 세 문항입니다. 곡선이 x축 위에만 있거나 아래에만 있는 구간의 넓이를 구하는 유형으로, 19번은 답을 분수로 직접 쓰는 상 문항입니다.

여기에 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정이 12번(중상)과 17번(중)에서 두 번 나왔습니다.

세 유형이 8문항을 차지합니다. 이 세 유형을 먼저 완벽하게 만드는 것이 가장 효율적인 대비입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분 (1·8·14·21·22번) — 5문항

1번 하 정적분의 계산(적분 구간이 같은 경우), 8번 중 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 14번 중상 같은 유형, 21번 상 우함수·기함수의 정적분(피적분함수가 주어지지 않은 경우), 22번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소.

1번은 정적분 기본 계산 확보 문항입니다. 분석표에는 원시함수를 구해 위끝·아래끝 값을 대입하는 기본 흐름으로 기록돼 있습니다.

21번이 이 단원의 킬러입니다. 함수식이 주어지지 않고 조건만으로 우함수·기함수 성질을 끌어내야 합니다. 분석표 정답 칸에는 집합과 함숫값 두 가지가 함께 기록돼 있습니다.

2. 정적분의 활용 (2·7·11·15·19번) — 5문항

2번 중 움직인 거리, 7번 중상 두 곡선 사이의 넓이, 11번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이, 15번 중상 같은 유형, 19번 상 같은 유형.

2번은 속도의 절댓값을 적분합니다. 위치의 변화량과 혼동하지 않도록 주의하세요.

7번은 두 곡선의 교점을 먼저 구하고 위쪽 곡선에서 아래쪽 곡선을 빼서 적분합니다.

11·15·19번 세 문항은 넓이를 구하는 대상은 같지만 난도가 중상 → 중상 → 상으로 올라갑니다. 넓이 조건으로 미지수를 정하는 단계가 붙으면 난도가 올라갑니다.

3. 극대·극소와 증가·감소 (3·4·12·13·17번) — 5문항

3번 하 실수 전체에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 4번 중상 최대·최소의 활용(넓이), 12번 중상 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 13번 중 삼차함수가 극값을 가질 조건, 17번 중 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정.

3번과 13번은 짝을 이룹니다. 삼차함수가 항상 증가하려면 도함수의 판별식이 0 이하, 극값을 가지려면 판별식이 0보다 커야 합니다. 등호 포함 여부를 정확히 구분해야 합니다.

4번은 도형의 넓이를 함수로 세워 최댓값을 구하는 활용 문항입니다. 변수의 범위(정의역)를 먼저 확인해야 끝점 처리가 맞습니다.

4. 방정식·부등식·운동 (5·10·16·20번) — 4문항

5번 중 속도·가속도와 운동 방향, 10번 중상 두 그래프의 교점의 개수, 16번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 20번 중상 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건.

10번과 16번은 같은 기술입니다. 두 식을 한쪽으로 모아 f(x)=k 꼴로 만들고 극값의 높이와 비교합니다.

20번은 h(x)=f(x)−g(x)의 최솟값이 0보다 크다는 조건으로 바꾸는 유형입니다. 답을 분수로 직접 써야 합니다.

5. 접선·평균값 정리·미분법 (6·9·18번)

6번 하 평균값 정리, 9번 중 접선의 방정식(접점이 주어진 경우), 18번 하 곱의 미분법({f(x)}ⁿ 꼴). 세 문항 모두 기본형이라 반드시 맞혀야 할 자리입니다.

주의 문항 — 상 3문항

16번 상 (실근의 개수) — 선택형 구간의 마지막 문항입니다.

19번 상 (곡선과 x축 사이의 넓이) — 같은 유형 세 번째 문항이고, 답을 분수로 써야 합니다.

21번 상 (우함수·기함수의 정적분) — 식 없이 조건으로 성질을 끌어내는 문항입니다.

중산고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 정적분의 기본 계산 — 1번.
2. 평균값 정리와 접선의 방정식 — 6·9번.
3. 곱의 미분법 — 18번. 앞 단원 복습.
4. ★ 증가 조건과 극값 조건의 판별식 — 3·13번.
5. 운동 방향과 움직인 거리 — 2·5번.
6. ★ 극대·극소로 미정계수 정하기 — 12·17번.
7. 최대·최소의 활용(넓이) — 4번.
8. ★ 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 8·14·22번.
9. 두 곡선 사이의 넓이 — 7번.
10. ★ 곡선과 x축 사이의 넓이 — 11·15·19번.
11. 교점·실근의 개수 — 10·16번.
12. 부등식이 항상 성립할 조건 — 20번.
13. 우함수·기함수의 정적분 — 21번.

자주 나오는 질문

중산고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 1~16번은 선택지 번호, 17~22번은 답을 직접 쓰는 형태로 정답이 기록돼 있습니다.

킬러 문항은 몇 개인가요?

상 난이도는 16·19·21번 3문항입니다. 세 단원(도함수의 활용 (3), 정적분의 활용, 정적분)에 하나씩 있습니다.

가장 많이 반복된 유형은 무엇인가요?

정적분으로 정의된 함수의 극대·극소(8·14·22번) 와 곡선과 x축 사이의 넓이(11·15·19번) 가 각각 세 번 나왔습니다.

시험 범위 밖 문제도 나왔나요?

18번(곱의 미분법) 이 분석표에 앞 단원 누적으로 표시돼 있습니다. 난이도는 하입니다.

과년도 중산고 기출도 볼 수 있나요?

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