양천고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

양천고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 24문항입니다. 문항이 배치된 단원은 미분계수와 도함수 · 도함수의 활용 (1)·(2)·(3) · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용입니다. 이 시험의 특징은 하 난이도가 한 문항도 없고 상이 11문항이라는 점, 그리고 2학기 시험인데도 미분 쪽 문항이 14개로 적분보다 많다는 점입니다.

핵심 요약

• 24문항 — 1~18번은 선택형, 19~24번 여섯 문항은 답을 직접 쓰는 서답형
• 난이도: 하 0 / 중 6 / 중상 7 / 상 11
• 배치 단원: 도함수의 활용 (2) 7 / 정적분의 활용 5 / 도함수의 활용 (3) 4 / 부정적분 3 / 도함수의 활용 (1) 2 / 정적분 2 / 미분계수와 도함수 1
• 두 번씩 나온 유형 6개: 곡선과 직선 사이의 넓이, 실근의 개수, 최대·최소, 미분가능성 등
• 선택형 9~18번은 10문항 중 9문항이 상

양천고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

양천고등학교는 서울 양천구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 24문항입니다. 분석표 기준으로 1~18번은 선택지 번호로, 19~24번은 식이나 숫자로 정답이 기록돼 있어 서답형이 여섯 문항입니다.

배치 단원으로 묶으면 미분 14문항(미분계수와 도함수 1 · 도함수의 활용 (1) 2 · (2) 7 · (3) 4), 적분 10문항(부정적분 3 · 정적분 2 · 정적분의 활용 5) 입니다. 미분 쪽이 더 무겁습니다. 특히 정적분 단원은 2문항뿐이고, 적분 파트는 넓이·거리 같은 정적분의 활용(5문항) 에 집중돼 있습니다.

18·20·23번은 분석표에 "앞 단원 누적" 으로 표시돼 있습니다. 실제 핵심이 미분가능성·함수 항등식(미분계수와 도함수 단원 내용)이기 때문입니다. 1학기 미분 단원을 함께 복습해야 하는 시험입니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 0, 상 11

하 난이도가 없습니다. 가장 쉬운 문항도 중이고, 그 중 6문항이 1~5번과 서답형 19번에 있습니다.

난이도 흐름은 이렇습니다. 1~5번 중 → 6~8번 중상 → 9번부터 상이 시작돼, 선택형 9~18번 10문항 중 10번(중상)을 빼고 모두 상입니다. 서답형은 19번(중)에서 다시 내려왔다가 20~22번 중상, 23·24번 상으로 끝납니다.

상 11문항은 분석표에서 모두 4~5단계 풀이로 기록돼 있습니다. 1~8번과 19~22번을 먼저 정확히 처리하고, 남는 시간을 상 문항에 배분하는 순서가 현실적입니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (2) 7문항

도함수의 활용 (2)(증가·감소, 극대·극소, 최대·최소)가 7문항으로 가장 많고, 그중 9·14·23·24번 네 문항이 상입니다. 이 단원이 시험의 무게 중심입니다.

정적분의 활용 5문항은 6·7·10번 중상, 13·17번 상으로 전부 중상 이상입니다. 넓이·거리 문항을 기본형으로만 연습하면 부족합니다.

반복 유형 — 여섯 유형이 두 번씩

한 유형이 세 번 이상 나온 경우는 없고, 두 번씩 나온 유형이 여섯 개입니다.

• 곡선과 직선 사이의 넓이 — 6·7번(둘 다 중상, 연속 배치)
• 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 15·16번(둘 다 상, 연속 배치)
• 함수의 최대·최소 — 9·23번(둘 다 상)
• 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 — 18·23번(둘 다 상)
• 도함수가 주어질 때 함수 구하기 — 2·20번
• 정적분을 포함한 등식(아래끝과 위끝이 상수) — 4·22번

6·7번, 15·16번처럼 같은 유형이 연달아 배치된 것이 눈에 띕니다. 앞 문항에서 쓴 방법을 다음 문항에서 한 단계 확장하는 구성입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 증가·감소, 극값, 최대·최소 (3·8·9·14·21·23·24번) — 7문항

3번 중 함수의 극대·극소(정의와 명제 판정), 8번 중상 함수의 증가와 감소, 9번 상 함수의 최대·최소, 14번 상 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 21번 중상 사차함수가 극값을 가질 조건(서답형), 23번 상 미분가능성 + 최대·최소(서답형), 24번 상 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정(서답형).

3번은 극값의 정의를 묻는 명제 판정입니다. 상수함수 같은 반례를 떠올릴 수 있는지가 관건입니다.

8번은 도함수의 단근·중근에서 부호가 어떻게 바뀌는지를 정확히 알아야 합니다. 중근에서는 부호가 바뀌지 않습니다.

9번은 움직이는 구간에서 최댓값이 바뀌는 지점을 모두 찾는 문항입니다. 경계마다 양 끝 값 비교가 필요합니다.

23·24번은 서답형 상 두 문항입니다. 23번은 접점의 이중인수와 절댓값 함수의 미분가능 조건을, 24번은 극값 조건으로 삼차함수 계수를 모두 결정한 뒤 절댓값 합을 구합니다.

2. 실근·교점의 개수와 부등식 (5·11·15·16번) — 4문항

5번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건, 11번 상 두 그래프의 교점의 개수, 15번 상 실근의 개수(합성함수), 16번 상 실근의 개수(정적분으로 정의된 함수).

5번은 반직선 구간에서 최솟값이 0보다 크다는 조건으로 바꾸고, 부등호가 엄격하다는 점을 정수 경계에서 확인합니다.

15번은 분석표에서 5단계로 기록된 문항입니다. 삼차함수의 근 구조와 합성 방정식 두 개의 근 개수를 동시에 따져야 합니다.

16번은 n=1부터 10까지 각각의 근 개수를 세어 합하는 형태입니다. 중복 근을 빼는 것을 잊지 마세요.

3. 접선과 평균값 정리 (1·19번) — 2문항, 둘 다 중

1번 평균값 정리, 19번 접선의 방정식(기울기가 주어진 경우, 서답형).

19번은 서답형 중 가장 쉬운 문항입니다. 기울기에서 접점을 하나로 결정하고 직선의 식을 쓰면 됩니다. 반드시 확보해야 합니다.

4. 부정적분 (2·12·20번) — 3문항

2번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 12번 상 함수와 부정적분 사이의 관계식, 20번 중상 항등식이 주어질 때 도함수 구하기 + 도함수로 함수 구하기(서답형).

12번은 다항식의 최고차항과 차수를 먼저 결정하고, 모든 계수를 연립한 뒤 원래 식에 다시 넣어 검산하는 4단계 문항입니다.

20번은 함수 항등식에서 초기값을 구하고, 미분계수의 정의로 도함수를 만든 뒤 적분하는 흐름입니다.

5. 정적분과 정적분의 활용 (4·6·7·10·13·17·22번) — 7문항

4번 중 정적분을 포함한 등식(상수 끝), 6번 중상 곡선과 직선 사이의 넓이, 7번 중상 곡선과 직선 사이의 넓이(대칭 이용), 10번 중상 두 도형의 넓이가 같을 조건, 13번 상 움직인 거리, 17번 상 위치와 위치의 변화량, 22번 중상 정적분을 포함한 등식(서답형).

6·7번은 곡선과 직선의 세 교점을 구하고 두 구역으로 나눠 넓이를 계산합니다. 7번은 중심 대칭을 이용하면 계산이 크게 줄어듭니다.

10번은 그림 속 두 영역 S1, S2의 넓이를 각각 정적분으로 나타내 조건식을 세우는 문항입니다. 그래프의 대칭축을 먼저 찾는 것이 출발점입니다.

13번은 보기를 판정하는 움직인 거리 문항입니다. 초기 위치에 속도의 적분을 더해 위치를 세우고, 필요한 시각을 모두 찾은 뒤 구간별로 거리를 계산합니다.

주의 문항 — 5단계로 기록된 두 문항

15번 상 (합성함수의 실근의 개수) — 두 방정식의 근 개수를 동시에 세야 합니다.

18번 상 (미분가능성) — 절댓값 함수가 미분 불가능한 점과 임계값별 우극한을 모두 따집니다.

이 밖에 선택형 9·11·12·13·14·16·17번 상은 모두 4단계 풀이입니다. 9~18번 구간에 상이 몰려 있으니, 이 구간에서 한 문항에 오래 머물지 않는 것이 중요합니다.

양천고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 평균값 정리 — 1번.
2. 도함수로 함수 구하기 — 2·20번.
3. 극값의 정의와 반례 — 3번.
4. 상수 끝 정적분 등식 — 4·22번.
5. 부등식이 항상 성립할 조건 — 5번.
6. 기울기가 주어진 접선 — 19번. 서답형 확보 문항.
7. ★ 곡선과 직선 사이 넓이(대칭 포함) — 6·7번.
8. 단근·중근과 증가·감소 — 8번.
9. 두 도형의 넓이가 같을 조건 — 10번.
10. 사차함수의 극값 조건 — 21번.
11. ★ 이동구간 최대·최소 — 9·23번.
12. 미분가능성(1학기 복습) — 18·23번.
13. 최대·최소, 극값으로 미정계수 결정 — 14·24번.
14. ★ 실근·교점의 개수 — 11·15·16번.
15. 부정적분 관계식(차수 결정) — 12번.
16. 움직인 거리와 위치의 변화량 — 13·17번.

자주 나오는 질문

양천고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 24문항입니다. 1~18번은 선택형, 19~24번 여섯 문항은 서답형입니다.

얼마나 어려운가요?

하 0 / 중 6 / 중상 7 / 상 11입니다. 하 난이도가 없고, 상이 절반에 가깝습니다.

2학기 기말인데 미분이 더 많이 나오나요?

배치 단원 기준 미분 14문항, 적분 10문항입니다. 도함수의 활용 (2)가 7문항으로 가장 많습니다. 미분가능성처럼 1학기 내용이 핵심인 문항도 있습니다.

같은 양천구 신목고와 비교하면 어떤가요?

같은 2025학년 2학기 기말 수학Ⅱ 기준으로 신목고도 상 11문항(21문항 중)입니다. 다만 신목고는 정적분 단원이 7문항으로 가장 많은 반면, 양천고는 정적분 단원이 2문항이고 도함수의 활용 (2)가 7문항입니다. 같은 지역이라도 무게 중심이 다릅니다.

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