여의도고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

여의도고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 문항이 배치된 단원은 도함수의 활용 (2)·(3) · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용입니다. 이 시험의 특징은 정적분 단원이 8문항으로 가장 많다는 점, 그리고 서답형 네 문항 중 하나가 증명 문항이라는 점입니다.

핵심 요약

• 21문항 — 1~17번은 선택형, 18~21번은 서답형(19번은 증명)
• 난이도: 하 4 / 중 10 / 중상 7 / 상 0
• 배치 단원: 정적분 8 / 도함수의 활용 (2) 6 / 도함수의 활용 (3) 3 / 부정적분 2 / 정적분의 활용 2
• 최다 반복 유형: 정적분을 포함한 등식(위끝에 변수) 3회(1·4·13번)
• 중상 7문항 중 6문항이 15번 이후

여의도고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

여의도고등학교는 서울 영등포구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항입니다. 분석표 기준으로 1~17번은 선택지 번호로 정답이 기록돼 있고, 18~21번은 서답형입니다. 그중 19번은 정의를 이용해 함수가 증가함을 보이는 증명 문항이고, 21번은 답이 식과 조건으로 기록된 서술형입니다.

배치 단원으로 묶으면 미분 9문항(도함수의 활용 (2) 6 · (3) 3), 적분 12문항(부정적분 2 · 정적분 8 · 정적분의 활용 2) 입니다.

도함수의 활용 (2) 6문항(10·11·15·18·19·20번)은 분석표에 "범위 외 누적"으로 표시돼 있습니다. 증가·감소, 극값, 최대·최소가 이번 시험 범위보다 앞선 내용으로 분류됐다는 뜻입니다. 앞 단원 내용이 6문항, 그중 4문항이 서답형·중상 쪽에 걸려 있으니 도함수의 활용 (2)를 반드시 다시 정리하고 들어가야 합니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 10, 중상 7

상 난이도는 없습니다. 대신 중상이 7문항으로 3분의 1입니다.

흐름이 분명합니다. 1~14번은 8번 하나를 빼면 하·중이고, 15·16·17번 선택형 세 문항과 서답형 18·20·21번이 모두 중상입니다. 앞 14문항을 빠르게 끝내야 뒤 중상 6문항에 시간을 쓸 수 있습니다.

19번 증명 문항은 하입니다. 증가함수의 정의를 정확히 쓰면 되는 문항이니, 서답형에서 반드시 확보해야 합니다.

출제 단원 — 정적분 8문항

정적분 8문항이 시험의 중심입니다. 하 3문항(1·2·5번)으로 시작해 중 3문항(4·12·13번), 중상 2문항(8·17번)까지 난이도 폭이 넓습니다.

정적분의 활용은 2문항(7·14번) 으로 적습니다. 넓이·거리보다 정적분의 성질과 정적분으로 정의된 함수를 묻는 비중이 훨씬 큽니다.

반복 유형 — 정적분을 포함한 등식 3회

정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우) 이 1·4·13번 세 문항에서 나왔습니다. 1번(하)은 위끝과 아래끝이 같아지는 값을 넣으면 정적분이 0이 되는 성질과 기본정리를 쓰는 기본형, 4번(중)은 위끝으로 미분해 함수 모양을 정한 뒤 정적분 값을 연립하는 문항, 13번(중)은 도함수가 홀함수라는 조건과 극점 조건을 결합한 문항입니다.

두 번씩 나온 유형은 다음과 같습니다.

• 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기 — 3·9번
• 그래프와 정적분으로 정의된 함수 — 12·17번

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분의 계산과 등식 (1·2·4·5·13번) — 5문항

1번 하 정적분을 포함한 등식, 2번 하 같은 구간 정적분의 계산(유리식 약분), 4번 중 정적분을 포함한 등식, 5번 하 우함수·기함수의 정적분, 13번 중 정적분을 포함한 등식.

2번은 같은 구간의 두 정적분을 합치면 분모가 약분되는 구조입니다. 따로 계산하려 하면 오히려 막힙니다.

5번은 우함수·기함수의 정적분으로 두 계수를 구하는 확보 문항입니다.

2. 정적분으로 정의된 함수 (8·12·17번) — 3문항

8번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극한, 12번 중 그래프와 정적분으로 정의된 함수, 17번 중상 그래프와 정적분으로 정의된 함수.

8번은 극한을 미분계수의 정의로 바꿔 도함수를 구하고, 접점 조건으로 적분상수를 정한 뒤 극한값을 계산하는 3단계 문항입니다.

12번은 도함수 그래프의 넓이와 대칭으로 매개변수를 정하고, 원래 함수의 적분상수를 구해 보기 세 개를 판정합니다.

17번은 구간을 반사한 정적분과 절댓값 적분을 다루고, 단조 구간별로 근의 개수를 전부 세는 문항입니다.

3. 증가·감소, 극값, 최대·최소 (10·11·15·18·19·20번) — 6문항

10번 중 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 11번 중 실수 전체에서 삼차함수가 증가하기 위한 조건, 15번 중상 함수의 최대·최소, 18번 중상 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정(서답형), 19번 하 함수의 증가와 감소(증명, 서답형), 20번 중상 도함수의 그래프의 해석(응용, 서답형).

10번은 절댓값 함수의 닫힌구간 최댓값 후보를 모두 비교하고, 최댓값의 범위로 정수 조건을 정합니다.

11번은 접선의 식에서 계수 관계를 얻고, 실수 전체 증가 조건과 완전제곱식으로 최솟값을 구합니다.

15번은 움직이는 구간에서 최댓값을 주는 식이 바뀌는 지점을 나누고, 그 결과 생기는 미분 불가능한 점과 극댓값을 따집니다.

19번은 증가함수의 정의로 증명하는 서답형입니다. 분석표에는 왼쪽·오른쪽·경계의 세 경우를 나눠 증명하는 흐름으로 기록돼 있습니다. 세 경우를 빠짐없이 다뤄야 합니다.

20번은 도함수 그래프와 절댓값 함수의 미분 가능 조건에서 사차함수를 복원하는 서답형입니다.

4. 방정식과 운동 (6·16·21번) — 3문항

6번 중 두 그래프의 교점의 개수, 16번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 21번 중상 속도·가속도와 운동 방향(서답형).

6번은 두 함수의 차를 새 함수로 놓고, 극값으로 수평선과 세 점에서 만나는 자연수 조건을 구합니다.

16번은 좌우 미분계수 조건을 만족하는 점을 모두 찾고, 네 점에서 만나는 수평선의 범위를 정합니다.

21번은 두 점의 위치와 속도가 같아지는 네 조건으로 계수를 복원하고, 속도의 부호 변화로 a의 범위를 정하는 서답형입니다. 정답이 숫자가 아니라 식과 조건으로 기록된 문항입니다.

5. 부정적분과 정적분의 활용 (3·7·9·14번) — 4문항, 전부 중

3번 부정적분 관계식, 7번 위치와 위치의 변화량, 9번 부정적분 관계식(정수근 조건), 14번 역함수와의 y=x 대칭을 이용한 넓이.

7번은 속도를 적분해 위치 식을 만들고, 최고점과 땅에 닿는 시각을 구합니다.

14번은 함수와 역함수의 그래프가 y=x에 대칭이라는 점으로 넓이를 옮겨 계산합니다. 부호가 있는 넓이와 절댓값 넓이를 구별해야 합니다.

주의 문항 — 중상 7문항

8번 중상 (정적분으로 정의된 함수의 극한) — 앞쪽에 있는 유일한 중상입니다.

15번 중상 (이동구간 최대·최소), 16번 중상 (실근의 개수), 17번 중상 (그래프와 정적분으로 정의된 함수) — 선택형 마지막 세 문항이 연속 중상입니다.

18번 중상, 서답형 (극값 조건과 삼중근), 20번 중상, 서답형 (도함수 그래프와 사차함수), 21번 중상, 서답형 (두 점의 운동) — 서답형 네 문항 중 셋이 중상입니다.

여의도고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 정적분 등식의 기본 성질 — 1번.
2. 같은 구간 정적분 합치기 — 2번.
3. 우함수·기함수의 정적분 — 5번.
4. 부정적분 관계식 — 3·9번.
5. ★ 정적분을 포함한 등식 — 4·13번.
6. 교점의 개수 — 6번.
7. 위치와 위치의 변화량 — 7번.
8. ★ 도함수의 활용 (2) 전체 복습 — 10·11·15·18·20번.
9. 증가함수의 정의와 증명 — 19번. 서답형 확보.
10. 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 8번.
11. 그래프와 정적분으로 정의된 함수 — 12·17번.
12. 역함수 대칭 넓이 — 14번.
13. 실근의 개수 — 16번.
14. 두 점의 운동과 속도 부호 — 21번.

자주 나오는 질문

여의도고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 21문항입니다. 1~17번은 선택형, 18~21번은 서답형이고 19번은 증명 문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 중상이 7문항(8·15·16·17·18·20·21번)이고, 그중 6문항이 15번 이후입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분 8문항이 가장 많고, 도함수의 활용 (2) 6문항, 도함수의 활용 (3) 3문항, 부정적분·정적분의 활용 각 2문항입니다.

증명 문항은 어떻게 대비하나요?

19번은 증가함수의 정의로 증명하는 문항이고 난이도는 하입니다. 정의를 정확히 쓰고, 경우를 빠짐없이 나누는 연습을 해 두세요.

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