울산외고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

울산외고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 23문항입니다. 이 시험의 특징은 분명합니다. 중상 7문항 · 상 5문항, 합쳐서 12문항이 중상 이상입니다. 그리고 도함수의 활용 (3) 한 단원에서만 8문항이 나왔습니다.

핵심 요약

• 23문항 — 1~19번은 선택형, 20~23번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 5 / 중 6 / 중상 7 / 상 5
• 배치 단원: 06 도함수의 활용 (3) 8 / 08 정적분 6 / 09 정적분의 활용 5 / 03·04·05·07 각 1
• 반복 축: 속도·위치·움직인 거리 등 운동 문항 5개(2·4·5·7·20번), 방정식의 실근·교점 3개(18·19·21번)
• 앞 단원 개념 섞임: 미분가능성(11·14번), 곡선과 직선이 접할 때(8번)

울산외고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

울산외국어고등학교는 울산 북구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 23문항입니다. 정답 기록을 보면 1~19번은 선택형, 20~23번 네 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

배치 단원은 일곱 개에 걸쳐 있지만 무게는 한쪽으로 쏠려 있습니다. 도함수의 활용 (3) 8문항, 정적분 6문항, 정적분의 활용 5문항이 19문항을 차지합니다.

눈여겨볼 점은 범위 앞쪽 단원의 개념이 섞여 있다는 것입니다. 8번은 도함수의 활용 (1)의 곡선과 직선이 접할 때, 11번은 미분계수와 도함수의 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성이 핵심입니다. 14번도 넓이 문항이지만 미분가능성 조건을 먼저 풀어야 합니다. 2학기 기말이라고 1학기 후반 단원을 놓으면 안 되는 시험입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 이상 12문항

23문항 중 12문항(52%)이 중상 이상입니다. 하 난이도는 1·2·3·5·6번 다섯 문항으로 전부 시험지 맨 앞에 있습니다.

8번부터 중상이 시작되고, 13~19번 일곱 문항은 전부 중상 또는 상입니다. 서답형 네 문항도 20번(중)을 빼면 21·22번 상, 23번 중상입니다. 앞 7문항을 빠르게 정리하고 남은 시간을 뒤쪽에 몰아주는 운영이 필요합니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (3) 8문항

도함수의 활용 (3)이 8문항(35%) 입니다. 이 단원은 크게 두 갈래로 나옵니다. 운동(속도·가속도) 쪽이 2·4·7·20번, 방정식·부등식 쪽이 10·18·19·21번입니다.

부정적분은 1번 한 문항뿐이고, 정적분 쪽은 정적분으로 정의된 함수가 중심입니다.

시그니처 — 운동 문항 5개와 실근의 개수 3개

운동 (2·4·5·7·20번)

• 2번 하 가속도
• 4번 중 정지하는 물체의 속도와 움직인 거리
• 5번 하 위치와 위치의 변화량
• 7번 중 위치의 그래프의 해석
• 20번 중 속도 (서답형)

위치를 미분하면 속도, 속도를 미분하면 가속도, 거꾸로 속도를 적분하면 위치의 변화량입니다. 이 관계 하나로 다섯 문항이 연결됩니다. 4번은 멈추는 순간(v=0)까지의 거리를 묻기 때문에 정지 시각을 먼저 구해야 합니다.

실근의 개수 (18·19·21번)

• 18번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수
• 19번 상 두 그래프의 교점의 개수
• 21번 상 삼차방정식의 근의 판별 (서답형)

세 문항 모두 극댓값·극솟값과 직선의 위치 관계를 그림으로 판단합니다. 21번은 k값에 따라 실근 개수가 어떻게 달라지는지를 경우를 나눠 서술해야 하는 문항입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분 (3·9·13·15·17·23번) — 6문항

3번 하 우함수·기함수의 정적분, 9번 중 정적분을 포함한 등식 (아래끝과 위끝이 상수인 경우), 13번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극한, 15번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 17번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 23번 중상 주기함수의 정적분 (서답형).

15번과 17번이 같은 유형입니다. ∫ 위끝에 x가 있는 함수를 미분해 피적분함수를 얻고, 그 부호로 증가·감소를 판정합니다. 13번 극한형은 미분계수의 정의로 바꿔 보는 것이 출발점입니다.

23번 주기함수의 정적분은 f(x+p)=f(x)를 이용해 한 주기 구간의 적분을 여러 번 더하는 구조입니다.

2. 정적분의 활용 (5·6·12·14·22번) — 5문항

5번 하 위치와 위치의 변화량, 6번 하 포물선과 직선 사이의 넓이 (1/6 공식), 12번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 14번 상 미분가능성 · 곡선과 x축 사이의 넓이, 22번 상 두 곡선 사이의 넓이의 활용 · 넓이의 최솟값 (서답형).

22번은 넓이를 미지수의 함수로 보고 최솟값을 구하는 문항입니다. 넓이 식을 만든 뒤 다시 미분하는 두 단계라 시간이 걸립니다.

14번은 미분가능성 조건으로 함수를 먼저 확정해야 넓이 계산으로 넘어갈 수 있습니다.

3. 도함수의 활용 (3) 중 부등식 (10번) — 1문항

10번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건. f(x)−g(x)의 최솟값이 0 이상이 되도록 만드는 표준형입니다.

4. 앞 단원 개념 (8·11·16번)

8번 중상 곡선과 직선이 접할 때, 11번 중상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성, 16번 상 도함수의 그래프의 해석 (응용).

11번 미분가능성은 경계점에서 함숫값이 같고(연속), 좌우 미분계수가 같아야 합니다. 이 조건이 14번에서도 다시 쓰였습니다.

16번은 도함수 그래프만 보고 원래 함수의 성질을 판단하는 상 문항입니다. f'의 부호와 f'의 증감을 구분해서 읽어야 합니다.

5. 부정적분 (1번) — 1문항

1번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기. 적분상수는 주어진 함숫값으로 정합니다.

주의 문항 — 상 5문항

14번 상 (미분가능성 + 넓이) — 앞 단원 조건을 먼저 풀어야 넓이로 갈 수 있습니다.

16번 상 (도함수의 그래프 해석) — 그래프 읽기를 잘못하면 선지 판단이 모두 어긋납니다.

19번 상 (두 그래프의 교점의 개수) — 선택형 마지막 문항입니다.

21번 상 (삼차방정식의 근의 판별) — k의 범위별로 근의 개수를 모두 써야 하는 서답형입니다.

22번 상 (넓이의 최솟값) — 적분 후 다시 미분하는 서답형입니다.

울산외고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. ★ 구간별로 정의된 함수의 미분가능성 — 11·14번 대비. 연속 + 좌우 미분계수.
2. 곡선과 직선이 접할 조건 — 8번 대비.
3. 도함수 그래프 해석 — 16번 대비.
4. ★ 속도·가속도·위치·움직인 거리 — 2·4·5·7·20번 대비.
5. 부등식이 항상 성립할 조건 — 10번 대비.
6. ★ 방정식의 실근 개수와 교점 개수 — 18·19·21번 대비. 극값과 y=k 비교.
7. 부정적분과 적분상수 — 1번 대비.
8. 우함수·기함수의 정적분, 상수 구간 정적분 등식 — 3·9번 대비.
9. ★ 정적분으로 정의된 함수의 극한·극대·극소 — 13·15·17번 대비.
10. 주기함수의 정적분 — 23번 대비.
11. 넓이 (1/6 공식, x축 사이, 두 곡선 사이) — 6·12·14번 대비.
12. 넓이의 최솟값 — 22번 대비.

자주 나오는 질문

울산외고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 23문항입니다. 1~19번은 선택형, 20~23번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (3)이 8문항으로 가장 많습니다. 정적분 6문항, 정적분의 활용 5문항이 뒤를 잇습니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도가 5문항(14·16·19·21·22번) 입니다. 중상 7문항까지 합치면 중상 이상이 12문항입니다.

1학기 단원도 나오나요?

배치 단원 기준으로 미분계수와 도함수 1문항(11번), 도함수의 활용 (1) 1문항(8번) 이 있습니다. 14번도 미분가능성 조건을 함께 씁니다.

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