신목고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

신목고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 문항이 배치된 단원은 도함수의 활용 (2)·(3) · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용입니다. 이 시험의 특징은 한마디로 상 난이도가 21문항 중 11문항이라는 점입니다. 하 난이도는 2번 한 문항뿐입니다.

핵심 요약

• 21문항 — 1~18번은 선택형, 19~21번은 풀이 과정까지 쓰는 서답형
• 난이도: 하 1 / 중 5 / 중상 4 / 상 11
• 배치 단원: 정적분 7 / 정적분의 활용 5 / 도함수의 활용 (2) 4 / 도함수의 활용 (3) 4 / 부정적분 1
• 최다 반복 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 3회(8·12·15번)
• 상 난이도 시작: 7번부터, 14~21번은 8문항 연속 상

신목고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

신목고등학교는 서울 양천구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항입니다. 분석표 기준으로 1~18번은 선택지 번호로, 19~21번은 숫자로 정답이 기록돼 있고, 19~21번은 난이도 근거에 과정 서술이 명시돼 있습니다.

배치 단원으로 묶으면 미분 8문항(도함수의 활용 (2) 4 · (3) 4), 적분 13문항(부정적분 1 · 정적분 7 · 정적분의 활용 5) 입니다. 적분이 확실히 무겁습니다.

이 시험의 성격을 결정하는 것은 난이도입니다. 상 11문항은 모두 분석표에서 4~5단계 풀이로 기록돼 있습니다. 한 문항 안에서 조건 해석 → 함수 결정 → 검증 → 요구값 계산이 길게 이어지는 구조입니다. 시간 배분이 곧 점수입니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 11문항

절반이 넘는 문항이 상입니다. 그리고 1~6번을 지나면 중 이하 문항이 하나도 없습니다. 7번부터는 중상과 상만 나오고, 14번부터 21번까지는 8문항 연속 상입니다.

전략은 분명합니다. 1~6번(하 1, 중 5)을 빠르고 정확하게 끝내고, 7~13번에서 중상 4문항을 확실히 챙긴 뒤, 남은 시간으로 상 문항에 들어가는 순서입니다. 앞에서 한 문항이라도 흘리면 뒤에서 만회할 문항이 거의 없습니다.

출제 단원 — 정적분 7, 정적분의 활용 5

정적분 7문항 중 6문항이 중상 이상입니다. 하는 2번 하나뿐입니다. 정적분이 단순 계산이 아니라 함수를 복원하는 도구로 쓰인다는 뜻입니다.

10·13번은 분석표에 "앞 단원 누적" 으로 표시돼 있습니다. 실제 핵심이 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성(미분계수와 도함수 단원 내용)이기 때문입니다. 1학기 내용인 미분가능성 조건을 다시 정리해 두어야 합니다.

반복 유형 — 실근의 개수 3회

방정식 f(x)=k의 실근의 개수가 8·12·15번 세 문항에서 쓰였고, 세 문항 모두 상입니다. 8번은 정적분 계산과, 15번은 삼차함수가 증가할 조건과 결합돼 있습니다. 극값의 높이와 수평선 y=k의 위치 관계로 근의 개수를 세는 방법이 이 시험의 중심 도구입니다.

이 밖에 두 번씩 나온 유형은 다음과 같습니다.

• 함수의 최대·최소 — 1·6번
• 정적분의 계산(적분 구간이 같은 경우) — 2·8번
• 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 — 10·13번
• 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 10·21번
• 두 곡선 사이의 넓이 — 11·20번

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 최대·최소와 극값 (1·6·10·21번) — 4문항

1번 중 닫힌구간에서 함수의 최대·최소, 6번 중 함수의 최대·최소(두 함수 비교), 10번 중상 미분가능성 + 극대·극소를 이용한 미정계수 결정, 21번 상 극대·극소를 이용한 미정계수 결정(서답형).

1번은 닫힌구간의 양 끝과 모든 정지점에서 함숫값을 비교하는 기본형입니다.

6번은 "모든 x에 대해" 조건을 f의 최솟값과 g의 최댓값 비교로 바꾸는 발상이 필요합니다.

21번은 절댓값이 들어간 함수에서 양쪽 극한, 내부 최대점 조건, 도함수의 근과 부호를 차례로 따져 극솟값을 구하는 서답형입니다.

2. 실근의 개수·교점의 개수·운동 (3·12·15·17번) — 4문항

3번 중 위로 던진 물체의 위치와 속도, 12번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 15번 상 삼차함수가 증가할 조건 + 실근의 개수, 17번 상 두 그래프의 교점의 개수.

3번은 물체가 다시 지면에 닿는 양의 시각을 구하고, 그 순간의 속도를 미분으로 계산합니다. 이 파트에서 유일한 중 문항입니다.

12번은 ㄱ·ㄴ·ㄷ 보기형입니다. 도함수의 대칭성과 극값의 순서를 정리한 뒤, 보기마다 경우를 나눠 판정합니다.

17번은 분석표에서 5단계 풀이로 기록된 문항입니다. 짝수 차수 사차함수의 근 구조, 기울기 m의 부호, 구간별 근의 개수, 높이 경계를 모두 따져야 합니다.

3. 부정적분 (4번) — 중

4번 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기. 곱의 미분으로 관계식을 정리하고 초기값으로 상수를 정하는 표준형입니다.

4. 정적분 (2·8·9·13·14·18·19번) — 7문항

2번 하 정적분의 계산(같은 구간), 8번 상 실근의 개수 + 정적분 계산, 9번 중상 정적분을 포함한 등식(피적분함수에 변수), 13번 중상 미분가능성 + 구간별로 정의된 함수의 정적분, 14번 상 도함수가 주어질 때 함수 구하기 + 주기함수의 정적분, 18번 상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 19번 상 정적분을 포함한 등식(서답형).

2번은 이 시험의 유일한 하 문항입니다. 같은 구간의 정적분을 합쳐 계산하면 끝납니다.

14번은 두 함수의 도함수 합·곱 조건으로 다항식 두 개를 복원한 뒤, 주기성을 이용해 넓은 구간의 적분을 합치는 4단계 문항입니다.

18번은 미적분의 기본정리로 도함수의 네 근 순서를 정하고, 극값이 2개라는 조건에서 중근 구조를 결정하는 5단계 문항입니다.

19번은 서답형입니다. 첫 등식을 미분해 초기값을 정하고, 두 함수의 미분 항등식을 적분해 모든 계수를 연립으로 구한 뒤, 역으로 검산하는 흐름입니다.

5. 정적분의 활용 (5·7·11·16·20번) — 5문항

5번 중 포물선과 직선 사이의 넓이(1/6 공식), 7번 상 움직인 거리, 11번 중상 두 곡선 사이의 넓이, 16번 상 곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이, 20번 상 두 곡선 사이의 넓이(서답형).

5번은 두 영역 S1, S2로 나눈 넓이의 비율을 묻는 문항입니다.

7번은 속도 부호가 바뀌는 시각에서 거리를 나누고, 상대 위치까지 따져 ㄱ·ㄴ·ㄷ을 판정하는 4단계 문항입니다.

16번은 외부의 점에서 그은 접선의 접점을 모두 찾고, 그중 제4사분면 쪽을 골라 넓이를 계산합니다.

20번은 서답형입니다. 두 극한 조건에서 중근 구조를 읽어 함수를 정한 뒤, 모든 교점을 찾아 넓이를 구하는 5단계 흐름입니다.

주의 문항 — 상 11문항 중 특히 긴 것

17번 상 (교점의 개수, 5단계) — 경우 나누기가 가장 많습니다.

18번 상 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 5단계) — 중근 구조를 놓치면 처음부터 다시 풀어야 합니다.

19번 상, 서답형 (정적분 등식, 5단계) — 계수 연립과 검산까지 서술해야 합니다.

20번 상, 서답형 (두 곡선 사이 넓이, 5단계) — 극한 조건 해석이 출발점입니다.

14·15·16번 상 (각 4단계) — 14번 이후 상이 끝까지 이어지니 이 구간에서 시간을 조절해야 합니다.

신목고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 같은 구간 정적분의 계산 — 2번. 유일한 하 문항, 반드시 확보.
2. 닫힌구간 최대·최소 — 1번.
3. 부정적분 관계식 — 4번.
4. 1/6 공식과 넓이 비율 — 5번.
5. "모든 x" 조건을 최대·최소로 바꾸기 — 6번.
6. 위로 던진 물체 — 3번.
7. 정적분을 포함한 등식 — 9·19번.
8. 미분가능성 조건(1학기 복습) — 10·13번.
9. 두 곡선 사이의 넓이 — 11·20번.
10. ★ 실근의 개수 — 8·12·15번. 이 시험의 중심 도구.
11. 교점의 개수(사차함수) — 17번.
12. 주기함수의 정적분 — 14번.
13. 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 18번.
14. 움직인 거리 — 7번.
15. 곡선과 접선 사이의 넓이 — 16번.
16. 극값을 이용한 미정계수(절댓값 함수) — 21번.

자주 나오는 질문

신목고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 21문항입니다. 1~18번은 선택형, 19~21번은 풀이 과정까지 쓰는 서답형입니다.

얼마나 어려운가요?

상 난이도가 11문항으로 절반이 넘습니다. 하는 2번 한 문항, 중은 1·3·4·5·6번 다섯 문항입니다. 7번 이후로는 중상과 상만 나옵니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분 7문항, 정적분의 활용 5문항, 도함수의 활용 (2)·(3) 각 4문항, 부정적분 1문항입니다.

같은 양천구 양천고와 비교하면 어떤가요?

같은 2025학년 2학기 기말 수학Ⅱ 기준으로 양천고도 상 11문항(24문항 중)입니다. 두 학교 모두 상 비중이 매우 높은 시험입니다. 다만 신목고는 정적분이 7문항으로 가장 많고, 양천고는 도함수의 활용 (2)가 7문항으로 가장 많습니다.

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